9. 已知$y-1与x+1$成正比例,且当$x= -2$时,$y= -3$,则$y与x$之间的函数表达式为______.
答案：y=4x+5
解析：
【分析】
解题时先根据“两个量成正比例”的定义，设出含有待定系数k的关系式（注意比例系数k≠0），再将已知的x、y的对应值代入关系式求出k的值，最后将k代回原式整理为y关于x的函数形式即可。
【解析】
解：
∵ $ y-1 $ 与 $ x+1 $ 成正比例
∴ 可设 $ y - 1 = k(x + 1) $（$ k ≠ 0 $，k为常数）
将 $ x = -2 $，$ y = -3 $ 代入上式，得：
$ -3 - 1 = k(-2 + 1) $
即 $ -4 = -k $
解得 $ k = 4 $
将 $ k = 4 $ 代入 $ y - 1 = k(x + 1) $，得：
$ y - 1 = 4(x + 1) $
整理得 $ y = 4x + 5 $
【答案】
$ y=4x+5 $
【知识点】
1. 正比例的意义
2. 待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是求一次函数表达式的基础题型，解题关键是熟练掌握成正比例的量的表达式形式，能正确运用待定系数法求解未知系数，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先根据“两个量成正比例”的定义，设出含有待定系数k的关系式（注意比例系数k≠0），再将已知的x、y的对应值代入关系式求出k的值，最后将k代回原式整理为y关于x的函数形式即可。
【解析】
解：
∵ $ y-1 $ 与 $ x+1 $ 成正比例
∴ 可设 $ y - 1 = k(x + 1) $（$ k ≠ 0 $，k为常数）
将 $ x = -2 $，$ y = -3 $ 代入上式，得：
$ -3 - 1 = k(-2 + 1) $
即 $ -4 = -k $
解得 $ k = 4 $
将 $ k = 4 $ 代入 $ y - 1 = k(x + 1) $，得：
$ y - 1 = 4(x + 1) $
整理得 $ y = 4x + 5 $
【答案】
$ y=4x+5 $
【知识点】
1. 正比例的意义
2. 待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是求一次函数表达式的基础题型，解题关键是熟练掌握成正比例的量的表达式形式，能正确运用待定系数法求解未知系数，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
10. 如图是一个“函数求值机”的示意图,其中$y是x$的函数. 下面表格中,是通过该“函数求值机”得到的几组$x与y$的对应值.
| 输入x | ... | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | ... |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 输出y | ... | -6 | -2 | 2 | 6 | 16 | ... |
根据以上信息,解答下列问题：
(1)当输入的$x$值为1时,输出的$y$值为______；
(2)求$k,b$的值；
(3)当输出的$y$值为0时,求输入的$x$值.
| 输入x | ... | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | ... |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 输出y | ... | -6 | -2 | 2 | 6 | 16 | ... |
根据以上信息,解答下列问题：
(1)当输入的$x$值为1时,输出的$y$值为______；
(2)求$k,b$的值；
(3)当输出的$y$值为0时,求输入的$x$值.
答案：（1）8（2）将(-2,2)，(0,6)代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l} 2=-2k+b,\\ 6=b,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=2,\\ b=6.\end{array}\right. $（3）令y=0，由y=8x得0=8x，解得x=0＜1（舍去），由y=2x+6得0=2x+6，解得x=-3＜1，
∴输出的y值为0时，输入的x值为-3.
∴输出的y值为0时，输入的x值为-3.
解析：
【分析】
首先结合表格数据判断该函数为分段函数：当$x≥1$时，解析式为$y=8x$（可由$x=2$时$y=16$验证）；当$x＜1$时，解析式为一次函数$y=kx+b$。(1)输入$x=1$属于$x≥1$的区间，代入对应解析式即可得$y$值；(2)求$k、b$可选取$x＜1$的两组对应值，用待定系数法代入$y=kx+b$，解二元一次方程组即可；(3)$y=0$时，需分别代入两个分段解析式求解$x$，再验证所得$x$是否符合对应区间的取值范围，舍去不符合的结果。
【解析】
(1) 由表格中$x=2$时$y=16$，可得$x≥1$时函数解析式为$y=8x$，当$x=1$时，$y=8×1=8$。
(2) 选取$x＜1$的两组对应值$(-2,2)$、$(0,6)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} 2=-2k+b\\ 6=b \end{cases}$
将$b=6$代入第一个方程，得$2=-2k+6$，解得$k=2$，因此$\begin{cases} k=2\\ b=6 \end{cases}$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$x≥1$时，令$y=0$，代入$y=8x$得$0=8x$，解得$x=0$，不符合$x≥1$的取值范围，舍去；
② 当$x＜1$时，令$y=0$，代入$y=2x+6$得$0=2x+6$，解得$x=-3$，符合$x＜1$的取值范围。
综上，输出$y$值为0时，输入的$x$值为$-3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) $\boldsymbol{\begin{cases} k=2\\ b=6 \end{cases}}$；(3) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
分段函数，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次方程
【点评】
本题以函数求值机为情境考查分段函数的应用，解题关键是先根据已知数据确定不同区间的函数解析式，求解时要注意结合自变量的取值范围对结果进行验证，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
首先结合表格数据判断该函数为分段函数：当$x≥1$时，解析式为$y=8x$（可由$x=2$时$y=16$验证）；当$x＜1$时，解析式为一次函数$y=kx+b$。(1)输入$x=1$属于$x≥1$的区间，代入对应解析式即可得$y$值；(2)求$k、b$可选取$x＜1$的两组对应值，用待定系数法代入$y=kx+b$，解二元一次方程组即可；(3)$y=0$时，需分别代入两个分段解析式求解$x$，再验证所得$x$是否符合对应区间的取值范围，舍去不符合的结果。
【解析】
(1) 由表格中$x=2$时$y=16$，可得$x≥1$时函数解析式为$y=8x$，当$x=1$时，$y=8×1=8$。
(2) 选取$x＜1$的两组对应值$(-2,2)$、$(0,6)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} 2=-2k+b\\ 6=b \end{cases}$
将$b=6$代入第一个方程，得$2=-2k+6$，解得$k=2$，因此$\begin{cases} k=2\\ b=6 \end{cases}$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$x≥1$时，令$y=0$，代入$y=8x$得$0=8x$，解得$x=0$，不符合$x≥1$的取值范围，舍去；
② 当$x＜1$时，令$y=0$，代入$y=2x+6$得$0=2x+6$，解得$x=-3$，符合$x＜1$的取值范围。
综上，输出$y$值为0时，输入的$x$值为$-3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) $\boldsymbol{\begin{cases} k=2\\ b=6 \end{cases}}$；(3) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
分段函数，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次方程
【点评】
本题以函数求值机为情境考查分段函数的应用，解题关键是先根据已知数据确定不同区间的函数解析式，求解时要注意结合自变量的取值范围对结果进行验证，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
11. 若$y= y_1+y_2$,且$y_1与x$成正比例,$y_2与(x-3)$成正比例,当$x= 1$时,$y= 3$,当$x= -1$时,$y= 9$.
(1)写出$y与x$之间的函数表达式；
(2)求当$y= -3$时,$x$的值.
(1)写出$y与x$之间的函数表达式；
(2)求当$y= -3$时,$x$的值.
答案：（1）设$y_{1}=ax$，$y_{2}=k(x-3)$，
∴$y=ax+k(x-3)$.由当x=1时，y=3，当x=-1时，y=9可得$\left\{\begin{array}{l} 3=a+k(1-3),\\ 9=-a+k(-1-3),\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ k=-2,\end{array}\right. $
∴y与x之间的函数表达式为$y=-x-2(x-3)$，即y=-3x+6.（2）当y=-3时，-3=-3x+6，解得x=3.
∴$y=ax+k(x-3)$.由当x=1时，y=3，当x=-1时，y=9可得$\left\{\begin{array}{l} 3=a+k(1-3),\\ 9=-a+k(-1-3),\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ k=-2,\end{array}\right. $
∴y与x之间的函数表达式为$y=-x-2(x-3)$，即y=-3x+6.（2）当y=-3时，-3=-3x+6，解得x=3.
解析：
【分析】
解决这道题可按以下思路展开：（1）首先根据“两个量成正比例”的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含未知系数的表达式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数后，化简即可得到$y$与$x$的函数表达式。（2）第二问求$y=-3$时$x$的值，只需将$y=-3$代入第一问求出的函数表达式，解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y_1=ax$（$a$为常数，且$a\ne0$），$y_2=k(x-3)$（$k$为常数，且$k\ne0$），
由$y=y_1+y_2$可得：$y=ax+k(x-3)$。
将$x=1$，$y=3$和$x=-1$，$y=9$分别代入上式，得到方程组：
$\begin{cases}3=a + k(1-3) \\9=-a + k(-1-3) \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\k=-2 \end{cases}$。
将$a=-1$，$k=-2$代入$y=ax+k(x-3)$，得：
$y=-x-2(x-3)=-3x+6$。
(2) 把$y=-3$代入$y=-3x+6$，得：
$-3=-3x+6$
解得：$x=3$。
【答案】
（1）$y=-3x+6$；（2）$x=3$
【知识点】
正比例函数定义，待定系数法，一元一次方程求解
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是根据正比例的性质正确设出含参数的函数表达式，通过已知条件建立方程求解参数，后续代入求值属于基础运算，掌握基础概念和运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
解决这道题可按以下思路展开：（1）首先根据“两个量成正比例”的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，进而得到$y$关于$x$的含未知系数的表达式；再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数后，化简即可得到$y$与$x$的函数表达式。（2）第二问求$y=-3$时$x$的值，只需将$y=-3$代入第一问求出的函数表达式，解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y_1=ax$（$a$为常数，且$a\ne0$），$y_2=k(x-3)$（$k$为常数，且$k\ne0$），
由$y=y_1+y_2$可得：$y=ax+k(x-3)$。
将$x=1$，$y=3$和$x=-1$，$y=9$分别代入上式，得到方程组：
$\begin{cases}3=a + k(1-3) \\9=-a + k(-1-3) \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\k=-2 \end{cases}$。
将$a=-1$，$k=-2$代入$y=ax+k(x-3)$，得：
$y=-x-2(x-3)=-3x+6$。
(2) 把$y=-3$代入$y=-3x+6$，得：
$-3=-3x+6$
解得：$x=3$。
【答案】
（1）$y=-3x+6$；（2）$x=3$
【知识点】
正比例函数定义，待定系数法，一元一次方程求解
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是根据正比例的性质正确设出含参数的函数表达式，通过已知条件建立方程求解参数，后续代入求值属于基础运算，掌握基础概念和运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
12. 应用意识·模型观念(2024·陕西中考)实验表明,在某地,温度在$15^{\circ}C至25^{\circ}C$的范围内,一种蟋蟀1 min的平均鸣叫次数$y可近似看成该地当时温度x(^{\circ}C)$的一次函数. 已知这种蟋蟀在温度为$16^{\circ}C$时,1 min平均鸣叫92次；在温度为$23^{\circ}C$时,1 min平均鸣叫155次.
(1)求$y与x$之间的函数表达式；
(2)当这种蟋蟀1 min平均鸣叫128次时,该地当时的温度约是多少？
(1)求$y与x$之间的函数表达式；
(2)当这种蟋蟀1 min平均鸣叫128次时,该地当时的温度约是多少？
答案：（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k,b为常数，且k≠0).将x=16,y=92和x=23,y=155分别代入y=kx+b，得$\left\{\begin{array}{l} 16k+b=92,\\ 23k+b=155,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=9,\\ b=-52.\end{array}\right. $答：y与x之间的函数表达式为y=9x-52(15≤x≤25).（2）将y=128代入y=9x-52，得9x-52=128，解得x=20.答：该地当时的温度约是20℃.
解析：
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：（1）题目明确说明y是x的一次函数，因此采用待定系数法求解表达式：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将题干给出的两组温度和对应鸣叫次数代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的取值，结合题干给出的温度范围，即可得到完整的函数表达式。（2）第二问已知1min鸣叫次数即y的取值，要求对应温度x，只需将$y=128$代入第一问求出的函数表达式，解一元一次方程即可得到x的结果。
【解析】
（1）设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$（k、b为常数，且$k≠0$）。
将$x=16,y=92$和$x=23,y=155$分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} 16k+b=92 \\ 23k+b=155 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$7k=63$，解得$k=9$。
将$k=9$代入$16k+b=92$，得$144+b=92$，解得$b=-52$。
结合题中温度范围$15≤x≤25$，因此y与x的函数表达式为$y=9x-52(15≤x≤25)$。
（2）当$y=128$时，代入$y=9x-52$得：
$9x-52=128$
移项计算得$9x=180$，解得$x=20$。
【答案】
（1）$y=9x-52(15≤ x≤25)$；（2）$20℃$
【知识点】
1.待定系数法求一次函数表达式 2.一次函数的实际应用 3.一元一次方程求解
【点评】
本题以生活中的生物现象为命题背景，考查一次函数的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能够灵活完成函数值与自变量的相互计算，注重对学生应用意识和建模观念的考查。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：（1）题目明确说明y是x的一次函数，因此采用待定系数法求解表达式：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将题干给出的两组温度和对应鸣叫次数代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的取值，结合题干给出的温度范围，即可得到完整的函数表达式。（2）第二问已知1min鸣叫次数即y的取值，要求对应温度x，只需将$y=128$代入第一问求出的函数表达式，解一元一次方程即可得到x的结果。
【解析】
（1）设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$（k、b为常数，且$k≠0$）。
将$x=16,y=92$和$x=23,y=155$分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases} 16k+b=92 \\ 23k+b=155 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$7k=63$，解得$k=9$。
将$k=9$代入$16k+b=92$，得$144+b=92$，解得$b=-52$。
结合题中温度范围$15≤x≤25$，因此y与x的函数表达式为$y=9x-52(15≤x≤25)$。
（2）当$y=128$时，代入$y=9x-52$得：
$9x-52=128$
移项计算得$9x=180$，解得$x=20$。
【答案】
（1）$y=9x-52(15≤ x≤25)$；（2）$20℃$
【知识点】
1.待定系数法求一次函数表达式 2.一次函数的实际应用 3.一元一次方程求解
【点评】
本题以生活中的生物现象为命题背景，考查一次函数的基础应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能够灵活完成函数值与自变量的相互计算，注重对学生应用意识和建模观念的考查。
【难度系数】
0.8