6. 正比例函数$y= ax$的图象经过第一、三象限,则直线$y= (-a-1)x$经过( )
A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案：C
解析：
【分析】
解决本题要用到正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$）中，$k＞0$时图象经过第一、三象限，$k＜0$时图象经过第二、四象限。解题步骤可分为三步：第一步根据$y=ax$经过第一、三象限推出$a$的符号；第二步计算直线$y=(-a-1)x$的比例系数的符号；第三步根据比例系数的符号判断直线经过的象限即可。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=ax$的图象经过第一、三象限
∴ 由正比例函数性质可得 $a＞0$
不等式两边同乘$-1$得 $-a＜0$，进一步可得 $-a-1＜0$
对于正比例函数$y=(-a-1)x$，其比例系数$k=-a-1＜0$
∴ 该直线经过第二、四象限
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题为基础题型，核心考查正比例函数图象与系数的对应关系，解题关键是先通过已知条件确定参数$a$的取值范围，再推导所求函数的比例系数符号，熟记正比例函数的图象性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解决本题要用到正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k$为常数且$k≠0$）中，$k＞0$时图象经过第一、三象限，$k＜0$时图象经过第二、四象限。解题步骤可分为三步：第一步根据$y=ax$经过第一、三象限推出$a$的符号；第二步计算直线$y=(-a-1)x$的比例系数的符号；第三步根据比例系数的符号判断直线经过的象限即可。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=ax$的图象经过第一、三象限
∴ 由正比例函数性质可得 $a＞0$
不等式两边同乘$-1$得 $-a＜0$，进一步可得 $-a-1＜0$
对于正比例函数$y=(-a-1)x$，其比例系数$k=-a-1＜0$
∴ 该直线经过第二、四象限
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题为基础题型，核心考查正比例函数图象与系数的对应关系，解题关键是先通过已知条件确定参数$a$的取值范围，再推导所求函数的比例系数符号，熟记正比例函数的图象性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
7. 已知点$A(2,m)和点B(n,-6)关于x$轴对称,一个正比例函数的图象经过点$A$,则这个正比例函数的表达式为( )
A.$y= 3x$
B.$y= -3x$
C.$y= \frac{1}{3}x$
D.$y= -\frac{1}{3}x$
A.$y= 3x$
B.$y= -3x$
C.$y= \frac{1}{3}x$
D.$y= -\frac{1}{3}x$
答案：A
解析：
【分析】
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用这一规律求出点A的坐标；再根据正比例函数的一般形式，使用待定系数法，将点A的坐标代入即可求出函数表达式。
【解析】
∵ 点A(2,m)和点B(n,-6)关于x轴对称
∴ 两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，即n=2，$ m = -(-6) = 6 $
∴ 点A的坐标为$ (2,6) $
设该正比例函数的表达式为$ y = kx $（$ k ≠ 0 $，k为常数）
将A(2,6)代入表达式得：$ 6 = 2k $
解得：$ k = 3 $
∴ 这个正比例函数的表达式为$ y = 3x $
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是基础题型，将平面直角坐标系中点的对称规律和函数解析式求解结合考察，熟练掌握基础概念和待定系数法的应用步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用这一规律求出点A的坐标；再根据正比例函数的一般形式，使用待定系数法，将点A的坐标代入即可求出函数表达式。
【解析】
∵ 点A(2,m)和点B(n,-6)关于x轴对称
∴ 两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，即n=2，$ m = -(-6) = 6 $
∴ 点A的坐标为$ (2,6) $
设该正比例函数的表达式为$ y = kx $（$ k ≠ 0 $，k为常数）
将A(2,6)代入表达式得：$ 6 = 2k $
解得：$ k = 3 $
∴ 这个正比例函数的表达式为$ y = 3x $
【答案】
A
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是基础题型，将平面直角坐标系中点的对称规律和函数解析式求解结合考察，熟练掌握基础概念和待定系数法的应用步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 已知正比例函数$y= kx$,当$-4\leq x\leq4$时,函数有最大值3,则$k$的值为______.
答案：$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$
解析：
【分析】
正比例函数$y=kx$的单调性由$k$的符号决定：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。已知$x$的取值范围是$-4≤x≤4$，函数最大值为3，我们需要分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论，分别找到取最大值时对应的$x$值，代入解析式求解$k$即可；$k=0$时函数值恒为0，不符合题意，直接排除。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
因此$x=4$时$y$取最大值3，将$x=4,y=3$代入$y=kx$得：
$4k=3$，解得$k=\frac{3}{4}$，符合$k＞0$的要求；
② 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
因此$x=-4$时$y$取最大值3，将$x=-4,y=3$代入$y=kx$得：
$-4k=3$，解得$k=-\frac{3}{4}$，符合$k＜0$的要求；
$k=0$时$y=0$，不存在最大值3，舍去。
综上，$k$的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$
【知识点】
正比例函数的性质，分类讨论思想，函数最值求解
【点评】
本题重点考查正比例函数单调性的应用，易错点是容易忽略$k$的符号对函数增减性的影响，只求解出其中一个$k$值，解题时需考虑全面，结合参数的正负分类讨论。
【难度系数】
0.7
正比例函数$y=kx$的单调性由$k$的符号决定：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。已知$x$的取值范围是$-4≤x≤4$，函数最大值为3，我们需要分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论，分别找到取最大值时对应的$x$值，代入解析式求解$k$即可；$k=0$时函数值恒为0，不符合题意，直接排除。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
因此$x=4$时$y$取最大值3，将$x=4,y=3$代入$y=kx$得：
$4k=3$，解得$k=\frac{3}{4}$，符合$k＞0$的要求；
② 当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
因此$x=-4$时$y$取最大值3，将$x=-4,y=3$代入$y=kx$得：
$-4k=3$，解得$k=-\frac{3}{4}$，符合$k＜0$的要求；
$k=0$时$y=0$，不存在最大值3，舍去。
综上，$k$的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$
【知识点】
正比例函数的性质，分类讨论思想，函数最值求解
【点评】
本题重点考查正比例函数单调性的应用，易错点是容易忽略$k$的符号对函数增减性的影响，只求解出其中一个$k$值，解题时需考虑全面，结合参数的正负分类讨论。
【难度系数】
0.7
9. 已知三个正比例函数$y_1= \frac{1}{2}x$,$y_2= kx(k\neq0)$,$y_3= -2x$.若直线$x= m(m\neq0)与y_1,y_2,y_3的图象顺次交于点A$,点$B$,点$C$,且$AB= BC$,则$k$的值为______.
答案：$\frac{3}{4}$ 解析:设$A(m,\frac{1}{2}m)$,$B(m,km)$,$C(m,-2m)$.$\because AB=BC$,$\therefore \frac{1}{2}m-km=km-(-2m)$,解得$k=\frac{3}{4}$.
解析：
设点$A(m,\frac{1}{2}m)$，$B(m,km)$，$C(m,-2m)$。
因为$AB = BC$，所以$\left|\frac{1}{2}m - km\right| = \left|km - (-2m)\right|$。
由于$m \neq 0$，等式两边同时除以$|m|$得$\left|\frac{1}{2} - k\right| = \left|k + 2\right|$。
分两种情况讨论：
1. 当$\frac{1}{2} - k = k + 2$时，解得$k = -\frac{3}{4}$；
2. 当$\frac{1}{2} - k = -(k + 2)$时，方程无解。
经检验，$k = -\frac{3}{4}$满足条件。
$-\frac{3}{4}$
因为$AB = BC$，所以$\left|\frac{1}{2}m - km\right| = \left|km - (-2m)\right|$。
由于$m \neq 0$，等式两边同时除以$|m|$得$\left|\frac{1}{2} - k\right| = \left|k + 2\right|$。
分两种情况讨论：
1. 当$\frac{1}{2} - k = k + 2$时，解得$k = -\frac{3}{4}$；
2. 当$\frac{1}{2} - k = -(k + 2)$时，方程无解。
经检验，$k = -\frac{3}{4}$满足条件。
$-\frac{3}{4}$
10. 已知$y-2与3x-4$成正比例函数关系,且当$x= 2$时,$y= 3$.
(1)写出$y与x$之间的函数表达式；
(2)若点$P(a,-3)$在这个函数的图象上,求$a$的值；
(3)若$y的取值范围为-1\leq y\leq1$,求$x$的取值范围.
(1)写出$y与x$之间的函数表达式；
(2)若点$P(a,-3)$在这个函数的图象上,求$a$的值；
(3)若$y的取值范围为-1\leq y\leq1$,求$x$的取值范围.
答案：
(1)设$y-2=k(3x-4)$,将$x=2,y=3$代入,得$2k=1$,解得$k=\frac{1}{2}$,$\therefore y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$,即$y=\frac{3}{2}x$.
(2)将点$P(a,-3)$代入$y=\frac{3}{2}x$,得$\frac{3}{2}a=-3$,解得$a=-2$.
(3)当$y=-1$时,$\frac{3}{2}x=-1$,解得$x=-\frac{2}{3}$,当$y=1$时,$\frac{3}{2}x=1$,解得$x=\frac{2}{3}$,故$-\frac{2}{3}\leqslant x\leqslant \frac{2}{3}$.
(1)设$y-2=k(3x-4)$,将$x=2,y=3$代入,得$2k=1$,解得$k=\frac{1}{2}$,$\therefore y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$,即$y=\frac{3}{2}x$.
(2)将点$P(a,-3)$代入$y=\frac{3}{2}x$,得$\frac{3}{2}a=-3$,解得$a=-2$.
(3)当$y=-1$时,$\frac{3}{2}x=-1$,解得$x=-\frac{2}{3}$,当$y=1$时,$\frac{3}{2}x=1$,解得$x=\frac{2}{3}$,故$-\frac{2}{3}\leqslant x\leqslant \frac{2}{3}$.
解析：
【分析】
(1) 若两个量成正比例关系，可按照正比例定义设出关系式：若A与B成正比例，可设$A=kB$（k为常数，$k≠0$）。本题中$y-2$与$3x-4$成正比例，因此先设$y-2=k(3x-4)$，再将已知的$x=2$、$y=3$代入式子求出k的值，最后整理得到y与x的函数表达式即可。
(2) 点在函数图象上时，点的横、纵坐标满足函数解析式，因此只需将点$P(a,-3)$的坐标代入第一问求出的函数解析式，解一元一次方程就能得到a的值。
(3) 首先判断函数的增减性，本题得到的函数$y=\frac{3}{2}x$的比例系数为正，y随x的增大而增大，因此将y的最小值、最大值分别代入解析式，求出对应的x值，即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 由$y-2$与$3x-4$成正比例，设$y-2=k(3x-4)$（$k≠0$），
将$x=2$，$y=3$代入上式，得$3-2=k(3×2-4)$，即$2k=1$，
解得$k=\frac{1}{2}$，
将$k=\frac{1}{2}$代入所设式子，得$y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$，
整理得$y=\frac{3}{2}x$。
(2) 因为点$P(a,-3)$在函数$y=\frac{3}{2}x$的图象上，
将$x=a$，$y=-3$代入解析式，得$\frac{3}{2}a=-3$，
解得$a=-2$。
(3) 函数$y=\frac{3}{2}x$中，$\frac{3}{2}＞0$，y随x的增大而增大，
当$y=-1$时，$\frac{3}{2}x=-1$，解得$x=-\frac{2}{3}$；
当$y=1$时，$\frac{3}{2}x=1$，解得$x=\frac{2}{3}$；
因此x的取值范围为$-\frac{2}{3}≤x≤\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{2}x$；(2) $a=-2$；(3) $-\frac{2}{3}≤x≤\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法求解析式；一次函数性质
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，核心考查对正比例概念的理解、待定系数法的运用，以及结合函数性质求解自变量范围的能力，熟练掌握基础概念和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 若两个量成正比例关系，可按照正比例定义设出关系式：若A与B成正比例，可设$A=kB$（k为常数，$k≠0$）。本题中$y-2$与$3x-4$成正比例，因此先设$y-2=k(3x-4)$，再将已知的$x=2$、$y=3$代入式子求出k的值，最后整理得到y与x的函数表达式即可。
(2) 点在函数图象上时，点的横、纵坐标满足函数解析式，因此只需将点$P(a,-3)$的坐标代入第一问求出的函数解析式，解一元一次方程就能得到a的值。
(3) 首先判断函数的增减性，本题得到的函数$y=\frac{3}{2}x$的比例系数为正，y随x的增大而增大，因此将y的最小值、最大值分别代入解析式，求出对应的x值，即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 由$y-2$与$3x-4$成正比例，设$y-2=k(3x-4)$（$k≠0$），
将$x=2$，$y=3$代入上式，得$3-2=k(3×2-4)$，即$2k=1$，
解得$k=\frac{1}{2}$，
将$k=\frac{1}{2}$代入所设式子，得$y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$，
整理得$y=\frac{3}{2}x$。
(2) 因为点$P(a,-3)$在函数$y=\frac{3}{2}x$的图象上，
将$x=a$，$y=-3$代入解析式，得$\frac{3}{2}a=-3$，
解得$a=-2$。
(3) 函数$y=\frac{3}{2}x$中，$\frac{3}{2}＞0$，y随x的增大而增大，
当$y=-1$时，$\frac{3}{2}x=-1$，解得$x=-\frac{2}{3}$；
当$y=1$时，$\frac{3}{2}x=1$，解得$x=\frac{2}{3}$；
因此x的取值范围为$-\frac{2}{3}≤x≤\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{2}x$；(2) $a=-2$；(3) $-\frac{2}{3}≤x≤\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法求解析式；一次函数性质
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，核心考查对正比例概念的理解、待定系数法的运用，以及结合函数性质求解自变量范围的能力，熟练掌握基础概念和性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
11. (几何直观)定义运算“※”为$a※b= \begin{cases}ab(b\geq0)\\-ab(b＜0)\end{cases} $.
(1)计算：$3※4$；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出函数$y= 2※x$的图象.
(1)计算：$3※4$；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出函数$y= 2※x$的图象.
答案：
(1)$\because 4＞0$,$\therefore 3※4=3×4=12$.
(2)当$x\geqslant 0$时,y与x之间的函数表达式为$y=2x$.当$x＜0$时,y与x之间的函数表达式为$y=-2x$.
列表如下:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 2 0 2 4 …
描点、连线,得函数图象如图所示.
(1)$\because 4＞0$,$\therefore 3※4=3×4=12$.
(2)当$x\geqslant 0$时,y与x之间的函数表达式为$y=2x$.当$x＜0$时,y与x之间的函数表达式为$y=-2x$.
列表如下:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 2 0 2 4 …
描点、连线,得函数图象如图所示.
解析：
【分析】
第(1)问首先明确新定义运算“※”的规则：根据第二个参数的正负选择计算方式，参数≥0时结果为两数乘积，参数＜0时结果为两数乘积的相反数。计算时先判断参数4的符号，再代入对应公式计算即可。
第(2)问绘制函数图象前，先根据新定义规则，分x≥0和x＜0两种情况，将新运算转化为普通的函数解析式；再按照描点法画函数图象的步骤，依次完成列表、描点、连线即可得到对应图象。
【解析】
(1) 根据新定义运算规则，先判断第二个参数的取值：$\because 4＞0$，符合参数≥0的运算情况，$\therefore 3※4=3×4=12$。
(2) 先化简函数$y=2※x$的解析式：
当$x≥0$时，符合参数≥0的运算规则，此时$y=2x$；
当$x＜0$时，符合参数＜0的运算规则，此时$y=-2x$。
用描点法绘制图象：
①列表：
| $x$ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| $y$ | … | 4 | 2 | 0 | 2 | 4 | … |
②在坐标系中描出表格对应的点，再顺次连线，得到的图象如下：
【答案】
(1) $\boxed{12}$；
(2) 函数图象见
【知识点】
新定义运算，分段函数，正比例函数图象
【点评】
本题结合新定义运算考查知识迁移应用能力，解题关键是准确理解新运算的规则，分类讨论得到不同取值范围内的函数解析式，再按照描点法画图象的规范步骤操作即可，兼顾对基础运算能力和作图能力的考查。
【难度系数】
0.8
第(1)问首先明确新定义运算“※”的规则：根据第二个参数的正负选择计算方式，参数≥0时结果为两数乘积，参数＜0时结果为两数乘积的相反数。计算时先判断参数4的符号，再代入对应公式计算即可。
第(2)问绘制函数图象前，先根据新定义规则，分x≥0和x＜0两种情况，将新运算转化为普通的函数解析式；再按照描点法画函数图象的步骤，依次完成列表、描点、连线即可得到对应图象。
【解析】
(1) 根据新定义运算规则，先判断第二个参数的取值：$\because 4＞0$，符合参数≥0的运算情况，$\therefore 3※4=3×4=12$。
(2) 先化简函数$y=2※x$的解析式：
当$x≥0$时，符合参数≥0的运算规则，此时$y=2x$；
当$x＜0$时，符合参数＜0的运算规则，此时$y=-2x$。
用描点法绘制图象：
①列表：
| $x$ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| $y$ | … | 4 | 2 | 0 | 2 | 4 | … |
②在坐标系中描出表格对应的点，再顺次连线，得到的图象如下：
【答案】
(1) $\boxed{12}$；
(2) 函数图象见
【知识点】
新定义运算，分段函数，正比例函数图象
【点评】
本题结合新定义运算考查知识迁移应用能力，解题关键是准确理解新运算的规则，分类讨论得到不同取值范围内的函数解析式，再按照描点法画图象的规范步骤操作即可，兼顾对基础运算能力和作图能力的考查。
【难度系数】
0.8