6. (2023·湘潭中考改编)我国航天事业发展迅速,某玩具店抓住商机,先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销,进价为50元/件.
(1)设每件玩具售价为$x$元,全部售完的利润为$y$元.求利润$y$(元)关于售价$x$(元/件)的函数表达式.
(2)当售价定为60元/件时,该玩具销售火爆,该店继续购进一批该种航天模型玩具,并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动,在成功销售完毕后,资助经费恰好10000元,请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
(1)设每件玩具售价为$x$元,全部售完的利润为$y$元.求利润$y$(元)关于售价$x$(元/件)的函数表达式.
(2)当售价定为60元/件时,该玩具销售火爆,该店继续购进一批该种航天模型玩具,并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动,在成功销售完毕后,资助经费恰好10000元,请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
答案：
(1)$y=1000(x-50)=1000x-50000$.
(2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具,则总共有$(m+1000)$件航天模型玩具.依题意得$(60-50)×(1000+m)×20\% =10000$,解得$m=4000$,故该商店继续购进了4000件航天模型玩具.
(1)$y=1000(x-50)=1000x-50000$.
(2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具,则总共有$(m+1000)$件航天模型玩具.依题意得$(60-50)×(1000+m)×20\% =10000$,解得$m=4000$,故该商店继续购进了4000件航天模型玩具.
解析：
【分析】
(1) 解决第一问需紧扣销售问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售总量。已知单件进价为50元，售价为x元，因此单件利润为$(x-50)$元，销售总量固定为1000件，将对应量代入等量关系即可推导得到y关于x的函数表达式。
(2) 解决第二问先设继续购进的玩具数量为m件，可得两批玩具总销量为$(1000+m)$件；已知此时售价为60元/件，可算出单件利润为$(60-50)$元，再根据“总利润的20%=资助经费10000元”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到第二批购进的玩具数量。
【解析】
(1) 根据总利润的计算公式：
$y = 1000×(x-50) = 1000x - 50000$
(2) 设该商店继续购进了$m$件航天模型玩具，则两批玩具总数量为$(1000+m)$件，依题意列方程：
$(60-50)×(1000+m)×20\% = 10000$
化简得：$2(1000+m) = 10000$
解得：$m = 4000$
【答案】
(1) $y=1000x-50000$
(2) 该商店继续购进了4000件航天模型玩具
【知识点】
销售利润计算、一次函数解析式求解、一元一次方程应用
【点评】
本题结合航天热点背景考查实际应用问题，侧重对基础数量关系的考查，解题关键是准确梳理利润相关的等量关系，根据要求正确列函数式或方程求解。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问需紧扣销售问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售总量。已知单件进价为50元，售价为x元，因此单件利润为$(x-50)$元，销售总量固定为1000件，将对应量代入等量关系即可推导得到y关于x的函数表达式。
(2) 解决第二问先设继续购进的玩具数量为m件，可得两批玩具总销量为$(1000+m)$件；已知此时售价为60元/件，可算出单件利润为$(60-50)$元，再根据“总利润的20%=资助经费10000元”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到第二批购进的玩具数量。
【解析】
(1) 根据总利润的计算公式：
$y = 1000×(x-50) = 1000x - 50000$
(2) 设该商店继续购进了$m$件航天模型玩具，则两批玩具总数量为$(1000+m)$件，依题意列方程：
$(60-50)×(1000+m)×20\% = 10000$
化简得：$2(1000+m) = 10000$
解得：$m = 4000$
【答案】
(1) $y=1000x-50000$
(2) 该商店继续购进了4000件航天模型玩具
【知识点】
销售利润计算、一次函数解析式求解、一元一次方程应用
【点评】
本题结合航天热点背景考查实际应用问题，侧重对基础数量关系的考查，解题关键是准确梳理利润相关的等量关系，根据要求正确列函数式或方程求解。
【难度系数】
0.8
7. 某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李,当行李的质量超过规定时,需付的行李费$y$(元)是行李质量$x(kg)$的一次函数.已知行李质量为20kg时需付行李费2元,行李质量为50kg时需付行李费8元,则旅客最多可免费携带行李的质量为( )
A.5kg
B.8kg
C.10kg
D.15kg
A.5kg
B.8kg
C.10kg
D.15kg
答案：C
解析：
【分析】
首先，题目明确行李费y是行李质量x的一次函数，我们可以先用待定系数法求出该一次函数的解析式。免费携带行李的含义是应付行李费y=0，求出此时对应的x值就是旅客最多可免费携带的行李质量。解题步骤为：第一步设一次函数解析式，第二步代入已知的两组x、y值列方程组求解系数，第三步令y=0解方程得到结果。
【解析】
设行李费y与行李质量x的函数关系式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
将$ x=20,y=2 $和$ x=50,y=8 $分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}20k + b = 2 \\50k + b = 8\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$ 30k = 6 $，解得$ k = 0.2 $。
将$ k=0.2 $代入$ 20k + b = 2 $，得：$ 20×0.2 + b = 2 $，解得$ b = -2 $。
因此函数解析式为$ y = 0.2x - 2 $。
当行李免费时，应付行李费$ y=0 $，代入解析式得：
$ 0 = 0.2x - 2 $，解得$ x = 10 $。
即旅客最多可免费携带10kg行李。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是正确理解题意，先用待定系数法求出函数解析式，再结合“免费即行李费为0”的条件解方程即可，侧重考查对一次函数基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
首先，题目明确行李费y是行李质量x的一次函数，我们可以先用待定系数法求出该一次函数的解析式。免费携带行李的含义是应付行李费y=0，求出此时对应的x值就是旅客最多可免费携带的行李质量。解题步骤为：第一步设一次函数解析式，第二步代入已知的两组x、y值列方程组求解系数，第三步令y=0解方程得到结果。
【解析】
设行李费y与行李质量x的函数关系式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
将$ x=20,y=2 $和$ x=50,y=8 $分别代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}20k + b = 2 \\50k + b = 8\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$ 30k = 6 $，解得$ k = 0.2 $。
将$ k=0.2 $代入$ 20k + b = 2 $，得：$ 20×0.2 + b = 2 $，解得$ b = -2 $。
因此函数解析式为$ y = 0.2x - 2 $。
当行李免费时，应付行李费$ y=0 $，代入解析式得：
$ 0 = 0.2x - 2 $，解得$ x = 10 $。
即旅客最多可免费携带10kg行李。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
【点评】
本题是一次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是正确理解题意，先用待定系数法求出函数解析式，再结合“免费即行李费为0”的条件解方程即可，侧重考查对一次函数基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
8. 某衬衣定价为100元时,每月可卖出2000件,受成本影响,该衬衣需涨价,已知价格每上涨10元,销售量便减少50件.那么每月售出衬衣的总件数$y$(件)与衬衣价格$x$(元)之间的表达式为______.
答案：$y=-5x+2500$
解析：
【分析】
这是一道根据销售实际问题列一次函数表达式的题目，解题思路如下：首先确定基础对应关系：价格为100元时，销量为2000件；再梳理价格变动与销量变动的规律：价格每上涨10元，销量减少50件，可先算出价格每上涨1元对应的销量减少量；接着计算价格为x元时，相比原价100元的上涨金额，进而求出总共减少的销量；最后用基础销量减去减少的销量，化简后即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：首先计算单位价格上涨对应的销量减少量：
每上涨1元，销量减少的件数为 $ 50÷10=5 $（件）
当衬衣价格为$ x $元时，相比原价100元上涨了$ (x-100) $元，此时销量减少的总件数为 $ 5(x-100) $ 件
已知原价对应销量为2000件，因此总销量$ y $的表达式为：
$ y=2000 - 5(x-100) $
化简得：
$ y=2000 -5x +500 = -5x +2500 $
【答案】
$ y=-5x+2500 $
【知识点】
列一次函数表达式；一次函数的实际应用
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，核心是理清价格变动和销量变动的对应关系，找准“总销量=基础销量-减少的销量”这一等量关系即可求解，注意不要混淆销量随价格上涨的增减趋势。
【难度系数】
0.8
这是一道根据销售实际问题列一次函数表达式的题目，解题思路如下：首先确定基础对应关系：价格为100元时，销量为2000件；再梳理价格变动与销量变动的规律：价格每上涨10元，销量减少50件，可先算出价格每上涨1元对应的销量减少量；接着计算价格为x元时，相比原价100元的上涨金额，进而求出总共减少的销量；最后用基础销量减去减少的销量，化简后即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：首先计算单位价格上涨对应的销量减少量：
每上涨1元，销量减少的件数为 $ 50÷10=5 $（件）
当衬衣价格为$ x $元时，相比原价100元上涨了$ (x-100) $元，此时销量减少的总件数为 $ 5(x-100) $ 件
已知原价对应销量为2000件，因此总销量$ y $的表达式为：
$ y=2000 - 5(x-100) $
化简得：
$ y=2000 -5x +500 = -5x +2500 $
【答案】
$ y=-5x+2500 $
【知识点】
列一次函数表达式；一次函数的实际应用
【点评】
本题属于一次函数实际应用的基础题型，核心是理清价格变动和销量变动的对应关系，找准“总销量=基础销量-减少的销量”这一等量关系即可求解，注意不要混淆销量随价格上涨的增减趋势。
【难度系数】
0.8
9. 某厂日产手套的总成本$y$(元)与日产量$x$(副)之间的函数表达式为$y= 5x+50000$,而手套的出厂价格为每副10元,该厂至少应每日产手套______副才不亏本.
答案：10 000
解析：
【分析】
解题首先要明确“不亏本”的判定标准：生产手套的总收入≥总成本。我们先根据日产量x表示出总的销售收入，再结合题目给出的总成本与日产量的函数关系，列出对应的一元一次不等式，求解不等式即可得到不亏本的最低日产量。
【解析】
解：若该厂不亏本，需满足总销售收入≥总成本。
已知日产量为x副，每副手套出厂价为10元，则总销售收入为10x元。
结合总成本函数$y=5x+50000$，可列不等式：
$10x ≥ 5x + 50000$
移项，得：$10x - 5x ≥ 50000$
合并同类项，得：$5x ≥ 50000$
系数化为1，得：$x ≥ 10000$
即该厂每日至少生产10000副手套才不亏本。
【答案】
10 000
【知识点】
一次函数实际应用；一元一次不等式求解；盈亏问题计算
【点评】
本题属于一次函数结合不等式的基础实际应用题，解题关键是正确理解“不亏本”对应的不等关系，将实际问题转化为数学不等式求解，主要考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确“不亏本”的判定标准：生产手套的总收入≥总成本。我们先根据日产量x表示出总的销售收入，再结合题目给出的总成本与日产量的函数关系，列出对应的一元一次不等式，求解不等式即可得到不亏本的最低日产量。
【解析】
解：若该厂不亏本，需满足总销售收入≥总成本。
已知日产量为x副，每副手套出厂价为10元，则总销售收入为10x元。
结合总成本函数$y=5x+50000$，可列不等式：
$10x ≥ 5x + 50000$
移项，得：$10x - 5x ≥ 50000$
合并同类项，得：$5x ≥ 50000$
系数化为1，得：$x ≥ 10000$
即该厂每日至少生产10000副手套才不亏本。
【答案】
10 000
【知识点】
一次函数实际应用；一元一次不等式求解；盈亏问题计算
【点评】
本题属于一次函数结合不等式的基础实际应用题，解题关键是正确理解“不亏本”对应的不等关系，将实际问题转化为数学不等式求解，主要考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.85
10. (连云港中考)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨,每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元,每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品$x$(吨),生产甲、乙两种产品获得的总利润为$y$(万元).
(1)求$y与x$之间的函数表达式；
(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响,该工厂能获得的A原料至多为1000吨,其他原料充足,求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润.
(1)求$y与x$之间的函数表达式；
(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响,该工厂能获得的A原料至多为1000吨,其他原料充足,求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润.
答案：
(1)$y=x×0.3+(2500-x)×0.4=-0.1x+1000(0\leqslant x\leqslant 2500)$.
(2)由题意得$x×0.25+(2500-x)×0.5\leqslant 1000$,解得$x\geqslant 1000$.又因为$x\leqslant 2500$,所以$1000\leqslant x\leqslant 2500$.由
(1)可知$-0.1＜0$,所以y的值随着x的增大而减小.所以当$x=1000$时,y取最大值,此时生产乙种产品$2500-1000=1500$(吨).答:该工厂生产甲种产品1000吨,乙种产品1500吨时,能获得最大利润.
(1)$y=x×0.3+(2500-x)×0.4=-0.1x+1000(0\leqslant x\leqslant 2500)$.
(2)由题意得$x×0.25+(2500-x)×0.5\leqslant 1000$,解得$x\geqslant 1000$.又因为$x\leqslant 2500$,所以$1000\leqslant x\leqslant 2500$.由
(1)可知$-0.1＜0$,所以y的值随着x的增大而减小.所以当$x=1000$时,y取最大值,此时生产乙种产品$2500-1000=1500$(吨).答:该工厂生产甲种产品1000吨,乙种产品1500吨时,能获得最大利润.
解析：
【分析】
(1) 求总利润与甲产品产量的函数表达式，依据“总利润=甲产品总利润+乙产品总利润”的数量关系推导：已知甲产品产量为x吨，乙产品产量即为总产量减去甲的产量，再分别乘以对应每吨利润，整理即可得到函数式，同时要明确x的合理取值范围。
(2) 先根据A原料的供应上限列出关于x的一元一次不等式，求解得到x的取值范围；再结合第一问得到的一次函数的增减性（由一次项系数的正负判断），确定x取何值时总利润最大，进而算出甲乙两种产品的产量。
【解析】
(1) 已知生产甲产品x吨，则生产乙产品$(2500-x)$吨，根据总利润的计算方法可得：
$\begin{aligned}y &= 0.3x + 0.4(2500 - x) \\&= -0.1x + 1000\end{aligned}$
结合产量的实际意义，x的取值范围为$0≤ x≤ 2500$。
(2) 由A原料最多1000吨的限制，列不等式：
$0.25x + 0.5(2500 - x) ≤ 1000$
解不等式：
$\begin{aligned}0.25x + 1250 - 0.5x &≤ 1000 \\-0.25x &≤ -250 \\x &≥ 1000\end{aligned}$
结合x的原有取值范围，可得$1000≤ x≤ 2500$。
由(1)知一次函数$y=-0.1x+1000$中，一次项系数$-0.1＜0$，因此y随x的增大而减小，故当x取最小值1000时，y取得最大值。
此时乙产品产量为$2500 - 1000 = 1500$（吨）。
【答案】
(1) $y=-0.1x+1000(0≤ x≤ 2500)$
(2) 生产甲种产品1000吨，乙种产品1500吨时，能获得最大利润。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数解决实际最值问题的典型题型，解题核心是先梳理数量关系建立函数模型，再结合约束条件确定自变量取值范围，最后利用一次函数增减性求最值，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求总利润与甲产品产量的函数表达式，依据“总利润=甲产品总利润+乙产品总利润”的数量关系推导：已知甲产品产量为x吨，乙产品产量即为总产量减去甲的产量，再分别乘以对应每吨利润，整理即可得到函数式，同时要明确x的合理取值范围。
(2) 先根据A原料的供应上限列出关于x的一元一次不等式，求解得到x的取值范围；再结合第一问得到的一次函数的增减性（由一次项系数的正负判断），确定x取何值时总利润最大，进而算出甲乙两种产品的产量。
【解析】
(1) 已知生产甲产品x吨，则生产乙产品$(2500-x)$吨，根据总利润的计算方法可得：
$\begin{aligned}y &= 0.3x + 0.4(2500 - x) \\&= -0.1x + 1000\end{aligned}$
结合产量的实际意义，x的取值范围为$0≤ x≤ 2500$。
(2) 由A原料最多1000吨的限制，列不等式：
$0.25x + 0.5(2500 - x) ≤ 1000$
解不等式：
$\begin{aligned}0.25x + 1250 - 0.5x &≤ 1000 \\-0.25x &≤ -250 \\x &≥ 1000\end{aligned}$
结合x的原有取值范围，可得$1000≤ x≤ 2500$。
由(1)知一次函数$y=-0.1x+1000$中，一次项系数$-0.1＜0$，因此y随x的增大而减小，故当x取最小值1000时，y取得最大值。
此时乙产品产量为$2500 - 1000 = 1500$（吨）。
【答案】
(1) $y=-0.1x+1000(0≤ x≤ 2500)$
(2) 生产甲种产品1000吨，乙种产品1500吨时，能获得最大利润。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数解决实际最值问题的典型题型，解题核心是先梳理数量关系建立函数模型，再结合约束条件确定自变量取值范围，最后利用一次函数增减性求最值，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7