8. (南京中考)小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16 min回到家中.设小明出发第t min时的速度为v m/min,离家的距离为s m,v与t之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点).
(1)小明出发第2 min时离家的距离为______m;
(2)当2＜t≤5时,求s与t之间的函数表达式;
(3)画出s与t之间的函数图象.
(1)小明出发第2 min时离家的距离为______m;
(2)当2＜t≤5时,求s与t之间的函数表达式;
(3)画出s与t之间的函数图象.
答案：
(1)200
(2)当2＜t≤5时,s=100×2+160(t−2)=160t−120,故当2＜t≤5时,s与t之间的函数表达式为s=160t−120.
(3)s与t之间的函数表达式为
s={100t(0≤t≤2),160t-120(2＜t≤5),80t+280(5＜t≤6.25),1280-80t(6.25＜t≤16).
如图所示:
(1)200
(2)当2＜t≤5时,s=100×2+160(t−2)=160t−120,故当2＜t≤5时,s与t之间的函数表达式为s=160t−120.
(3)s与t之间的函数表达式为
s={100t(0≤t≤2),160t-120(2＜t≤5),80t+280(5＜t≤6.25),1280-80t(6.25＜t≤16).
如图所示:
解析：
【分析】
(1) 观察v-t图象可知0~2min小明的速度为100m/min，根据路程=速度×时间的关系，直接计算第2min时的离家距离即可。
(2) 2＜t≤5时小明的速度变为160m/min，此时的离家距离等于前2min走的路程加上t＞2后走的路程，代入路程公式化简即可得到对应的函数表达式。
(3) 先将整个运动过程分为4个阶段：①0~2min匀速前进；②2~5min提速前进；③5~6.25min以80m/min前进到最远点；④6.25~16min原路匀速返回，分别计算每个阶段的s与t的函数表达式，再结合关键点坐标绘制折线图象即可。
【解析】
(1) 当0≤t≤2时，小明的速度v=100m/min，根据路程公式$s=vt$，当t=2时，$s=100×2=200\ \mathrm{m}$。
(2) 当2＜t≤5时，小明的速度为160m/min，前2min已走路程为200m，后续运动时间为$(t-2)\ \mathrm{min}$，因此总离家距离：
$\begin{aligned}s&=200 + 160(t-2)\\&=160t - 120\end{aligned}$
(3) 分四个阶段推导s与t的函数表达式：
①当0≤t≤2时，$s=100t$；
②当2＜t≤5时，$s=160t - 120$，代入t=5得s=680m；
③当5＜t≤6.25时，小明速度为80m/min，仍向远离家的方向运动，因此$s=680 + 80(t-5)=80t + 280$，代入t=6.25得s=780m，为最远点；
④当6.25＜t≤16时，小明原路返回，速度为80m/min，因此$s=780 - 80(t-6.25)=1280 - 80t$，代入t=16得s=0，刚好回到家。
根据上述解析式和关键点$(0,0)$、$(2,200)$、$(5,680)$、$(6.25,780)$、$(16,0)$绘制折线图象即可。
【答案】
(1)200
(2)当2＜t≤5时，s与t之间的函数表达式为$s=160t−120$
(3)s与t之间的函数图象如下：
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题公式
【点评】
本题结合跑步的实际场景，考查从函数图象提取信息、求解分段函数解析式及绘制函数图象的能力，解题核心是准确划分运动阶段，结合路程、速度、时间的关系计算各段的函数关系，能有效考查学生的信息分析能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 观察v-t图象可知0~2min小明的速度为100m/min，根据路程=速度×时间的关系，直接计算第2min时的离家距离即可。
(2) 2＜t≤5时小明的速度变为160m/min，此时的离家距离等于前2min走的路程加上t＞2后走的路程，代入路程公式化简即可得到对应的函数表达式。
(3) 先将整个运动过程分为4个阶段：①0~2min匀速前进；②2~5min提速前进；③5~6.25min以80m/min前进到最远点；④6.25~16min原路匀速返回，分别计算每个阶段的s与t的函数表达式，再结合关键点坐标绘制折线图象即可。
【解析】
(1) 当0≤t≤2时，小明的速度v=100m/min，根据路程公式$s=vt$，当t=2时，$s=100×2=200\ \mathrm{m}$。
(2) 当2＜t≤5时，小明的速度为160m/min，前2min已走路程为200m，后续运动时间为$(t-2)\ \mathrm{min}$，因此总离家距离：
$\begin{aligned}s&=200 + 160(t-2)\\&=160t - 120\end{aligned}$
(3) 分四个阶段推导s与t的函数表达式：
①当0≤t≤2时，$s=100t$；
②当2＜t≤5时，$s=160t - 120$，代入t=5得s=680m；
③当5＜t≤6.25时，小明速度为80m/min，仍向远离家的方向运动，因此$s=680 + 80(t-5)=80t + 280$，代入t=6.25得s=780m，为最远点；
④当6.25＜t≤16时，小明原路返回，速度为80m/min，因此$s=780 - 80(t-6.25)=1280 - 80t$，代入t=16得s=0，刚好回到家。
根据上述解析式和关键点$(0,0)$、$(2,200)$、$(5,680)$、$(6.25,780)$、$(16,0)$绘制折线图象即可。
【答案】
(1)200
(2)当2＜t≤5时，s与t之间的函数表达式为$s=160t−120$
(3)s与t之间的函数图象如下：
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题公式
【点评】
本题结合跑步的实际场景，考查从函数图象提取信息、求解分段函数解析式及绘制函数图象的能力，解题核心是准确划分运动阶段，结合路程、速度、时间的关系计算各段的函数关系，能有效考查学生的信息分析能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
9. 应用意识·模型观念 (2023·牡丹江中考)在一条高速公路上依次有A,B,C三地,甲车从A地出发匀速驶向C地,到达C地休息1 h后调头(调头时间忽略不计)按原路原速驶向B地,甲车从A地出发1.5 h后,乙车从C地出发匀速驶向A地,两车同时到达目的地.两车距A地路程y km与甲车行驶时间x h之间的函数关系如图所示.请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车行驶的速度是______km/h,乙车行驶的速度是______km/h.
(2)求图中线段MN所表示的y与x之间的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围.
(3)乙车出发多少小时,两车距各自出发地路程的差是160 km?请直接写出答案.
(1)甲车行驶的速度是______km/h,乙车行驶的速度是______km/h.
(2)求图中线段MN所表示的y与x之间的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围.
(3)乙车出发多少小时,两车距各自出发地路程的差是160 km?请直接写出答案.
答案：
(1)120 80
(2)设线段MN所在直线的表达式为y=kx+b(k≠0),将点(1.5,360),(3,240)代入y=kx+b,得{1.5k+b=360,3k+b=240,解得{k=-80,b=480,
∴线段MN所在直线的表达式为y=-80x+480(1.5≤x≤6).
(3)乙车出发2.5h或4.1h,两车距各自出发地路程的差是160km. 解析:由题意可得,当y=0时,x=6,
∴N(6,0).
∵两车同时到达目的地,
∴乙到达目的地时,甲距离A地的距离为360-120×(6-3-1)=120(km),
∴F(6,120),E(4,360).设乙车出发t h,两车距各自出发地路程的差是160 km.当0≤t≤1.5时,此时甲在自出发地前,则|80t-120(t+1.5)|=160,解得t为负数,不合题意；当1.5＜t≤2.5时,此时甲在C地休息,则|80t-360|=160,解得t₁=2.5,t₂=6.5(不合题意,舍去)；当2.5＜t≤4.5时,此时甲从C地调头驶向B地,则|80t-[2×360-120×(t+1.5-1)]|=160,解得t₃=2.5(不合题意,舍去),t₄=4.1.综上,乙车出发2.5h或4.1h,两车距各自出发地路程的差是160km.
(1)120 80
(2)设线段MN所在直线的表达式为y=kx+b(k≠0),将点(1.5,360),(3,240)代入y=kx+b,得{1.5k+b=360,3k+b=240,解得{k=-80,b=480,
∴线段MN所在直线的表达式为y=-80x+480(1.5≤x≤6).
(3)乙车出发2.5h或4.1h,两车距各自出发地路程的差是160km. 解析:由题意可得,当y=0时,x=6,
∴N(6,0).
∵两车同时到达目的地,
∴乙到达目的地时,甲距离A地的距离为360-120×(6-3-1)=120(km),
∴F(6,120),E(4,360).设乙车出发t h,两车距各自出发地路程的差是160 km.当0≤t≤1.5时,此时甲在自出发地前,则|80t-120(t+1.5)|=160,解得t为负数,不合题意；当1.5＜t≤2.5时,此时甲在C地休息,则|80t-360|=160,解得t₁=2.5,t₂=6.5(不合题意,舍去)；当2.5＜t≤4.5时,此时甲从C地调头驶向B地,则|80t-[2×360-120×(t+1.5-1)]|=160,解得t₃=2.5(不合题意,舍去),t₄=4.1.综上,乙车出发2.5h或4.1h,两车距各自出发地路程的差是160km.
解析：
【分析】
1. 第(1)问求速度：由图象可知A、C两地相距360km，甲车3小时从A地到达C地，根据速度=路程÷时间可求甲的速度；乙车在甲出发1.5h后从C地出发，最终x=6h时到达A地，可得乙的行驶总时间，同理可求乙的速度。
2. 第(2)问求线段MN的函数表达式：线段MN表示乙车距A地的路程与甲车行驶时间的关系，已知线段过(1.5,360)和(3,240)两点，用待定系数法设一次函数解析式，代入两点坐标求解参数，再结合乙的行驶时间确定自变量取值范围即可。
3. 第(3)问求乙出发时间：设乙出发t h，分三种情况讨论：①甲驶向C地阶段、②甲在C地休息阶段、③甲从C地调头返回阶段，分别表示出两车距各自出发地的路程，根据路程差为160km列绝对值方程，舍去不符合时间段的解即可得到结果。
【解析】
(1) 由图象得A、C两地距离为360km，甲车3h从A地到达C地，甲车速度为$360÷3=120\ \mathrm{km/h}$；
乙车在甲出发1.5h后从C地出发，x=6h时到达A地，乙的行驶总时间为$6-1.5=4.5\ \mathrm{h}$，乙车速度为$360÷4.5=80\ \mathrm{km/h}$。
(2) 设线段MN的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将点$(1.5,360)$、$(3,240)$代入解析式得：
$\begin{cases}1.5k+b=360\\3k+b=240\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-80\\b=480\end{cases}$
乙车行驶时间为x=1.5h到x=6h，故自变量x的取值范围是$1.5≤ x≤6$，
因此线段MN的函数表达式为$y=-80x+480\ (1.5≤ x≤6)$。
(3) 设乙车出发t h时，两车距各自出发地路程的差是160km，此时甲的行驶时间为$(t+1.5)\ \mathrm{h}$：
① 当$0≤ t≤1.5$时，甲在驶向C地，列方程$|80t-120(t+1.5)|=160$，解得t为负数，不符合实际，舍去；
② 当$1.5＜ t≤2.5$时，甲在C地休息，列方程$|80t-360|=160$，解得$t_1=2.5$，$t_2=6.5$（不符合时间段，舍去）；
③ 当$2.5＜ t≤4.5$时，甲从C地调头返回，列方程$|80t-[360-120(t+1.5-4)]|=160$，解得$t_3=4.1$，$t_4=2.5$（不符合时间段，舍去）。
综上，乙车出发2.5h或4.1h满足条件。
【答案】
(1) $\boxed{120}$；$\boxed{80}$
(2) $\boxed{y=-80x+480\ (1.5≤ x≤6)}$
(3) $\boxed{2.5\ \mathrm{h}}$或$\boxed{4.1\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，需要准确提取图象中的路程、时间信息，明确不同阶段车辆的行驶状态，通过分类讨论列方程求解，侧重考查信息提取能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问求速度：由图象可知A、C两地相距360km，甲车3小时从A地到达C地，根据速度=路程÷时间可求甲的速度；乙车在甲出发1.5h后从C地出发，最终x=6h时到达A地，可得乙的行驶总时间，同理可求乙的速度。
2. 第(2)问求线段MN的函数表达式：线段MN表示乙车距A地的路程与甲车行驶时间的关系，已知线段过(1.5,360)和(3,240)两点，用待定系数法设一次函数解析式，代入两点坐标求解参数，再结合乙的行驶时间确定自变量取值范围即可。
3. 第(3)问求乙出发时间：设乙出发t h，分三种情况讨论：①甲驶向C地阶段、②甲在C地休息阶段、③甲从C地调头返回阶段，分别表示出两车距各自出发地的路程，根据路程差为160km列绝对值方程，舍去不符合时间段的解即可得到结果。
【解析】
(1) 由图象得A、C两地距离为360km，甲车3h从A地到达C地，甲车速度为$360÷3=120\ \mathrm{km/h}$；
乙车在甲出发1.5h后从C地出发，x=6h时到达A地，乙的行驶总时间为$6-1.5=4.5\ \mathrm{h}$，乙车速度为$360÷4.5=80\ \mathrm{km/h}$。
(2) 设线段MN的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将点$(1.5,360)$、$(3,240)$代入解析式得：
$\begin{cases}1.5k+b=360\\3k+b=240\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-80\\b=480\end{cases}$
乙车行驶时间为x=1.5h到x=6h，故自变量x的取值范围是$1.5≤ x≤6$，
因此线段MN的函数表达式为$y=-80x+480\ (1.5≤ x≤6)$。
(3) 设乙车出发t h时，两车距各自出发地路程的差是160km，此时甲的行驶时间为$(t+1.5)\ \mathrm{h}$：
① 当$0≤ t≤1.5$时，甲在驶向C地，列方程$|80t-120(t+1.5)|=160$，解得t为负数，不符合实际，舍去；
② 当$1.5＜ t≤2.5$时，甲在C地休息，列方程$|80t-360|=160$，解得$t_1=2.5$，$t_2=6.5$（不符合时间段，舍去）；
③ 当$2.5＜ t≤4.5$时，甲从C地调头返回，列方程$|80t-[360-120(t+1.5-4)]|=160$，解得$t_3=4.1$，$t_4=2.5$（不符合时间段，舍去）。
综上，乙车出发2.5h或4.1h满足条件。
【答案】
(1) $\boxed{120}$；$\boxed{80}$
(2) $\boxed{y=-80x+480\ (1.5≤ x≤6)}$
(3) $\boxed{2.5\ \mathrm{h}}$或$\boxed{4.1\ \mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，需要准确提取图象中的路程、时间信息，明确不同阶段车辆的行驶状态，通过分类讨论列方程求解，侧重考查信息提取能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6