【查阅资料】
| | 自制杆秤 |
| 原理 | 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器,称重时根据被称物的轻重,使砣与砣绳在秤杆上移动以保持平衡.根据平衡时砣绳所对应的秤杆上的刻度,即可读出被称物的质量示值.杆秤称物符合杠杆原理：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂。 |
| 制作步骤 | 步骤1 准备材料秤杆、秤砣、秤钩、提纽、刻度标记工具步骤2 制作秤杆根据需要称量的最大质量和精度,选择合适的秤杆长度和直径.在秤杆上确定支点位置,通常位于秤杆的中间或稍偏一端.在秤杆上刻制刻度,根据杠杆原理,确定每个刻度的位置.步骤3 安装秤钩和提纽在秤杆的一端安装秤钩,确保秤钩稳固且能自由摆动.在秤杆的另一端或适当位置安装提纽.步骤4 校准杆秤使用已知质量的物体进行校准,确保杆秤在不同质量下的读数准确.根据校准结果调整秤砣的质量或刻度标记的位置,以达到所需的精度. |
【建立模型】如图①,可以用秤砣到提纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的质量.称重时,若秤杆上秤砣到提纽的水平距离为$x$(厘米)时,秤钩所挂物重为$y$(斤),则$y是x$的一次函数,表中为校准杆秤时若干次称重所记录的一些数据.
| $x$/厘米 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| $y$/斤 | 0.6 | 1.3 | 2 | 2.7 | 3.4 | 4.8 |
【解决问题】
(1) 在上表$x$,$y$的数据中,发现有一对数据记录错误,在图②中,通过描点的方法,观察判断哪一对数是错误的？以坐标的形式表达出来.
(2) 根据表格和图象的发现,通过计算回答下列问题.
①$y与x$之间的函数表达式；
②当秤钩所挂物重是6.2斤时,问秤杆上秤砣到提纽的水平距离为多少厘米？
| | 自制杆秤 |
| 原理 | 杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器,称重时根据被称物的轻重,使砣与砣绳在秤杆上移动以保持平衡.根据平衡时砣绳所对应的秤杆上的刻度,即可读出被称物的质量示值.杆秤称物符合杠杆原理：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂。 |
| 制作步骤 | 步骤1 准备材料秤杆、秤砣、秤钩、提纽、刻度标记工具步骤2 制作秤杆根据需要称量的最大质量和精度,选择合适的秤杆长度和直径.在秤杆上确定支点位置,通常位于秤杆的中间或稍偏一端.在秤杆上刻制刻度,根据杠杆原理,确定每个刻度的位置.步骤3 安装秤钩和提纽在秤杆的一端安装秤钩,确保秤钩稳固且能自由摆动.在秤杆的另一端或适当位置安装提纽.步骤4 校准杆秤使用已知质量的物体进行校准,确保杆秤在不同质量下的读数准确.根据校准结果调整秤砣的质量或刻度标记的位置,以达到所需的精度. |
【建立模型】如图①,可以用秤砣到提纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的质量.称重时,若秤杆上秤砣到提纽的水平距离为$x$(厘米)时,秤钩所挂物重为$y$(斤),则$y是x$的一次函数,表中为校准杆秤时若干次称重所记录的一些数据.
| $x$/厘米 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| $y$/斤 | 0.6 | 1.3 | 2 | 2.7 | 3.4 | 4.8 |
【解决问题】
(1) 在上表$x$,$y$的数据中,发现有一对数据记录错误,在图②中,通过描点的方法,观察判断哪一对数是错误的？以坐标的形式表达出来.
(2) 根据表格和图象的发现,通过计算回答下列问题.
①$y与x$之间的函数表达式；
②当秤钩所挂物重是6.2斤时,问秤杆上秤砣到提纽的水平距离为多少厘米？
答案：
(1)把表中数据描点，观察下图可知,由于y是x的一次函数,(6,4.8)没有位于直线上,
∴x=6,y=4.8这组数据错误,故(6,4.8)是错误的.
(2)①
∵y是x的一次函数,设y与x的函数表达式为y=kx+b,将(1,0.6),(2,1.3)代入得{1k+b=0.6,2k+b=1.3,解得{k=0.7,b=-0.1,
∴y与x的函数表达式为y=0.7x-0.1.
②当y=6.2时,6.2=0.7x-0.1,解得x=9.
答:秤钩所挂物重是6.2斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为9厘米
(1)把表中数据描点，观察下图可知,由于y是x的一次函数,(6,4.8)没有位于直线上,
∴x=6,y=4.8这组数据错误,故(6,4.8)是错误的.
(2)①
∵y是x的一次函数,设y与x的函数表达式为y=kx+b,将(1,0.6),(2,1.3)代入得{1k+b=0.6,2k+b=1.3,解得{k=0.7,b=-0.1,
∴y与x的函数表达式为y=0.7x-0.1.
②当y=6.2时,6.2=0.7x-0.1,解得x=9.
答:秤钩所挂物重是6.2斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为9厘米
解析：
【分析】
(1) 已知y是x的一次函数，一次函数的图象是一条直线，因此我们可以将表格中所有数据对应的点在坐标系中描出，不在这条直线上的点对应的就是错误的记录数据。
(2) ①求一次函数表达式，我们可以用待定系数法，先设一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0），选取两组正确的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式，还可代入其余正确数据验证解析式的正确性；②求物重6.2斤时对应的水平距离，只需将y=6.2代入已求出的函数表达式，解关于x的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 将表格中各组数据对应的点(1,0.6)、(2,1.3)、(3,2)、(4,2.7)、(5,3.4)、(6,4.8)在平面直角坐标系中描出，观察可得除(6,4.8)外，其余点都在同一条直线上，符合一次函数图象为直线的特征，因此错误的数据对是(6,4.8)。
(2) ①设y与x的函数表达式为y=kx+b（k≠0），选取两组正确的点(1,0.6)、(2,1.3)代入表达式，得：
$\begin{cases} k + b = 0.6 \\ 2k + b = 1.3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：k=0.7，
将k=0.7代入k+b=0.6，得：0.7 + b = 0.6，解得b=-0.1。
将x=3、x=4、x=5分别代入y=0.7x-0.1验证，得对应y值分别为2、2.7、3.4，均与表格数据一致，因此y与x的函数表达式为$\boldsymbol{y=0.7x-0.1}$。
②当秤钩所挂物重y=6.2斤时，将其代入函数表达式得：
6.2 = 0.7x - 0.1
移项得：0.7x = 6.2 + 0.1 = 6.3
解得：x = 6.3 ÷ 0.7 = 9
即秤砣到提纽的水平距离为9厘米。
【答案】
(1) 错误的数据是$\boldsymbol{(6,4.8)}$；
(2) ①y与x的函数表达式为$\boldsymbol{y=0.7x-0.1}$；
②秤砣到提纽的水平距离为$\boldsymbol{9}$厘米。
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法；一次函数的应用
【点评】
本题结合生活中常见的杆秤为背景，将杠杆原理与一次函数知识相结合，既考查了一次函数的图象特征，又考查了待定系数法求解析式及一次函数的实际应用，能很好地培养学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知y是x的一次函数，一次函数的图象是一条直线，因此我们可以将表格中所有数据对应的点在坐标系中描出，不在这条直线上的点对应的就是错误的记录数据。
(2) ①求一次函数表达式，我们可以用待定系数法，先设一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0），选取两组正确的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式，还可代入其余正确数据验证解析式的正确性；②求物重6.2斤时对应的水平距离，只需将y=6.2代入已求出的函数表达式，解关于x的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 将表格中各组数据对应的点(1,0.6)、(2,1.3)、(3,2)、(4,2.7)、(5,3.4)、(6,4.8)在平面直角坐标系中描出，观察可得除(6,4.8)外，其余点都在同一条直线上，符合一次函数图象为直线的特征，因此错误的数据对是(6,4.8)。
(2) ①设y与x的函数表达式为y=kx+b（k≠0），选取两组正确的点(1,0.6)、(2,1.3)代入表达式，得：
$\begin{cases} k + b = 0.6 \\ 2k + b = 1.3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：k=0.7，
将k=0.7代入k+b=0.6，得：0.7 + b = 0.6，解得b=-0.1。
将x=3、x=4、x=5分别代入y=0.7x-0.1验证，得对应y值分别为2、2.7、3.4，均与表格数据一致，因此y与x的函数表达式为$\boldsymbol{y=0.7x-0.1}$。
②当秤钩所挂物重y=6.2斤时，将其代入函数表达式得：
6.2 = 0.7x - 0.1
移项得：0.7x = 6.2 + 0.1 = 6.3
解得：x = 6.3 ÷ 0.7 = 9
即秤砣到提纽的水平距离为9厘米。
【答案】
(1) 错误的数据是$\boldsymbol{(6,4.8)}$；
(2) ①y与x的函数表达式为$\boldsymbol{y=0.7x-0.1}$；
②秤砣到提纽的水平距离为$\boldsymbol{9}$厘米。
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法；一次函数的应用
【点评】
本题结合生活中常见的杆秤为背景，将杠杆原理与一次函数知识相结合，既考查了一次函数的图象特征，又考查了待定系数法求解析式及一次函数的实际应用，能很好地培养学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7