1. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y= ax+b的图象过点B\left(-1,\frac{5}{2}\right)$,与$x轴交于点A(4,0)$,与$y轴交于点C$,与直线$y= kx交于点P$,且$PO= PA$.
(1)$a= $______, $b= $______, $k= $______；
(2)$D为线段PC$上一点,$DF\perp x轴于点F$,交$OP于点E$,若$DE= 2EF$,求点$D$的坐标.
(1)$a= $______, $b= $______, $k= $______；
(2)$D为线段PC$上一点,$DF\perp x轴于点F$,交$OP于点E$,若$DE= 2EF$,求点$D$的坐标.
答案：1.
(1)$-\frac{1}{2}$ 2 $\frac{1}{2}$
(2)设点$D\left(x,-\frac{1}{2}x+2\right)$,则$E\left(x,\frac{1}{2}x\right),F(x,0)$。
因为$DE = 2EF$，所以$-\frac{1}{2}x + 2 - \frac{1}{2}x = 2×\frac{1}{2}x$，
解得$x = 1$，则$-\frac{1}{2}x + 2 = -\frac{1}{2}×1 + 2 = \frac{3}{2}$，所以$D\left(1,\frac{3}{2}\right)$。
(1)$-\frac{1}{2}$ 2 $\frac{1}{2}$
(2)设点$D\left(x,-\frac{1}{2}x+2\right)$,则$E\left(x,\frac{1}{2}x\right),F(x,0)$。
因为$DE = 2EF$，所以$-\frac{1}{2}x + 2 - \frac{1}{2}x = 2×\frac{1}{2}x$，
解得$x = 1$，则$-\frac{1}{2}x + 2 = -\frac{1}{2}×1 + 2 = \frac{3}{2}$，所以$D\left(1,\frac{3}{2}\right)$。
解析：
【分析】
（1）求一次函数$y=ax+b$的系数$a、b$，可利用待定系数法，将已知的点$B(-1,\frac{5}{2})$、$A(4,0)$代入解析式，列二元一次方程组求解即可；求$k$时，先根据$PO=PA$得出点$P$在$OA$的垂直平分线上，$OA$端点为$(0,0)$和$(4,0)$，因此垂直平分线为直线$x=2$，将$x=2$代入已求出的$y=ax+b$解析式得到$P$点坐标，再代入$y=kx$即可求出$k$的值。
（2）已知$D$在线段$PC$上，因此$D$点坐标满足$y=ax+b$的解析式，可设$D$的横坐标为$x$，用含$x$的代数式表示$D、E、F$三点的纵坐标，再根据$DE=2EF$的数量关系列方程，解方程求出$x$后即可得到$D$点坐标。
【解析】
(1) 将$B(-1,\frac{5}{2})$、$A(4,0)$代入$y=ax+b$，得：
$\begin{cases} -a+b=\frac{5}{2} \\ 4a+b=0 \end{cases}$
两式相减得$5a=-\frac{5}{2}$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
将$a=-\frac{1}{2}$代入$4a+b=0$，解得$b=2$，因此一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
∵$PO=PA$，$O(0,0)$，$A(4,0)$，
∴点$P$的横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，
将$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}x+2$得$y=1$，即$P(2,1)$，
将$P(2,1)$代入$y=kx$得$1=2k$，解得$k=\frac{1}{2}$。
(2) 设点$D$的横坐标为$x$，则$D(x,-\frac{1}{2}x+2)$，
∵$DF⊥x$轴，交$OP$于点$E$，交$x$轴于$F$，
∴$E、F$横坐标均为$x$，
∵$E$在$y=\frac{1}{2}x$上，
∴$E(x,\frac{1}{2}x)$，$F(x,0)$，
∴$DE=(-\frac{1}{2}x+2)-\frac{1}{2}x=-x+2$，$EF=\frac{1}{2}x-0=\frac{1}{2}x$，
∵$DE=2EF$，
∴$-x+2=2×\frac{1}{2}x$，
解得$x=1$，代入$y=-\frac{1}{2}x+2$得$y=\frac{3}{2}$，即$D(1,\frac{3}{2})$。
【答案】
(1)$-\frac{1}{2}$；$2$；$\frac{1}{2}$
(2)$(1,\frac{3}{2})$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数基础综合题，结合了待定系数法求解析式、等腰三角形性质、坐标与线段长度的转化等考点，解题关键是熟练掌握一次函数的相关性质，能将几何关系转化为代数方程求解。
【难度系数】
0.7
（1）求一次函数$y=ax+b$的系数$a、b$，可利用待定系数法，将已知的点$B(-1,\frac{5}{2})$、$A(4,0)$代入解析式，列二元一次方程组求解即可；求$k$时，先根据$PO=PA$得出点$P$在$OA$的垂直平分线上，$OA$端点为$(0,0)$和$(4,0)$，因此垂直平分线为直线$x=2$，将$x=2$代入已求出的$y=ax+b$解析式得到$P$点坐标，再代入$y=kx$即可求出$k$的值。
（2）已知$D$在线段$PC$上，因此$D$点坐标满足$y=ax+b$的解析式，可设$D$的横坐标为$x$，用含$x$的代数式表示$D、E、F$三点的纵坐标，再根据$DE=2EF$的数量关系列方程，解方程求出$x$后即可得到$D$点坐标。
【解析】
(1) 将$B(-1,\frac{5}{2})$、$A(4,0)$代入$y=ax+b$，得：
$\begin{cases} -a+b=\frac{5}{2} \\ 4a+b=0 \end{cases}$
两式相减得$5a=-\frac{5}{2}$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
将$a=-\frac{1}{2}$代入$4a+b=0$，解得$b=2$，因此一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
∵$PO=PA$，$O(0,0)$，$A(4,0)$，
∴点$P$的横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，
将$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}x+2$得$y=1$，即$P(2,1)$，
将$P(2,1)$代入$y=kx$得$1=2k$，解得$k=\frac{1}{2}$。
(2) 设点$D$的横坐标为$x$，则$D(x,-\frac{1}{2}x+2)$，
∵$DF⊥x$轴，交$OP$于点$E$，交$x$轴于$F$，
∴$E、F$横坐标均为$x$，
∵$E$在$y=\frac{1}{2}x$上，
∴$E(x,\frac{1}{2}x)$，$F(x,0)$，
∴$DE=(-\frac{1}{2}x+2)-\frac{1}{2}x=-x+2$，$EF=\frac{1}{2}x-0=\frac{1}{2}x$，
∵$DE=2EF$，
∴$-x+2=2×\frac{1}{2}x$，
解得$x=1$，代入$y=-\frac{1}{2}x+2$得$y=\frac{3}{2}$，即$D(1,\frac{3}{2})$。
【答案】
(1)$-\frac{1}{2}$；$2$；$\frac{1}{2}$
(2)$(1,\frac{3}{2})$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数基础综合题，结合了待定系数法求解析式、等腰三角形性质、坐标与线段长度的转化等考点，解题关键是熟练掌握一次函数的相关性质，能将几何关系转化为代数方程求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,直线$l_1:y= x-3与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,直线$l_2:y= kx+b与x轴交于点C(1.5,0)$,与$y轴交于点D(0,3)$,直线$l_1,l_2交于点E$.
(1)求直线$l_2$的函数表达式；
(2)若$P为射线BA$上一点,当$\angle POB= \angle BDE$时,求点$P$的坐标.
(1)求直线$l_2$的函数表达式；
(2)若$P为射线BA$上一点,当$\angle POB= \angle BDE$时,求点$P$的坐标.
答案：
2.
(1)因为直线$l_{2}:y = kx + b$与$x$轴交于点$C(1.5,0)$，与$y$轴交于点$D(0,3)$，所以$\begin{cases}1.5k + b = 0\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 3\end{cases}$，所以直线$l_{2}$的函数表达式为$y = -2x + 3$。
(2)因为$\angle POB = \angle BDE$，点$P$在射线$BA$上，所以$OP// DE$，如图，所以直线$OP$的函数表达式为$y = -2x$，所以$-2x = x - 3$，解得$x = 1$。当$x = 1$时，$y = -2$，所以$P(1,-2)$。
2.
(1)因为直线$l_{2}:y = kx + b$与$x$轴交于点$C(1.5,0)$，与$y$轴交于点$D(0,3)$，所以$\begin{cases}1.5k + b = 0\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 3\end{cases}$，所以直线$l_{2}$的函数表达式为$y = -2x + 3$。
(2)因为$\angle POB = \angle BDE$，点$P$在射线$BA$上，所以$OP// DE$，如图，所以直线$OP$的函数表达式为$y = -2x$，所以$-2x = x - 3$，解得$x = 1$。当$x = 1$时，$y = -2$，所以$P(1,-2)$。
解析：
【分析】
(1) 求直线$l_2$的函数表达式可采用待定系数法：已知直线$l_2$经过C、D两个定点，将两点坐标代入解析式$y=kx+b$，即可得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数值就能确定$l_2$的解析式。
(2) 已知$∠POB=∠BDE$，这两个角分别是直线OP、直线$l_2$与y轴形成的同位角，同位角相等可推出$OP// l_2$；根据一次函数的性质，平行的一次函数k值相等，结合OP过原点，可直接写出OP的解析式；点P是射线BA（即直线$l_1$）与OP的交点，联立两个直线的解析式求解，再验证所得点在射线BA上即可。
【解析】
(1) 将点$C(1.5,0)$、$D(0,3)$代入直线$l_2$的解析式$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}1.5k + b = 0\\b = 3\end{cases}$
把$b=3$代入$1.5k + b = 0$，解得$k=-2$，因此直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+3$。
(2) 因为$∠POB=∠BDE$，根据同位角相等，两直线平行，可得$OP// l_2$，所以直线OP的k值与$l_2$相等，为$-2$。
又因为OP过原点$(0,0)$，因此直线OP的解析式为$y=-2x$。
点P在射线BA上，即在直线$l_1:y=x-3$上，联立两个解析式：
$\begin{cases}y=-2x\\y=x-3\end{cases}$
将$y=-2x$代入$y=x-3$，得$-2x=x-3$，解得$x=1$，代入$y=-2x$得$y=-2$。
经检验，点$(1,-2)$在射线BA上，因此点P的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
(1) 直线$l_2$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x+3}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(1,-2)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平行性质，一次函数交点求解
【点评】
本题考查一次函数的综合应用，第一问是待定系数法的基础应用，属于一次函数的必掌握考点；第二问需要将角相等的几何关系转化为直线平行的位置关系，再通过联立方程求解交点，考查了数形结合的转化思想，解题关键是建立几何关系和一次函数性质的关联。
【难度系数】
0.65
(1) 求直线$l_2$的函数表达式可采用待定系数法：已知直线$l_2$经过C、D两个定点，将两点坐标代入解析式$y=kx+b$，即可得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数值就能确定$l_2$的解析式。
(2) 已知$∠POB=∠BDE$，这两个角分别是直线OP、直线$l_2$与y轴形成的同位角，同位角相等可推出$OP// l_2$；根据一次函数的性质，平行的一次函数k值相等，结合OP过原点，可直接写出OP的解析式；点P是射线BA（即直线$l_1$）与OP的交点，联立两个直线的解析式求解，再验证所得点在射线BA上即可。
【解析】
(1) 将点$C(1.5,0)$、$D(0,3)$代入直线$l_2$的解析式$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}1.5k + b = 0\\b = 3\end{cases}$
把$b=3$代入$1.5k + b = 0$，解得$k=-2$，因此直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+3$。
(2) 因为$∠POB=∠BDE$，根据同位角相等，两直线平行，可得$OP// l_2$，所以直线OP的k值与$l_2$相等，为$-2$。
又因为OP过原点$(0,0)$，因此直线OP的解析式为$y=-2x$。
点P在射线BA上，即在直线$l_1:y=x-3$上，联立两个解析式：
$\begin{cases}y=-2x\\y=x-3\end{cases}$
将$y=-2x$代入$y=x-3$，得$-2x=x-3$，解得$x=1$，代入$y=-2x$得$y=-2$。
经检验，点$(1,-2)$在射线BA上，因此点P的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
(1) 直线$l_2$的函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x+3}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(1,-2)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平行性质，一次函数交点求解
【点评】
本题考查一次函数的综合应用，第一问是待定系数法的基础应用，属于一次函数的必掌握考点；第二问需要将角相等的几何关系转化为直线平行的位置关系，再通过联立方程求解交点，考查了数形结合的转化思想，解题关键是建立几何关系和一次函数性质的关联。
【难度系数】
0.65
3. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y= kx+b(k\neq0)的图象经过点A(0,2)$,$B(-4,0)$,点$C为直线AB$上的一点,点$C的纵坐标为3$,点$P是y$轴上的一点.
(1)求点$C$的坐标；
(2)若点$P的坐标为(0,4)$,求$\triangle PBC$的面积；
(3)若$\angle BCP= 45^\circ$,请直接写出点$P$的坐标.
备用图
(1)求点$C$的坐标；
(2)若点$P的坐标为(0,4)$,求$\triangle PBC$的面积；
(3)若$\angle BCP= 45^\circ$,请直接写出点$P$的坐标.
备用图答案：
3.
(1)把$A(0,2)$，$B(-4,0)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}b = 2\\-4k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$，所以直线$AB$的表达式为$y = \frac{1}{2}x + 2$。令$y = 3$得$3 = \frac{1}{2}x + 2$，解得$x = 2$，所以点$C$的坐标为$(2,3)$。
(2)如图①，因为$P(0,4)$，$A(0,2)$，所以$PA = 2$。因为$C(2,3)$，$B(-4,0)$，所以$S_{\triangle APC} = \frac{1}{2}×2×2 = 2$，$S_{\triangle APB} = \frac{1}{2}×2×4 = 4$，所以$S_{\triangle PBC} = 2 + 4 = 6$，所以$\triangle PBC$的面积为6。
(3)点$P$的坐标为$\left(0,\frac{11}{3}\right)$或$(0,-3)$。解析：过点$B$作$BH\perp CP$交$CP$延长线于点$H$，过点$H$作$MN// x$轴，过点$B$作$BN\perp MN$于点$N$，过点$C$作$CM\perp MN$于点$M$。设$H(m,n)$，当点$P$在$BC$上方时，如图②。因为$\angle BCP = 45^{\circ}$，$BH\perp CP$，所以$\triangle BCH$是等腰直角三角形，$\angle BHC = 90^{\circ}$，所以$BH = CH$，$\angle BHN = 90^{\circ} - \angle MHC = \angle MCH$。因为$\angle N = \angle M = 90^{\circ}$，所以$\triangle BHN\cong\triangle HCM(AAS)$，所以$BN = HM$，$NH = CM$。因为$B(-4,0)$，$C(2,3)$，所以$\begin{cases}n = 2 - m\\m - (-4) = n - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -2.5\\n = 4.5\end{cases}$，所以$H(-2.5,4.5)$。由$H(-2.5,4.5)$，$C(2,3)$得直线$CH$的表达式为$y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$，令$x = 0$得$y = \frac{11}{3}$，所以$P\left(0,\frac{11}{3}\right)$；当点$P$在$BC$下方时，如图③，同理可得$BN = MH$，$NH = CM$，所以$\begin{cases}-n = 2 - m\\m - (-4) = 3 - n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = \frac{1}{2}\\n = -\frac{3}{2}\end{cases}$，所以$H\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$，由$H\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$，$C(2,3)$可得直线$CP$的表达式为$y = 3x - 3$，令$x = 0$得$y = -3$，所以$P(0,-3)$。综上所述，点$P$的坐标为$\left(0,\frac{11}{3}\right)$或$(0,-3)$。
3.
(1)把$A(0,2)$，$B(-4,0)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}b = 2\\-4k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$，所以直线$AB$的表达式为$y = \frac{1}{2}x + 2$。令$y = 3$得$3 = \frac{1}{2}x + 2$，解得$x = 2$，所以点$C$的坐标为$(2,3)$。
(2)如图①，因为$P(0,4)$，$A(0,2)$，所以$PA = 2$。因为$C(2,3)$，$B(-4,0)$，所以$S_{\triangle APC} = \frac{1}{2}×2×2 = 2$，$S_{\triangle APB} = \frac{1}{2}×2×4 = 4$，所以$S_{\triangle PBC} = 2 + 4 = 6$，所以$\triangle PBC$的面积为6。
(3)点$P$的坐标为$\left(0,\frac{11}{3}\right)$或$(0,-3)$。解析：过点$B$作$BH\perp CP$交$CP$延长线于点$H$，过点$H$作$MN// x$轴，过点$B$作$BN\perp MN$于点$N$，过点$C$作$CM\perp MN$于点$M$。设$H(m,n)$，当点$P$在$BC$上方时，如图②。因为$\angle BCP = 45^{\circ}$，$BH\perp CP$，所以$\triangle BCH$是等腰直角三角形，$\angle BHC = 90^{\circ}$，所以$BH = CH$，$\angle BHN = 90^{\circ} - \angle MHC = \angle MCH$。因为$\angle N = \angle M = 90^{\circ}$，所以$\triangle BHN\cong\triangle HCM(AAS)$，所以$BN = HM$，$NH = CM$。因为$B(-4,0)$，$C(2,3)$，所以$\begin{cases}n = 2 - m\\m - (-4) = n - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -2.5\\n = 4.5\end{cases}$，所以$H(-2.5,4.5)$。由$H(-2.5,4.5)$，$C(2,3)$得直线$CH$的表达式为$y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$，令$x = 0$得$y = \frac{11}{3}$，所以$P\left(0,\frac{11}{3}\right)$；当点$P$在$BC$下方时，如图③，同理可得$BN = MH$，$NH = CM$，所以$\begin{cases}-n = 2 - m\\m - (-4) = 3 - n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = \frac{1}{2}\\n = -\frac{3}{2}\end{cases}$，所以$H\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$，由$H\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$，$C(2,3)$可得直线$CP$的表达式为$y = 3x - 3$，令$x = 0$得$y = -3$，所以$P(0,-3)$。综上所述，点$P$的坐标为$\left(0,\frac{11}{3}\right)$或$(0,-3)$。
解析：
【分析】
(1) 要求点C的坐标，需先求出直线AB的函数解析式，已知直线过A、B两点，用待定系数法代入两点坐标可求出k、b，得到解析式后将C的纵坐标3代入，解出x即可得到C的坐标。
(2) 求$△ PBC$的面积时，观察到点P、A都在y轴上，可采用割补法将$△ PBC$拆分为$△ APB$和$△ APC$，两个三角形的底均为PA的长度，高分别是点B、点C到y轴的水平距离，分别计算面积再求和即可。
(3) 遇到45°角可构造等腰直角三角形求解：过点B作CP的垂线得到等腰直角$△ BCH$，再作水平线构造全等三角形，求出垂足H的坐标后得到直线CP的解析式，其与y轴的交点即为点P，注意分点P在BC上方、下方两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 将$A(0,2)$、$B(-4,0)$代入$y = kx + b$，得：
$\begin{cases}b = 2\\-4k + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$
∴直线AB的表达式为$y = \frac{1}{2}x + 2$
∵点C在直线AB上，纵坐标为3，令$y=3$，得：
$3 = \frac{1}{2}x + 2$，解得$x=2$
∴点C的坐标为$(2,3)$。
(2)
∵$P(0,4)$，$A(0,2)$，两点均在y轴上，
∴$PA = 4-2=2$
$△ APB$以PA为底，高为点B到y轴的距离，即$|-4|=4$，
∴$S_{△APB} = \frac{1}{2}×PA×4 = \frac{1}{2}×2×4 = 4$
$△ APC$以PA为底，高为点C到y轴的距离，即2，
∴$S_{△APC} = \frac{1}{2}×PA×2 = \frac{1}{2}×2×2 = 2$
∴$S_{△PBC} = S_{△APB} + S_{△APC} = 4+2=6$
即$△ PBC$的面积为6。
(3) 分两种情况讨论：
①当点P在BC上方时：
过点B作$BH⊥CP$交CP于点H，过点H作$MN// x$轴，过B作$BN⊥MN$于N，过C作$CM⊥MN$于M。
∵$∠BCP=45°$，$BH⊥CP$，
∴$△ BCH$为等腰直角三角形，$BH=CH$，$∠BHC=90°$
∴$∠BHN + ∠CHM = 90°$，又$∠CHM + ∠HCM=90°$，
∴$∠BHN=∠HCM$
又$∠N=∠M=90°$，
∴$△ BHN≌△ HCM（AAS）$
∴$BN=HM$，$NH=CM$
设$H(m,n)$，结合$B(-4,0)$、$C(2,3)$得：
$\begin{cases}n = 2 - m\\m + 4 = n - 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = -\frac{5}{2}\\n = \frac{9}{2}\end{cases}$，即$H(-\frac{5}{2},\frac{9}{2})$
代入H、C坐标求得直线CH的解析式为$y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$，令$x=0$得$y=\frac{11}{3}$，即$P(0,\frac{11}{3})$。
②当点P在BC下方时：
同理构造全等$△ BHN≌△ HCM$，可得：
$\begin{cases}-n = 2 - m\\m + 4 = 3 - n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = \frac{1}{2}\\n = -\frac{3}{2}\end{cases}$，即$H(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$
代入H、C坐标求得直线CH的解析式为$y=3x-3$，令$x=0$得$y=-3$，即$P(0,-3)$。
综上，点P的坐标为$(0,\frac{11}{3})$或$(0,-3)$。
【答案】
(1) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,3)}$；
(2) $△ PBC$的面积为$\boldsymbol{6}$；
(3) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(0,\frac{11}{3})}$或$\boldsymbol{(0,-3)}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，割补法求三角形面积，全等三角形的应用
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合题，前两问侧重基础，考查一次函数解析式的求解和坐标系下三角形面积的计算，第三问有一定难度，需要结合45°角构造等腰直角三角形与全等三角形模型求解，注意分类讨论点P的两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.4
(1) 要求点C的坐标，需先求出直线AB的函数解析式，已知直线过A、B两点，用待定系数法代入两点坐标可求出k、b，得到解析式后将C的纵坐标3代入，解出x即可得到C的坐标。
(2) 求$△ PBC$的面积时，观察到点P、A都在y轴上，可采用割补法将$△ PBC$拆分为$△ APB$和$△ APC$，两个三角形的底均为PA的长度，高分别是点B、点C到y轴的水平距离，分别计算面积再求和即可。
(3) 遇到45°角可构造等腰直角三角形求解：过点B作CP的垂线得到等腰直角$△ BCH$，再作水平线构造全等三角形，求出垂足H的坐标后得到直线CP的解析式，其与y轴的交点即为点P，注意分点P在BC上方、下方两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 将$A(0,2)$、$B(-4,0)$代入$y = kx + b$，得：
$\begin{cases}b = 2\\-4k + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2}\\b = 2\end{cases}$
∴直线AB的表达式为$y = \frac{1}{2}x + 2$
∵点C在直线AB上，纵坐标为3，令$y=3$，得：
$3 = \frac{1}{2}x + 2$，解得$x=2$
∴点C的坐标为$(2,3)$。
(2)
∵$P(0,4)$，$A(0,2)$，两点均在y轴上，
∴$PA = 4-2=2$
$△ APB$以PA为底，高为点B到y轴的距离，即$|-4|=4$，
∴$S_{△APB} = \frac{1}{2}×PA×4 = \frac{1}{2}×2×4 = 4$
$△ APC$以PA为底，高为点C到y轴的距离，即2，
∴$S_{△APC} = \frac{1}{2}×PA×2 = \frac{1}{2}×2×2 = 2$
∴$S_{△PBC} = S_{△APB} + S_{△APC} = 4+2=6$
即$△ PBC$的面积为6。
(3) 分两种情况讨论：
①当点P在BC上方时：
过点B作$BH⊥CP$交CP于点H，过点H作$MN// x$轴，过B作$BN⊥MN$于N，过C作$CM⊥MN$于M。
∵$∠BCP=45°$，$BH⊥CP$，
∴$△ BCH$为等腰直角三角形，$BH=CH$，$∠BHC=90°$
∴$∠BHN + ∠CHM = 90°$，又$∠CHM + ∠HCM=90°$，
∴$∠BHN=∠HCM$
又$∠N=∠M=90°$，
∴$△ BHN≌△ HCM（AAS）$
∴$BN=HM$，$NH=CM$
设$H(m,n)$，结合$B(-4,0)$、$C(2,3)$得：
$\begin{cases}n = 2 - m\\m + 4 = n - 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = -\frac{5}{2}\\n = \frac{9}{2}\end{cases}$，即$H(-\frac{5}{2},\frac{9}{2})$
代入H、C坐标求得直线CH的解析式为$y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$，令$x=0$得$y=\frac{11}{3}$，即$P(0,\frac{11}{3})$。
②当点P在BC下方时：
同理构造全等$△ BHN≌△ HCM$，可得：
$\begin{cases}-n = 2 - m\\m + 4 = 3 - n\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = \frac{1}{2}\\n = -\frac{3}{2}\end{cases}$，即$H(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$
代入H、C坐标求得直线CH的解析式为$y=3x-3$，令$x=0$得$y=-3$，即$P(0,-3)$。
综上，点P的坐标为$(0,\frac{11}{3})$或$(0,-3)$。
【答案】
(1) 点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,3)}$；
(2) $△ PBC$的面积为$\boldsymbol{6}$；
(3) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(0,\frac{11}{3})}$或$\boldsymbol{(0,-3)}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，割补法求三角形面积，全等三角形的应用
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合题，前两问侧重基础，考查一次函数解析式的求解和坐标系下三角形面积的计算，第三问有一定难度，需要结合45°角构造等腰直角三角形与全等三角形模型求解，注意分类讨论点P的两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.4