4. 如图,直线$OC,BC的函数表达式分别是y_1= x和y_2= -2x+6$,动点$P(x,0)在OB上运动(0＜x＜3)$,过点$P作直线m与x$轴垂直.
(1)求点$C$的坐标；
(2)当$x$为何值时,直线$m平分\triangle COB$的面积?
(1)求点$C$的坐标；
(2)当$x$为何值时,直线$m平分\triangle COB$的面积?
答案：4.
(1)解方程组$\begin{cases}y = x\\y = -2x + 6\end{cases}$得$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$，所以点$C$坐标为$(2,2)$。
(2)作$CD\perp x$轴于点$D$，则$D(2,0)$，直线$m$平分$\triangle COB$的面积，观察图象可得点$P$只能在线段$OD$上，即$0 ＜ x ＜ 2$。又$\triangle COB$的面积等于3，故$\frac{1}{2}x^{2} = 3×\frac{1}{2}$，解得$x = \sqrt{3}$(负值舍去)。
(1)解方程组$\begin{cases}y = x\\y = -2x + 6\end{cases}$得$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$，所以点$C$坐标为$(2,2)$。
(2)作$CD\perp x$轴于点$D$，则$D(2,0)$，直线$m$平分$\triangle COB$的面积，观察图象可得点$P$只能在线段$OD$上，即$0 ＜ x ＜ 2$。又$\triangle COB$的面积等于3，故$\frac{1}{2}x^{2} = 3×\frac{1}{2}$，解得$x = \sqrt{3}$(负值舍去)。
解析：
【分析】
(1) 点C是直线OC和BC的公共交点，其坐标同时满足两条直线的函数表达式，因此只需联立两个解析式组成方程组，解方程组即可得到点C的坐标。
(2) 先求出△COB的总面积，平分面积意味着直线m截得的图形面积等于总面积的一半。首先求点B坐标算出△COB的总面积，再分析直线m的位置：当0＜x＜2时，直线m与OC相交，截得的是直角边为x的直角三角形，根据面积关系列方程求解，最后结合x的取值范围舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) 联立直线OC和BC的解析式，得到方程组：
$\begin{cases}y = x\\y = -2x + 6\end{cases}$
将$y=x$代入$y=-2x+6$，得$x=-2x+6$，解得$x=2$，再代入$y=x$得$y=2$，因此点C的坐标为$(2,2)$。
(2) 求点B坐标：对于$y_2=-2x+6$，令$y=0$，得$0=-2x+6$，解得$x=3$，即$B(3,0)$，因此$OB=3$。
过点C作$CD⊥x$轴于点D，可得$D(2,0)$，C点纵坐标为2，即△COB的高为2，因此△COB的面积为：
$S_{△ COB}=\frac{1}{2}×OB×CD=\frac{1}{2}×3×2=3$
直线m平分△COB的面积，则截得的图形面积应为$\frac{3}{2}$。
当$0＜x＜2$时，直线m与OC交于点$(x,x)$，截得的直角三角形两条直角边长均为x，面积为$\frac{1}{2}x·x=\frac{1}{2}x^2$，令$\frac{1}{2}x^2=\frac{3}{2}$，解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$。
其中$0＜\sqrt{3}＜2$，符合取值范围，负值舍去；若$2＜x＜3$，直线m截得的图形为梯形，不符合面积平分的要求，因此舍去。
综上，$x=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,2)}$
(2) $\boldsymbol{x=\sqrt{3}}$
【知识点】
两直线交点求解，三角形面积计算，一次函数与几何综合
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题，第一问是基础考点，掌握联立解析式求交点的方法即可快速解答；第二问需要结合图形分析直线的位置，根据面积等量关系列方程，同时要注意结合自变量的取值范围对解进行取舍，对读图分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 点C是直线OC和BC的公共交点，其坐标同时满足两条直线的函数表达式，因此只需联立两个解析式组成方程组，解方程组即可得到点C的坐标。
(2) 先求出△COB的总面积，平分面积意味着直线m截得的图形面积等于总面积的一半。首先求点B坐标算出△COB的总面积，再分析直线m的位置：当0＜x＜2时，直线m与OC相交，截得的是直角边为x的直角三角形，根据面积关系列方程求解，最后结合x的取值范围舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) 联立直线OC和BC的解析式，得到方程组：
$\begin{cases}y = x\\y = -2x + 6\end{cases}$
将$y=x$代入$y=-2x+6$，得$x=-2x+6$，解得$x=2$，再代入$y=x$得$y=2$，因此点C的坐标为$(2,2)$。
(2) 求点B坐标：对于$y_2=-2x+6$，令$y=0$，得$0=-2x+6$，解得$x=3$，即$B(3,0)$，因此$OB=3$。
过点C作$CD⊥x$轴于点D，可得$D(2,0)$，C点纵坐标为2，即△COB的高为2，因此△COB的面积为：
$S_{△ COB}=\frac{1}{2}×OB×CD=\frac{1}{2}×3×2=3$
直线m平分△COB的面积，则截得的图形面积应为$\frac{3}{2}$。
当$0＜x＜2$时，直线m与OC交于点$(x,x)$，截得的直角三角形两条直角边长均为x，面积为$\frac{1}{2}x·x=\frac{1}{2}x^2$，令$\frac{1}{2}x^2=\frac{3}{2}$，解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$。
其中$0＜\sqrt{3}＜2$，符合取值范围，负值舍去；若$2＜x＜3$，直线m截得的图形为梯形，不符合面积平分的要求，因此舍去。
综上，$x=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,2)}$
(2) $\boldsymbol{x=\sqrt{3}}$
【知识点】
两直线交点求解，三角形面积计算，一次函数与几何综合
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题，第一问是基础考点，掌握联立解析式求交点的方法即可快速解答；第二问需要结合图形分析直线的位置，根据面积等量关系列方程，同时要注意结合自变量的取值范围对解进行取舍，对读图分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 请根据以下素材,完成探究任务.
材料一:如图①,等腰直角三角形$ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$CB= CA$,直线$DE经过点C$,过点$A作AD\perp DE于点D$,过点$B作BE\perp DE于点E$,则$\triangle BEC\cong\triangle CDA$.(不需要证明)
材料二:如何确定点$F(a,a+2)$所在直线对应的函数表达式,我们可以设$x= a$,$y= a+2$,这样就可以把$x= a代入y= a+2$,可得$y= x+2$,利用这样的方法就可以确定点$F(a,a+2)$所在直线对应的函数表达式了.
【模型应用】若一次函数$y= kx+10(k\neq0)的图象与x$轴、$y轴分别交于A,B$两点.
(1)如图②,当$k= 1$时,点$B到经过原点的直线l的距离BE的长为8$,求点$A到直线l的距离AD$的长；
(2)如图③,当$k= -\frac{5}{2}$时,点$N$在第一象限内,$\triangle ABN$是等腰直角三角形,求点$N$的坐标.
材料一:如图①,等腰直角三角形$ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$CB= CA$,直线$DE经过点C$,过点$A作AD\perp DE于点D$,过点$B作BE\perp DE于点E$,则$\triangle BEC\cong\triangle CDA$.(不需要证明)
材料二:如何确定点$F(a,a+2)$所在直线对应的函数表达式,我们可以设$x= a$,$y= a+2$,这样就可以把$x= a代入y= a+2$,可得$y= x+2$,利用这样的方法就可以确定点$F(a,a+2)$所在直线对应的函数表达式了.
【模型应用】若一次函数$y= kx+10(k\neq0)的图象与x$轴、$y轴分别交于A,B$两点.
(1)如图②,当$k= 1$时,点$B到经过原点的直线l的距离BE的长为8$,求点$A到直线l的距离AD$的长；
(2)如图③,当$k= -\frac{5}{2}$时,点$N$在第一象限内,$\triangle ABN$是等腰直角三角形,求点$N$的坐标.
答案：
5.
(1)当$k = 1$时，$y = x + 10$，当$x = 0$时，$y = 10$，当$y = 0$时，即$x + 10 = 0$，$x = -10$，所以$A(-10,0)$，$B(0,10)$，所以$AO = BO = 10$。因为$AD\perp DE$，$BE\perp DE$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle AOD + \angle BOE = 90^{\circ}$，$\angle AOD + \angle OAD = 90^{\circ}$，$\angle ADO = \angle OEB = 90^{\circ}$，所以$\angle OAD = \angle BOE$。在$Rt\triangle OBE$中，由勾股定理得$OE^{2} + BE^{2} = OB^{2}$，所以$OE^{2} + 8^{2} = 10^{2}$，则$OE = 6$。在$\triangle OBE$和$\triangle AOD$中，$\begin{cases}\angle ADO = \angle OEB\\\angle OAD = \angle BOE\\AO = OB\end{cases}$，所以$\triangle OBE\cong\triangle AOD(AAS)$，所以$AD = OE = 6$，即点$A$到直线$l$的距离$AD$的长为6。
(2)由题意可得$A(4,0)$，$B(0,10)$，即$OA = 4$，$OB = 10$。①当$\angle NBA = 90^{\circ}$时，如图①，可得$\triangle NMB\cong\triangle BOA(AAS)$，所以$BM = AO = 4$，$MN = OB = 10$，所以$N(10,14)$；②当$\angle NAB = 90^{\circ}$时，如图②，可得$\triangle NMA\cong\triangle AOB(AAS)$，所以$NM = AO = 4$，$AM = OB = 10$，所以$N(14,4)$；③当$\angle ANB = 90^{\circ}$时，如图③，$\triangle NBH\cong\triangle NMA(AAS)$，所以$OM = NH = NM = OH$，$AM = HB$，所以$NM + AM = OH + BH = OB = 10$，$4 + AM = OM = NM$，解得$AM = 3$，$NM = 7$，所以$N(7,7)$。综上所述，点$N$的坐标为$(10,14)$或$(14,4)$或$(7,7)$。
5.
(1)当$k = 1$时，$y = x + 10$，当$x = 0$时，$y = 10$，当$y = 0$时，即$x + 10 = 0$，$x = -10$，所以$A(-10,0)$，$B(0,10)$，所以$AO = BO = 10$。因为$AD\perp DE$，$BE\perp DE$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$\angle AOD + \angle BOE = 90^{\circ}$，$\angle AOD + \angle OAD = 90^{\circ}$，$\angle ADO = \angle OEB = 90^{\circ}$，所以$\angle OAD = \angle BOE$。在$Rt\triangle OBE$中，由勾股定理得$OE^{2} + BE^{2} = OB^{2}$，所以$OE^{2} + 8^{2} = 10^{2}$，则$OE = 6$。在$\triangle OBE$和$\triangle AOD$中，$\begin{cases}\angle ADO = \angle OEB\\\angle OAD = \angle BOE\\AO = OB\end{cases}$，所以$\triangle OBE\cong\triangle AOD(AAS)$，所以$AD = OE = 6$，即点$A$到直线$l$的距离$AD$的长为6。
(2)由题意可得$A(4,0)$，$B(0,10)$，即$OA = 4$，$OB = 10$。①当$\angle NBA = 90^{\circ}$时，如图①，可得$\triangle NMB\cong\triangle BOA(AAS)$，所以$BM = AO = 4$，$MN = OB = 10$，所以$N(10,14)$；②当$\angle NAB = 90^{\circ}$时，如图②，可得$\triangle NMA\cong\triangle AOB(AAS)$，所以$NM = AO = 4$，$AM = OB = 10$，所以$N(14,4)$；③当$\angle ANB = 90^{\circ}$时，如图③，$\triangle NBH\cong\triangle NMA(AAS)$，所以$OM = NH = NM = OH$，$AM = HB$，所以$NM + AM = OH + BH = OB = 10$，$4 + AM = OM = NM$，解得$AM = 3$，$NM = 7$，所以$N(7,7)$。综上所述，点$N$的坐标为$(10,14)$或$(14,4)$或$(7,7)$。
解析：
【分析】
(1) 首先根据k=1求出一次函数解析式，进而得到A、B两点坐标，得出OA=OB；结合垂直条件和∠AOB=90°，利用同角的余角相等得到相等角，证明△OBE和△AOD全等，先通过勾股定理求出OE长度，再由全等对应边相等得到AD的长度。
(2) 先根据k=-$\frac{5}{2}$求出A、B两点坐标，等腰直角△ABN需分三种情况讨论：直角顶点为B、直角顶点为A、直角顶点为N，每种情况都构造材料给出的三垂直全等模型，利用全等三角形对应边相等计算点N的横纵坐标，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 当$k=1$时，一次函数解析式为$y=x+10$，
当$x=0$时，$y=10$，即$B(0,10)$，$OB=10$；
当$y=0$时，$x+10=0$，解得$x=-10$，即$A(-10,0)$，$OA=10$，故$OA=OB$。
∵$AD⊥DE$，$BE⊥DE$，$∠AOB=90°$，
∴$∠ADO=∠OEB=90°$，$∠AOD+∠BOE=90°$，$∠AOD+∠OAD=90°$，
∴$∠OAD=∠BOE$。
在$Rt△OBE$中，由勾股定理得$OE^2+BE^2=OB^2$，
代入$BE=8$，$OB=10$，得$OE^2+8^2=10^2$，解得$OE=6$（长度为正，舍去负解）。
在$△OBE$和$△AOD$中：
$\begin{cases}∠ADO=∠OEB \\∠OAD=∠BOE \\AO=OB\end{cases}$
∴$△OBE≌△AOD(AAS)$，
∴$AD=OE=6$。
(2) 当$k=-\frac{5}{2}$时，一次函数解析式为$y=-\frac{5}{2}x+10$，
当$y=0$时，$-\frac{5}{2}x+10=0$，解得$x=4$，即$A(4,0)$，$OA=4$；
当$x=0$时，$y=10$，即$B(0,10)$，$OB=10$。
分三种情况讨论：
① 当$∠NBA=90°$时，如图①，可证$△NMB≌△BOA(AAS)$，
∴$BM=AO=4$，$MN=OB=10$，
∴$OM=OB+BM=14$，即$N(10,14)$；
② 当$∠NAB=90°$时，如图②，可证$△NMA≌△AOB(AAS)$，
∴$NM=AO=4$，$AM=OB=10$，
∴$OM=OA+AM=14$，即$N(14,4)$；
③ 当$∠ANB=90°$时，如图③，可证$△NBH≌△NMA(AAS)$，
由线段关系解得$AM=3$，$NM=7$，$OM=7$，即$N(7,7)$。
综上，点N的坐标为$(10,14)$、$(14,4)$或$(7,7)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$
(2) $\boldsymbol{(10,14)}$、$\boldsymbol{(14,4)}$、$\boldsymbol{(7,7)}$
【知识点】
一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合一次函数与几何全等模型考查综合应用能力，解题核心是熟练掌握三垂直全等模型的构造，同时需对等腰直角三角形的直角顶点分类讨论，避免漏解，对模型应用能力和分类讨论思想有一定要求。
【难度系数】
0.55
(1) 首先根据k=1求出一次函数解析式，进而得到A、B两点坐标，得出OA=OB；结合垂直条件和∠AOB=90°，利用同角的余角相等得到相等角，证明△OBE和△AOD全等，先通过勾股定理求出OE长度，再由全等对应边相等得到AD的长度。
(2) 先根据k=-$\frac{5}{2}$求出A、B两点坐标，等腰直角△ABN需分三种情况讨论：直角顶点为B、直角顶点为A、直角顶点为N，每种情况都构造材料给出的三垂直全等模型，利用全等三角形对应边相等计算点N的横纵坐标，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 当$k=1$时，一次函数解析式为$y=x+10$，
当$x=0$时，$y=10$，即$B(0,10)$，$OB=10$；
当$y=0$时，$x+10=0$，解得$x=-10$，即$A(-10,0)$，$OA=10$，故$OA=OB$。
∵$AD⊥DE$，$BE⊥DE$，$∠AOB=90°$，
∴$∠ADO=∠OEB=90°$，$∠AOD+∠BOE=90°$，$∠AOD+∠OAD=90°$，
∴$∠OAD=∠BOE$。
在$Rt△OBE$中，由勾股定理得$OE^2+BE^2=OB^2$，
代入$BE=8$，$OB=10$，得$OE^2+8^2=10^2$，解得$OE=6$（长度为正，舍去负解）。
在$△OBE$和$△AOD$中：
$\begin{cases}∠ADO=∠OEB \\∠OAD=∠BOE \\AO=OB\end{cases}$
∴$△OBE≌△AOD(AAS)$，
∴$AD=OE=6$。
(2) 当$k=-\frac{5}{2}$时，一次函数解析式为$y=-\frac{5}{2}x+10$，
当$y=0$时，$-\frac{5}{2}x+10=0$，解得$x=4$，即$A(4,0)$，$OA=4$；
当$x=0$时，$y=10$，即$B(0,10)$，$OB=10$。
分三种情况讨论：
① 当$∠NBA=90°$时，如图①，可证$△NMB≌△BOA(AAS)$，
∴$BM=AO=4$，$MN=OB=10$，
∴$OM=OB+BM=14$，即$N(10,14)$；
② 当$∠NAB=90°$时，如图②，可证$△NMA≌△AOB(AAS)$，
∴$NM=AO=4$，$AM=OB=10$，
∴$OM=OA+AM=14$，即$N(14,4)$；
③ 当$∠ANB=90°$时，如图③，可证$△NBH≌△NMA(AAS)$，
由线段关系解得$AM=3$，$NM=7$，$OM=7$，即$N(7,7)$。
综上，点N的坐标为$(10,14)$、$(14,4)$或$(7,7)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$
(2) $\boldsymbol{(10,14)}$、$\boldsymbol{(14,4)}$、$\boldsymbol{(7,7)}$
【知识点】
一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合一次函数与几何全等模型考查综合应用能力，解题核心是熟练掌握三垂直全等模型的构造，同时需对等腰直角三角形的直角顶点分类讨论，避免漏解，对模型应用能力和分类讨论思想有一定要求。
【难度系数】
0.55