3. 请根据以下素材,完成探究任务.
|主题|关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题|
|问题情境|随着轨道交通的便利,私家车的普及,网约车的流行,某汽车客运公司的乘客量比以往减少.近期有一条运营线路处于亏损运营状态.|
|问题探究|(1)公司做了大量的市场调研,将有关数据进行分析整理,发现收支差额y(万元)(票价总收入减去运营成本)与乘客数量x(万人)的关系可近似看作一次函数(图象如图①所示),写出图①中点A和点B的实际意义.(2)汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案.在讨论中,有乘客代表认为,市民出行选择方式增多,客运公司应该改变观念,改善管理,降低运营成本.客运公司行政代表认为,运营成本难以下降,提高票价才能扭亏.你认为图②和图③中,反映乘客代表意见的是______,反映客运公司行政代表意见的是______.)|
|问题解决|(3)汽车客运公司通过市场调研,发现该线路一周内每天的乘客数量如表所示：|星期|一|二|三|四|五|六|日|
|x/万人|1.4|1.1|1.1|1.3|1.4|1.4|1.4|经过讨论,得到三种扭亏方案,具体如下：方案1：票价不变,将运营成本降低到0.8万元；方案2：运营成本不变,提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元；方案3：将运营成本降低到0.9万元,同时提高票价,使每万人收支差额提高到0.75万元.你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由.|
|主题|关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题|
|问题情境|随着轨道交通的便利,私家车的普及,网约车的流行,某汽车客运公司的乘客量比以往减少.近期有一条运营线路处于亏损运营状态.|
|问题探究|(1)公司做了大量的市场调研,将有关数据进行分析整理,发现收支差额y(万元)(票价总收入减去运营成本)与乘客数量x(万人)的关系可近似看作一次函数(图象如图①所示),写出图①中点A和点B的实际意义.(2)汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案.在讨论中,有乘客代表认为,市民出行选择方式增多,客运公司应该改变观念,改善管理,降低运营成本.客运公司行政代表认为,运营成本难以下降,提高票价才能扭亏.你认为图②和图③中,反映乘客代表意见的是______,反映客运公司行政代表意见的是______.)|
|问题解决|(3)汽车客运公司通过市场调研,发现该线路一周内每天的乘客数量如表所示：|星期|一|二|三|四|五|六|日|
|x/万人|1.4|1.1|1.1|1.3|1.4|1.4|1.4|经过讨论,得到三种扭亏方案,具体如下：方案1：票价不变,将运营成本降低到0.8万元；方案2：运营成本不变,提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元；方案3：将运营成本降低到0.9万元,同时提高票价,使每万人收支差额提高到0.75万元.你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由.|
答案：（1）点A的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点B的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元.
（2）图③ 图②
（3）该线路一周内乘客数量为1.4+1.1+1.1+1.3+1.4+1.4+1.4=9.1（万人），每天乘客数量平均为9.1÷7=1.3（万人），设原来y与x的函数表达式为y=kx+b，把(0,−1),(1.5,0)代入得{b=−1,1.5k+b=0,解得{k=2/3,b=−1,
∴原来y与x的函数表达式为y=2/3x−1.
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元，此时y与x的函数表达式为y=2/3x−0.8，令x=1.3得y=2/3×1.3−0.8=1/15，
∴客运公司平均每天利润为1/15万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元，此时y=0.8x−1，令x=1.3得y=0.8×1.3−1=0.04，
∴客运公司平均每天利润为0.04万元；
方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时y=0.75x−0.9，令x=1.3得y=0.75×1.3−0.9=0.075，
∴客运公司平均每天利润为0.075万元.
∵0.04＜1/15＜0.075，
∴方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损.
（2）图③ 图②
（3）该线路一周内乘客数量为1.4+1.1+1.1+1.3+1.4+1.4+1.4=9.1（万人），每天乘客数量平均为9.1÷7=1.3（万人），设原来y与x的函数表达式为y=kx+b，把(0,−1),(1.5,0)代入得{b=−1,1.5k+b=0,解得{k=2/3,b=−1,
∴原来y与x的函数表达式为y=2/3x−1.
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元，此时y与x的函数表达式为y=2/3x−0.8，令x=1.3得y=2/3×1.3−0.8=1/15，
∴客运公司平均每天利润为1/15万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元，此时y=0.8x−1，令x=1.3得y=0.8×1.3−1=0.04，
∴客运公司平均每天利润为0.04万元；
方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时y=0.75x−0.9，令x=1.3得y=0.75×1.3−0.9=0.075，
∴客运公司平均每天利润为0.075万元.
∵0.04＜1/15＜0.075，
∴方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损.
解析：
【分析】
（1）先明确函数中变量的实际意义：x代表乘客数量，y代表票价总收入减去运营成本的收支差额。当x=0时无票价收入，此时y的绝对值就是运营成本，可推导点A的含义；当y=0时收支平衡，可推导点B的含义。
（2）乘客代表意见为降低运营成本、票价不变：票价不变意味着一次函数的斜率（每万名乘客带来的收支差额）不变，降成本会使x=0时的亏损额减少，即函数与y轴交点上移，对应对应图③；行政代表意见为运营成本不变、提高票价：运营成本不变意味着函数与y轴交点不变，提票价会使斜率变大，对应图②。
（3）首先计算平均每日乘客量，再求出原收支差额与乘客量的函数解析式，根据三个方案的调整分别写出对应解析式，代入平均乘客量计算每日利润，比较利润大小即可得到最优方案。
【解析】
（1）点A坐标为(0,−1)，表示乘客数量为0时，收支差额为-1万元，即运营成本为1万元；点B坐标为(1.5,0)，表示乘客数量为1.5万人时，收支差额为0，即客运公司利润为0元，收支平衡。
（2）乘客代表要求票价不变、降成本，对应斜率不变、截距上移，为图③；行政代表要求成本不变、提票价，对应截距不变、斜率变大，为图②。
（3）首先计算一周总乘客量：$1.4+1.1+1.1+1.3+1.4+1.4+1.4=9.1$（万人），平均每日乘客量：$9.1÷7=1.3$（万人）。
设原收支差额y与乘客量x的函数表达式为$y=kx+b$，将A(0,−1)、B(1.5,0)代入得：
$\begin{cases}b=-1\\1.5k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{2}{3}\\b=-1\end{cases}$，即原函数表达式为$y=\frac{2}{3}x-1$。
方案1：票价不变，运营成本降到0.8万元，此时函数为$y=\frac{2}{3}x-0.8$，代入x=1.3得：$y=\frac{2}{3}×1.3-0.8=\frac{1}{15}$（万元），即平均每天利润为$\frac{1}{15}$万元。
方案2：运营成本不变，每万人收支差额提至0.8万元，此时函数为$y=0.8x-1$，代入x=1.3得：$y=0.8×1.3-1=0.04$（万元），即平均每天利润为0.04万元。
方案3：运营成本降到0.9万元，每万人收支差额提至0.75万元，此时函数为$y=0.75x-0.9$，代入x=1.3得：$y=0.75×1.3-0.9=0.075$（万元），即平均每天利润为0.075万元。
比较利润大小：$0.04＜\frac{1}{15}＜0.075$，因此方案3利润最高。
【答案】
（1）点A的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点B的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元。
（2）图③；图②
（3）方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损，理由见解析。
【知识点】
一次函数的实际应用，一次函数图象与性质，最优方案决策
【点评】
本题结合实际经营场景考查一次函数的应用，既需要学生理解函数图象上点的实际意义，也需要学生根据条件建立函数模型、通过计算比较选择最优方案，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）先明确函数中变量的实际意义：x代表乘客数量，y代表票价总收入减去运营成本的收支差额。当x=0时无票价收入，此时y的绝对值就是运营成本，可推导点A的含义；当y=0时收支平衡，可推导点B的含义。
（2）乘客代表意见为降低运营成本、票价不变：票价不变意味着一次函数的斜率（每万名乘客带来的收支差额）不变，降成本会使x=0时的亏损额减少，即函数与y轴交点上移，对应对应图③；行政代表意见为运营成本不变、提高票价：运营成本不变意味着函数与y轴交点不变，提票价会使斜率变大，对应图②。
（3）首先计算平均每日乘客量，再求出原收支差额与乘客量的函数解析式，根据三个方案的调整分别写出对应解析式，代入平均乘客量计算每日利润，比较利润大小即可得到最优方案。
【解析】
（1）点A坐标为(0,−1)，表示乘客数量为0时，收支差额为-1万元，即运营成本为1万元；点B坐标为(1.5,0)，表示乘客数量为1.5万人时，收支差额为0，即客运公司利润为0元，收支平衡。
（2）乘客代表要求票价不变、降成本，对应斜率不变、截距上移，为图③；行政代表要求成本不变、提票价，对应截距不变、斜率变大，为图②。
（3）首先计算一周总乘客量：$1.4+1.1+1.1+1.3+1.4+1.4+1.4=9.1$（万人），平均每日乘客量：$9.1÷7=1.3$（万人）。
设原收支差额y与乘客量x的函数表达式为$y=kx+b$，将A(0,−1)、B(1.5,0)代入得：
$\begin{cases}b=-1\\1.5k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{2}{3}\\b=-1\end{cases}$，即原函数表达式为$y=\frac{2}{3}x-1$。
方案1：票价不变，运营成本降到0.8万元，此时函数为$y=\frac{2}{3}x-0.8$，代入x=1.3得：$y=\frac{2}{3}×1.3-0.8=\frac{1}{15}$（万元），即平均每天利润为$\frac{1}{15}$万元。
方案2：运营成本不变，每万人收支差额提至0.8万元，此时函数为$y=0.8x-1$，代入x=1.3得：$y=0.8×1.3-1=0.04$（万元），即平均每天利润为0.04万元。
方案3：运营成本降到0.9万元，每万人收支差额提至0.75万元，此时函数为$y=0.75x-0.9$，代入x=1.3得：$y=0.75×1.3-0.9=0.075$（万元），即平均每天利润为0.075万元。
比较利润大小：$0.04＜\frac{1}{15}＜0.075$，因此方案3利润最高。
【答案】
（1）点A的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点B的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元。
（2）图③；图②
（3）方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损，理由见解析。
【知识点】
一次函数的实际应用，一次函数图象与性质，最优方案决策
【点评】
本题结合实际经营场景考查一次函数的应用，既需要学生理解函数图象上点的实际意义，也需要学生根据条件建立函数模型、通过计算比较选择最优方案，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6