8. 如图,若一次函数y= -2x+b的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,点A的坐标为(0,3),则方程-2x+b= 0的解为______.
答案：x=$\frac{3}{2}$
解析：
【分析】
解题时可按两步思考：第一步，先利用点A在一次函数图象上的条件，将点A坐标代入函数解析式求出b的值，确定一次函数的完整解析式；第二步，明确方程-2x+b=0的解对应的是一次函数y=-2x+b的函数值为0时x的取值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标，代入求解即可。
【解析】
首先将点A(0,3)代入一次函数y=-2x+b中：
当x=0，y=3时，代入得$3 = -2×0 + b$，解得$b=3$。
所以一次函数的解析式为$y=-2x+3$。
方程$-2x+b=0$即$-2x+3=0$，
移项得：$2x=3$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是理解一元一次方程与对应一次函数的联系：一元一次方程$kx+b=0$的解，就是一次函数$y=kx+b$的图象与x轴交点的横坐标，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时可按两步思考：第一步，先利用点A在一次函数图象上的条件，将点A坐标代入函数解析式求出b的值，确定一次函数的完整解析式；第二步，明确方程-2x+b=0的解对应的是一次函数y=-2x+b的函数值为0时x的取值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标，代入求解即可。
【解析】
首先将点A(0,3)代入一次函数y=-2x+b中：
当x=0，y=3时，代入得$3 = -2×0 + b$，解得$b=3$。
所以一次函数的解析式为$y=-2x+3$。
方程$-2x+b=0$即$-2x+3=0$，
移项得：$2x=3$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是理解一元一次方程与对应一次函数的联系：一元一次方程$kx+b=0$的解，就是一次函数$y=kx+b$的图象与x轴交点的横坐标，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的前提。
【难度系数】
0.8
9. (上海中考)小明从家步行到学校需走的路程为1800 m.图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(m)与时间t(min)的函数关系,根据图象提供的信息,当小明从家出发去学校步行15 min时,到学校还需步行______m.
答案：350
解析：
【分析】
要计算步行15min时到学校还需步行的路程，需先求出15min时小明已经走的路程。观察图像可知，8~20min阶段路程s与时间t满足一次函数关系，因此先利用待定系数法求出AB段的一次函数解析式，再将t=15代入解析式得到15min时已走的路程，最后用总路程减去已走路程即可得到剩余路程。
【解析】
设AB段的函数解析式为$ s = kt + b \ (k≠0, 8≤ t≤20) $
将点$ A(8,960) $、$ B(20,1800) $代入解析式，得：
$\begin{cases}8k + b = 960 \\20k + b = 1800\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$ 12k = 840 $，解得$ k=70 $
将$ k=70 $代入$ 8k + b = 960 $，得$ 560 + b = 960 $，解得$ b=400 $
因此AB段解析式为$ s = 70t + 400 \ (8≤ t≤20) $
当$ t=15 $时，代入得$ s = 70×15 + 400 = 1450 \, \mathrm{m} $
总路程为1800m，所以剩余路程为$ 1800 - 1450 = 350 \, \mathrm{m} $
【答案】
350
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；s-t图像分析
【点评】
本题结合步行上学的实际场景，考查了从函数图像提取信息、用待定系数法求解一次函数解析式并应用解析式解决实际问题的能力，解题的关键是准确求出AB段的函数表达式。
【难度系数】
0.7
要计算步行15min时到学校还需步行的路程，需先求出15min时小明已经走的路程。观察图像可知，8~20min阶段路程s与时间t满足一次函数关系，因此先利用待定系数法求出AB段的一次函数解析式，再将t=15代入解析式得到15min时已走的路程，最后用总路程减去已走路程即可得到剩余路程。
【解析】
设AB段的函数解析式为$ s = kt + b \ (k≠0, 8≤ t≤20) $
将点$ A(8,960) $、$ B(20,1800) $代入解析式，得：
$\begin{cases}8k + b = 960 \\20k + b = 1800\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$ 12k = 840 $，解得$ k=70 $
将$ k=70 $代入$ 8k + b = 960 $，得$ 560 + b = 960 $，解得$ b=400 $
因此AB段解析式为$ s = 70t + 400 \ (8≤ t≤20) $
当$ t=15 $时，代入得$ s = 70×15 + 400 = 1450 \, \mathrm{m} $
总路程为1800m，所以剩余路程为$ 1800 - 1450 = 350 \, \mathrm{m} $
【答案】
350
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；s-t图像分析
【点评】
本题结合步行上学的实际场景，考查了从函数图像提取信息、用待定系数法求解一次函数解析式并应用解析式解决实际问题的能力，解题的关键是准确求出AB段的函数表达式。
【难度系数】
0.7
10. 如图,直线$l_1$所对应的函数表达式为y= -3x+3,且$l_1,l_2$交于点C.
(1)求直线$l_2$所对应的函数表达式;
(2)求△ADC的面积;
(3)在直线$l_2$上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ACD的面积相等,请直接写出点P的坐标.
(1)求直线$l_2$所对应的函数表达式;
(2)求△ADC的面积;
(3)在直线$l_2$上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ACD的面积相等,请直接写出点P的坐标.
答案：
(1)设直线$l_2$所对应的函数表达式为y=kx+b,由图象可知，点A(4,0)、点$B\left(3,-\frac{3}{2}\right)$在直线$l_2$上，$\therefore \begin{cases}4k+b=0 \\3k+b=-\frac{3}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2} \\b=-6 \end{cases}$，$\therefore y=\frac{3}{2}x-6$。
(2)由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，$\therefore x=1$，$\therefore$点D的坐标为(1,0)。由$\begin{cases}y=-3x+3 \\y=\frac{3}{2}x-6 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2 \\y=-3 \end{cases}$，$\therefore$点C的坐标为(2,-3)。$\because AD=3$，$\therefore S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}×3×|-3|=\frac{9}{2}$。
(3)点P的坐标为(6,3)。
(1)设直线$l_2$所对应的函数表达式为y=kx+b,由图象可知，点A(4,0)、点$B\left(3,-\frac{3}{2}\right)$在直线$l_2$上，$\therefore \begin{cases}4k+b=0 \\3k+b=-\frac{3}{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2} \\b=-6 \end{cases}$，$\therefore y=\frac{3}{2}x-6$。
(2)由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，$\therefore x=1$，$\therefore$点D的坐标为(1,0)。由$\begin{cases}y=-3x+3 \\y=\frac{3}{2}x-6 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2 \\y=-3 \end{cases}$，$\therefore$点C的坐标为(2,-3)。$\because AD=3$，$\therefore S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}×3×|-3|=\frac{9}{2}$。
(3)点P的坐标为(6,3)。
解析：
【分析】
(1) 求直线$l_2$的函数表达式使用待定系数法：一次函数的通用表达式为$y=kx+b$，只要找到直线上两个已知点的坐标代入，解二元一次方程组求出$k$、$b$即可，本题中$l_2$经过点$A(4,0)$和$B(3,-\frac{3}{2})$，可直接代入计算。
(2) 求$△ ADC$的面积，首先确定三个顶点的坐标：点$D$是直线$l_1$与$x$轴的交点，令$l_1$解析式中$y=0$即可求出$D$的坐标；点$C$是$l_1$和$l_2$的交点，联立两个直线的解析式即可求出$C$的坐标。$△ ADC$的底为$AD$的长度（$A$、$D$都在$x$轴上，长度为横坐标之差），高为点$C$纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
(3) $△ ADP$与$△ ACD$共用底$AD$，面积相等则高相等，即点$P$到$x$轴的距离等于点$C$到$x$轴的距离，也就是$P$的纵坐标的绝对值为3，结合$P$在$l_2$上且异于点$C$，即可求出$P$的坐标。
【解析】
(1) 设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，
由图可知点$A(4,0)$、$B(3,-\frac{3}{2})$在直线$l_2$上，代入得：
$\begin{cases}4k+b=0 \\3k+b=-\frac{3}{2} \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$k=\frac{3}{2}$，
将$k=\frac{3}{2}$代入$4k+b=0$，得$4×\frac{3}{2}+b=0$，解得$b=-6$，
故直线$l_2$的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x-6$。
(2) 对于直线$l_1:y=-3x+3$，令$y=0$，得$-3x+3=0$，解得$x=1$，
$\therefore$点$D$的坐标为$(1,0)$，
$\therefore AD=4-1=3$。
联立$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y=-3x+3 \\y=\frac{3}{2}x-6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2 \\y=-3 \end{cases}$，即点$C$的坐标为$(2,-3)$。
$△ ADC$的高为点$C$到$x$轴的距离，即$|-3|=3$，
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD × 3=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
(3) $△ ADP$和$△ ACD$共底$AD$，面积相等则高相等，即点$P$的纵坐标的绝对值为3，
$\because$点$P$异于点$C$，$\therefore$点$P$的纵坐标为3，
将$y=3$代入$y=\frac{3}{2}x-6$，得$3=\frac{3}{2}x-6$，解得$x=6$，
故点$P$的坐标为$(6,3)$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{2}x-6$
(2) $\frac{9}{2}$
(3) $(6,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点计算，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的典型综合题，从基础的解析式求解，到交点坐标计算，再到面积相关的动点问题层层递进，解题时结合数形结合思想，利用“等底等高的三角形面积相等”的性质可简化动点问题的计算。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线$l_2$的函数表达式使用待定系数法：一次函数的通用表达式为$y=kx+b$，只要找到直线上两个已知点的坐标代入，解二元一次方程组求出$k$、$b$即可，本题中$l_2$经过点$A(4,0)$和$B(3,-\frac{3}{2})$，可直接代入计算。
(2) 求$△ ADC$的面积，首先确定三个顶点的坐标：点$D$是直线$l_1$与$x$轴的交点，令$l_1$解析式中$y=0$即可求出$D$的坐标；点$C$是$l_1$和$l_2$的交点，联立两个直线的解析式即可求出$C$的坐标。$△ ADC$的底为$AD$的长度（$A$、$D$都在$x$轴上，长度为横坐标之差），高为点$C$纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
(3) $△ ADP$与$△ ACD$共用底$AD$，面积相等则高相等，即点$P$到$x$轴的距离等于点$C$到$x$轴的距离，也就是$P$的纵坐标的绝对值为3，结合$P$在$l_2$上且异于点$C$，即可求出$P$的坐标。
【解析】
(1) 设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，
由图可知点$A(4,0)$、$B(3,-\frac{3}{2})$在直线$l_2$上，代入得：
$\begin{cases}4k+b=0 \\3k+b=-\frac{3}{2} \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$k=\frac{3}{2}$，
将$k=\frac{3}{2}$代入$4k+b=0$，得$4×\frac{3}{2}+b=0$，解得$b=-6$，
故直线$l_2$的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x-6$。
(2) 对于直线$l_1:y=-3x+3$，令$y=0$，得$-3x+3=0$，解得$x=1$，
$\therefore$点$D$的坐标为$(1,0)$，
$\therefore AD=4-1=3$。
联立$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y=-3x+3 \\y=\frac{3}{2}x-6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2 \\y=-3 \end{cases}$，即点$C$的坐标为$(2,-3)$。
$△ ADC$的高为点$C$到$x$轴的距离，即$|-3|=3$，
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD × 3=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
(3) $△ ADP$和$△ ACD$共底$AD$，面积相等则高相等，即点$P$的纵坐标的绝对值为3，
$\because$点$P$异于点$C$，$\therefore$点$P$的纵坐标为3，
将$y=3$代入$y=\frac{3}{2}x-6$，得$3=\frac{3}{2}x-6$，解得$x=6$，
故点$P$的坐标为$(6,3)$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{2}x-6$
(2) $\frac{9}{2}$
(3) $(6,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点计算，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的典型综合题，从基础的解析式求解，到交点坐标计算，再到面积相关的动点问题层层递进，解题时结合数形结合思想，利用“等底等高的三角形面积相等”的性质可简化动点问题的计算。
【难度系数】
0.7
11. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y= ax+a^2$与$y= a^2x+a$的图象可能是( )
A
B
C
D
AB
C
D
答案：D
解析：
【分析】
要判断两个一次函数的图象，首先明确一次函数$y=kx+b$的性质：$k$的符号决定直线倾斜方向（$k＞0$时直线上升，$k＜0$时直线下降），$b$的符号决定直线与$y$轴的交点位置（$b＞0$时交于正半轴，$b＜0$时交于负半轴）。本题先排除$a=0$的特殊情况，再分$a＞0$、$a＜0$两种情况讨论两个函数的$k$、$b$符号，同时联立解析式求交点横坐标，结合选项特征验证即可。
【解析】
若$a=0$，两个函数解析式均为$y=0$，为同一条直线，与四个选项均不符；若$a=1$，两个函数均为$y=x+1$，图象重合，也无对应选项，故$a≠0$且$a≠1$。
1. 当$a＞0$时，$a^2＞0$：
$y=ax+a^2$斜率为正、截距为正，直线上升且与$y$轴交于正半轴；$y=a^2x+a$斜率为正、截距为正，同样直线上升且与$y$轴交于正半轴，四个选项中均有一条直线下降，不符合该情况，故$a＞0$不成立。
2. 当$a＜0$时，$a^2＞0$：
$y=ax+a^2$斜率为负、截距为正，直线下降且与$y$轴交于正半轴；$y=a^2x+a$斜率为正、截距为负，直线上升且与$y$轴交于负半轴，排除A、B选项。
联立两个解析式求交点：
$\begin{cases}y=ax+a^2 \\ y=a^2x+a \end{cases}$，整理得$ax+a^2=a^2x+a$，即$a(1-a)x=a(1-a)$，因$a≠0$且$a≠1$，解得$x=1$，即两直线交点横坐标为1，交点在直线$x=1$上，只有D选项符合该特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数交点求解
【点评】
本题核心是掌握一次函数参数$k$、$b$对图象的影响，通过分类讨论参数正负排除错误选项，结合交点的固定特征即可快速得出答案，是一次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
要判断两个一次函数的图象，首先明确一次函数$y=kx+b$的性质：$k$的符号决定直线倾斜方向（$k＞0$时直线上升，$k＜0$时直线下降），$b$的符号决定直线与$y$轴的交点位置（$b＞0$时交于正半轴，$b＜0$时交于负半轴）。本题先排除$a=0$的特殊情况，再分$a＞0$、$a＜0$两种情况讨论两个函数的$k$、$b$符号，同时联立解析式求交点横坐标，结合选项特征验证即可。
【解析】
若$a=0$，两个函数解析式均为$y=0$，为同一条直线，与四个选项均不符；若$a=1$，两个函数均为$y=x+1$，图象重合，也无对应选项，故$a≠0$且$a≠1$。
1. 当$a＞0$时，$a^2＞0$：
$y=ax+a^2$斜率为正、截距为正，直线上升且与$y$轴交于正半轴；$y=a^2x+a$斜率为正、截距为正，同样直线上升且与$y$轴交于正半轴，四个选项中均有一条直线下降，不符合该情况，故$a＞0$不成立。
2. 当$a＜0$时，$a^2＞0$：
$y=ax+a^2$斜率为负、截距为正，直线下降且与$y$轴交于正半轴；$y=a^2x+a$斜率为正、截距为负，直线上升且与$y$轴交于负半轴，排除A、B选项。
联立两个解析式求交点：
$\begin{cases}y=ax+a^2 \\ y=a^2x+a \end{cases}$，整理得$ax+a^2=a^2x+a$，即$a(1-a)x=a(1-a)$，因$a≠0$且$a≠1$，解得$x=1$，即两直线交点横坐标为1，交点在直线$x=1$上，只有D选项符合该特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数交点求解
【点评】
本题核心是掌握一次函数参数$k$、$b$对图象的影响，通过分类讨论参数正负排除错误选项，结合交点的固定特征即可快速得出答案，是一次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. (2023·温州中考)[素材1]某景区游览路线及方向如图①所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程相等,②③两路段路程相等.
[素材2]设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游路线①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图②所示,在2100米处,他到出口还要走10分钟.
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为( )
A.4200米
B.4800米
C.5200米
D.5400米
[素材2]设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟,小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游路线①②⑧,他离入口的路程s与时间t的关系(部分数据)如图②所示,在2100米处,他到出口还要走10分钟.
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为( )A.4200米
B.4800米
C.5200米
D.5400米
答案：B
解析：
【分析】
解题时先从s-t图像入手分析小州的行程，先求出行走速度，再通过设未知数表示各段路程，结合小温的总用时梳理路程的等量关系，最后代入计算待求的总路程即可：第一步区分小州总用时里的行走时间和停留时间，算出恒定速度；第二步计算小温的纯行走时间，得到①④⑥类路段和⑤⑦⑧类路段的长度和；第三步结合小州的总路程得到②③类路段的长度，最后代入目标路线的路程表达式求解。
【解析】
设路段①、④、⑥每段长为$x$米，路段⑤、⑦、⑧每段长为$y$米，路段②、③每段长为$z$米，行走速度为$v$米/分。
1. 求行走速度：
小州走路线①②⑧，由s-t图可知75分钟时走了2100米，期间在2个景点各停留20分钟，纯行走时间为$75-2×20=35$分钟，因此速度：
$v=\frac{2100}{35}=60$米/分
小州剩下的路程需走10分钟，因此①②⑧总路程为$2100+10×60=2700$米，即：
$x+z+y=2700$ ①
2. 分析小温的行程：
小温总用时3小时25分钟$=3×60+25=205$分钟，期间经过5个景点，总停留时间$5×20=100$分钟，纯行走时间为$205-100=105$分钟。
小温走的总路程为$3x+3y$，因此：
$3x+3y=105×60=6300$，化简得$x+y=2100$ ②
3. 计算目标路线总路程：
路线①③⑥⑦⑧的总路程为$x+z+x+y+y=2(x+y)+z$
将②代入①得$z=2700-2100=600$，代入总路程表达式：
$2×2100+600=4800$米
【答案】B
【知识点】
行程问题，图像信息提取，代数式求值
【点评】
本题结合实际场景考查行程类问题的求解，需要准确区分总用时中的停留时间和行走时间，理清不同路线的路段组成关系，对信息梳理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时先从s-t图像入手分析小州的行程，先求出行走速度，再通过设未知数表示各段路程，结合小温的总用时梳理路程的等量关系，最后代入计算待求的总路程即可：第一步区分小州总用时里的行走时间和停留时间，算出恒定速度；第二步计算小温的纯行走时间，得到①④⑥类路段和⑤⑦⑧类路段的长度和；第三步结合小州的总路程得到②③类路段的长度，最后代入目标路线的路程表达式求解。
【解析】
设路段①、④、⑥每段长为$x$米，路段⑤、⑦、⑧每段长为$y$米，路段②、③每段长为$z$米，行走速度为$v$米/分。
1. 求行走速度：
小州走路线①②⑧，由s-t图可知75分钟时走了2100米，期间在2个景点各停留20分钟，纯行走时间为$75-2×20=35$分钟，因此速度：
$v=\frac{2100}{35}=60$米/分
小州剩下的路程需走10分钟，因此①②⑧总路程为$2100+10×60=2700$米，即：
$x+z+y=2700$ ①
2. 分析小温的行程：
小温总用时3小时25分钟$=3×60+25=205$分钟，期间经过5个景点，总停留时间$5×20=100$分钟，纯行走时间为$205-100=105$分钟。
小温走的总路程为$3x+3y$，因此：
$3x+3y=105×60=6300$，化简得$x+y=2100$ ②
3. 计算目标路线总路程：
路线①③⑥⑦⑧的总路程为$x+z+x+y+y=2(x+y)+z$
将②代入①得$z=2700-2100=600$，代入总路程表达式：
$2×2100+600=4800$米
【答案】B
【知识点】
行程问题，图像信息提取，代数式求值
【点评】
本题结合实际场景考查行程类问题的求解，需要准确区分总用时中的停留时间和行走时间，理清不同路线的路段组成关系，对信息梳理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65