17. (2023·呼和浩特中考)学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展,计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动.到达农场后分组进行劳动,若每位老师带38名学生,则还剩6名学生没老师带;若每位老师带40名学生,则有一位老师少带6名学生.劳动实践结束后,学校在租车总费用2300元的限额内,租用汽车送师生返校,每辆车上至少要有1名老师.现有甲、乙两种大型客车,它们的载客量和租金如表所示:
| | 甲型客车 | 乙型客车 |
| 载客量/(人/辆) | 45 | 30 |
| 租金/(元/辆) | 400 | 280 |
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名?
(2)租车返校时,既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆车上至少有1名老师,则共需租车______辆.
(3)学校共有几种租车方案?最少租车费用是多少?
| | 甲型客车 | 乙型客车 |
| 载客量/(人/辆) | 45 | 30 |
| 租金/(元/辆) | 400 | 280 |
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名?
(2)租车返校时,既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆车上至少有1名老师,则共需租车______辆.
(3)学校共有几种租车方案?最少租车费用是多少?
答案：
(1)设老师有x名，学生有y名，根据题意，得$\begin{cases}38x+6=y \\40x-6=y \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=6 \\y=234 \end{cases}$。答：老师有6名，学生有234名。
(2)6
(3)设租用甲型客车x辆，则租车费用y(元)是x的函数，即y=400x+280(6-x)，整理得y=120x+1680，根据题意有$\begin{cases}120x+1680\leq2300 \\45x+30(6-x)\geq6+234 \end{cases}$，解得$4\leq x\leq\frac{31}{6}$。$\because$x为整数，$\therefore$x=4或5，6-x=2或1。$\therefore$有两种租车方案：方案一：租4辆甲型客车，2辆乙型客车；方案二：租5辆甲型客车，1辆乙型客车。$\because$y随x的增大而增大，$\therefore$当x=4时，y最小，y=120×4+1680=2160。答：学校共有两种租车方案，最少租车费用为2160元。
(1)设老师有x名，学生有y名，根据题意，得$\begin{cases}38x+6=y \\40x-6=y \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=6 \\y=234 \end{cases}$。答：老师有6名，学生有234名。
(2)6
(3)设租用甲型客车x辆，则租车费用y(元)是x的函数，即y=400x+280(6-x)，整理得y=120x+1680，根据题意有$\begin{cases}120x+1680\leq2300 \\45x+30(6-x)\geq6+234 \end{cases}$，解得$4\leq x\leq\frac{31}{6}$。$\because$x为整数，$\therefore$x=4或5，6-x=2或1。$\therefore$有两种租车方案：方案一：租4辆甲型客车，2辆乙型客车；方案二：租5辆甲型客车，1辆乙型客车。$\because$y随x的增大而增大，$\therefore$当x=4时，y最小，y=120×4+1680=2160。答：学校共有两种租车方案，最少租车费用为2160元。
解析：
【分析】
(1) 求解师生人数时，可设老师人数为x，学生人数为y，根据两种老师带学生的场景找等量关系：①每位老师带38名学生时，总学生数=38×老师数+剩余6名学生；②每位老师带40名学生时，总学生数=40×老师数-少带的6名学生，列二元一次方程组即可求解。
(2) 先明确两个限制条件：每辆车至少1名老师，现有6名老师，因此租车总数最多为6辆；总师生人数为234+6=240人，若全部租载客量最大的甲型客车，需要240÷45≈5.33辆，即最少需要6辆车，因此租车总数为6辆。
(3) 设租用甲型客车x辆，则乙型客车为(6-x)辆，根据“总载客量≥总师生数”“总租车费用≤2300元”两个限制列不等式组，求出x的整数解即可得到租车方案；再写出租车费用关于x的一次函数，根据函数增减性就能求出最少租车费用。
【解析】
(1) 设老师有x名，学生有y名，根据题意列方程组：
$\begin{cases}38x+6=y \\40x-6=y \end{cases}$
联立两个方程得$38x+6=40x-6$，解得$x=6$，将$x=6$代入$38x+6=y$，得$y=234$，即$\begin{cases}x=6 \\y=234 \end{cases}$。
(2) 总师生人数为$234+6=240$人，每辆车至少1名老师，最多可租6辆；若租5辆车，最大载客量为$45×5=225＜240$，无法载完全部师生，因此共需租车6辆。
(3) 设租用甲型客车x辆，租用乙型客车$(6-x)$辆，租车总费用为y元，可得：
$y=400x+280(6-x)=120x+1680$
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}120x+1680≤2300 \\45x+30(6-x)≥240 \end{cases}$
解第一个不等式：$120x≤620$，得$x≤\frac{31}{6}\approx5.17$；
解第二个不等式：$15x≥60$，得$x≥4$。
因此x的取值范围为$4≤x≤\frac{31}{6}$，x为整数，故$x=4$或$x=5$。
对应两种租车方案：
方案一：租4辆甲型客车，2辆乙型客车，费用$y=120×4+1680=2160$元；
方案二：租5辆甲型客车，1辆乙型客车，费用$y=120×5+1680=2280$元。
因为$120＞0$，y随x的增大而增大，所以x=4时费用最少，为2160元。
【答案】
(1) 老师有6名，学生有234名；
(2) 6；
(3) 学校共有2种租车方案，最少租车费用是2160元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用
【点评】
本题是结合生活实际的综合应用题，需要将实际问题中的等量、不等关系转化为数学式子求解，既考察了方程、不等式的基础运算能力，也考察了利用一次函数性质解决最值问题的能力，综合性较强，贴合生活场景。
【难度系数】
0.65
(1) 求解师生人数时，可设老师人数为x，学生人数为y，根据两种老师带学生的场景找等量关系：①每位老师带38名学生时，总学生数=38×老师数+剩余6名学生；②每位老师带40名学生时，总学生数=40×老师数-少带的6名学生，列二元一次方程组即可求解。
(2) 先明确两个限制条件：每辆车至少1名老师，现有6名老师，因此租车总数最多为6辆；总师生人数为234+6=240人，若全部租载客量最大的甲型客车，需要240÷45≈5.33辆，即最少需要6辆车，因此租车总数为6辆。
(3) 设租用甲型客车x辆，则乙型客车为(6-x)辆，根据“总载客量≥总师生数”“总租车费用≤2300元”两个限制列不等式组，求出x的整数解即可得到租车方案；再写出租车费用关于x的一次函数，根据函数增减性就能求出最少租车费用。
【解析】
(1) 设老师有x名，学生有y名，根据题意列方程组：
$\begin{cases}38x+6=y \\40x-6=y \end{cases}$
联立两个方程得$38x+6=40x-6$，解得$x=6$，将$x=6$代入$38x+6=y$，得$y=234$，即$\begin{cases}x=6 \\y=234 \end{cases}$。
(2) 总师生人数为$234+6=240$人，每辆车至少1名老师，最多可租6辆；若租5辆车，最大载客量为$45×5=225＜240$，无法载完全部师生，因此共需租车6辆。
(3) 设租用甲型客车x辆，租用乙型客车$(6-x)$辆，租车总费用为y元，可得：
$y=400x+280(6-x)=120x+1680$
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}120x+1680≤2300 \\45x+30(6-x)≥240 \end{cases}$
解第一个不等式：$120x≤620$，得$x≤\frac{31}{6}\approx5.17$；
解第二个不等式：$15x≥60$，得$x≥4$。
因此x的取值范围为$4≤x≤\frac{31}{6}$，x为整数，故$x=4$或$x=5$。
对应两种租车方案：
方案一：租4辆甲型客车，2辆乙型客车，费用$y=120×4+1680=2160$元；
方案二：租5辆甲型客车，1辆乙型客车，费用$y=120×5+1680=2280$元。
因为$120＞0$，y随x的增大而增大，所以x=4时费用最少，为2160元。
【答案】
(1) 老师有6名，学生有234名；
(2) 6；
(3) 学校共有2种租车方案，最少租车费用是2160元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用
【点评】
本题是结合生活实际的综合应用题，需要将实际问题中的等量、不等关系转化为数学式子求解，既考察了方程、不等式的基础运算能力，也考察了利用一次函数性质解决最值问题的能力，综合性较强，贴合生活场景。
【难度系数】
0.65
18. 如图①,点A表示小明家,点B表示学校.小明妈妈骑车带着小明去学校,到达C处时发现数学书没带,于是妈妈立即骑车原路回家拿书后再追赶小明,同时小明步行去学校,到达学校后等待妈妈.假设拿书时间忽略不计,小明和妈妈在整个运动过程中分别保持匀速.妈妈从C处出发x min时离C处的距离为$y_1 m,$小明离C处的距离为$y_2 m,$如图②,折线O-D-E-F表示$y_1$与x的函数图象;折线O-G-F表示$y_2$与x的函数图象.
(1)小明步行的速度为______m/min,图②中a的值为______.
(2)设妈妈从C处出发x min时妈妈与小明之间的距离为y m.
①写出小明妈妈在骑车由C处返回到A处的过程中,y与x的函数表达式及x的取值范围;
②在图③中画出整个过程中y与x的函数图象.(要求标出关键点的坐标)
(1)小明步行的速度为______m/min,图②中a的值为______.
(2)设妈妈从C处出发x min时妈妈与小明之间的距离为y m.
①写出小明妈妈在骑车由C处返回到A处的过程中,y与x的函数表达式及x的取值范围;
②在图③中画出整个过程中y与x的函数图象.(要求标出关键点的坐标)
答案：
(1)60 33
(2)①小明妈妈的骑车速度为2400÷(24÷2)=200(m/min)，$\because$小明妈妈在骑车由C处返回到A处的过程中，小明与妈妈背向而行，小明的步行速度为60m/min，$\therefore$y=260x，x的取值范围是0≤x≤12。
②整个过程中y与x的函数图象如图所示。
(1)60 33
(2)①小明妈妈的骑车速度为2400÷(24÷2)=200(m/min)，$\because$小明妈妈在骑车由C处返回到A处的过程中，小明与妈妈背向而行，小明的步行速度为60m/min，$\therefore$y=260x，x的取值范围是0≤x≤12。
②整个过程中y与x的函数图象如图所示。
解析：
【分析】
解决第(1)问时，先从图②的折线O-G-F中提取小明的运动信息：30min时小明离C处的距离为1800m，根据速度公式即可求出小明的步行速度；再结合妈妈的运动图象O-D-E-F，妈妈往返C与A之间总用时24min，可先求出妈妈的骑车速度，再计算妈妈从C出发返回家再到学校的总时长，即为a的值。
解决第(2)问①时，妈妈从C返回A的过程中，两人背向而行，两人的距离等于两人的路程和，结合两人速度即可写出函数解析式，再根据返回A的用时确定x的取值范围；②需要分阶段分析不同时间段两人的距离，确定关键点坐标后绘制图象。
【解析】
(1) 由图②可知，小明30min步行的路程为1800m，因此小明步行速度为：
$v_{\mathrm{小明}}=1800÷30=60\ \mathrm{m/min}$。
妈妈从C出发到返回C处总用时24min，因此单程（C到A）用时$24÷2=12\ \mathrm{min}$，AC距离为2400m，因此妈妈骑车速度为：
$v_{\mathrm{妈妈}}=2400÷12=200\ \mathrm{m/min}$。
A到B的总路程为$AC+CB=2400+1800=4200\ \mathrm{m}$，妈妈从C出发，先返回A用时12min，再从A到B用时$4200÷200=21\ \mathrm{min}$，因此总用时$a=12+21=33\ \mathrm{min}$。
(2) ① 妈妈从C返回A的过程中，两人背向而行，两人之间的距离为两人路程之和：
$y=200x+60x=260x$，
妈妈返回A的总用时为12min，因此x的取值范围为$0≤ x≤12$。
② 分阶段计算关键点坐标：0min时两人距离为0；12min时妈妈回到A，两人距离为$260×12=3120\ \mathrm{m}$；24min时妈妈回到C，此时小明已走$24×60=1440\ \mathrm{m}$，两人距离为1440m；30min时小明到达学校，此时妈妈距离学校还有600m，两人距离为600m；33min时妈妈到达学校，两人距离为0，结合关键点绘制图象即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$，$\boldsymbol{33}$
(2) ① $y=260x$（$0≤ x≤12$）；
②
【知识点】
一次函数的应用；行程问题；函数图象识别
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图象的实际含义，明确不同阶段的运动状态，结合路程、速度、时间的关系分段分析，能有效提升信息提取和数形结合的能力。
【难度系数】
0.6
解决第(1)问时，先从图②的折线O-G-F中提取小明的运动信息：30min时小明离C处的距离为1800m，根据速度公式即可求出小明的步行速度；再结合妈妈的运动图象O-D-E-F，妈妈往返C与A之间总用时24min，可先求出妈妈的骑车速度，再计算妈妈从C出发返回家再到学校的总时长，即为a的值。
解决第(2)问①时，妈妈从C返回A的过程中，两人背向而行，两人的距离等于两人的路程和，结合两人速度即可写出函数解析式，再根据返回A的用时确定x的取值范围；②需要分阶段分析不同时间段两人的距离，确定关键点坐标后绘制图象。
【解析】
(1) 由图②可知，小明30min步行的路程为1800m，因此小明步行速度为：
$v_{\mathrm{小明}}=1800÷30=60\ \mathrm{m/min}$。
妈妈从C出发到返回C处总用时24min，因此单程（C到A）用时$24÷2=12\ \mathrm{min}$，AC距离为2400m，因此妈妈骑车速度为：
$v_{\mathrm{妈妈}}=2400÷12=200\ \mathrm{m/min}$。
A到B的总路程为$AC+CB=2400+1800=4200\ \mathrm{m}$，妈妈从C出发，先返回A用时12min，再从A到B用时$4200÷200=21\ \mathrm{min}$，因此总用时$a=12+21=33\ \mathrm{min}$。
(2) ① 妈妈从C返回A的过程中，两人背向而行，两人之间的距离为两人路程之和：
$y=200x+60x=260x$，
妈妈返回A的总用时为12min，因此x的取值范围为$0≤ x≤12$。
② 分阶段计算关键点坐标：0min时两人距离为0；12min时妈妈回到A，两人距离为$260×12=3120\ \mathrm{m}$；24min时妈妈回到C，此时小明已走$24×60=1440\ \mathrm{m}$，两人距离为1440m；30min时小明到达学校，此时妈妈距离学校还有600m，两人距离为600m；33min时妈妈到达学校，两人距离为0，结合关键点绘制图象即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$，$\boldsymbol{33}$
(2) ① $y=260x$（$0≤ x≤12$）；
②
【知识点】
一次函数的应用；行程问题；函数图象识别
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图象的实际含义，明确不同阶段的运动状态，结合路程、速度、时间的关系分段分析，能有效提升信息提取和数形结合的能力。
【难度系数】
0.6