【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方，即符合勾股定理。解题时可以先排除存在非正整数的选项，再对剩下的选项逐一验证是否满足勾股定理即可。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数，我们据此逐一分析选项：
选项A：1、2、3均为正整数，但$1^2+2^2=1+4=5$，$3^2=9$，$5≠9$，不满足勾股定理，不是勾股数；
选项B：3、4、7均为正整数，但$3^2+4^2=9+16=25$，$7^2=49$，$25≠49$，不满足勾股定理，不是勾股数；
选项C：2.5、4.5是小数，不属于正整数，不符合勾股数的要求，直接排除；
选项D：5、12、13均为正整数，且$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，满足$5^2+12^2=13^2$，是勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，解题时需注意勾股数必须同时满足“正整数”和“符合勾股定理”两个条件，不可忽略正整数这个前提条件，避免误选含小数的选项。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先从已知的直角三角形入手，首先根据两条直角边的长度，用勾股定理计算出斜边AB的长度；再结合AD=BD判断△ABD为等腰三角形，DE是顶角∠ADB的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出E是AB的中点，进而可求出AE的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形
∵DE平分∠ADB，交AB于点E
根据等腰三角形“三线合一”的性质，DE是AB边上的中线，即E为AB的中点
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先利用勾股定理求出AB的长度，再结合等腰三角形的性质判断E点的位置，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

【分析】
要判断三角形是否为直角三角形及哪个角为直角，需先化简给出的三边关系式：首先利用平方差公式展开等式左边的代数式，再整理为两边平方和等于第三边平方的形式，最后结合勾股定理的逆定理，根据“斜边对应直角”判断直角的位置即可。
【解析】
先对给定的等式进行化简：
1. 利用平方差公式展开$(c-a)(c+a)$，可得$(c-a)(c+a)=c^2 - a^2$；
2. 代入原等式得：$c^2 - a^2 - b^2 = 0$，移项整理得$c^2 = a^2 + b^2$；
3. 根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，其中边$c$为斜边，斜边所对的角为$∠ C$，因此$∠ C$为直角。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题核心是先通过整式运算得到三边的平方关系，再结合逆定理判定直角的位置，考查基础运算和定理应用能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先统一单位：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。已知设门高AB为x尺，根据“高比宽多6尺8寸”的数量关系，可推出宽的长度为(x-6.8)尺；门为矩形，其对角线和高、宽构成直角三角形，对角线为斜边，结合勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，即可列出对应方程。
【解析】
1. 单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
2. 表示各边长度：设门高AB为x尺，由“高比宽多6.8尺”可得宽BC=(x-6.8)尺，门的对角线AC=10尺。
3. 矩形中∠B=90°，△ABC是直角三角形，根据勾股定理$AB^2+BC^2=AC^2$，代入边长得：$x^{2}+(x-6.8)^{2}= 10^{2}$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；根据实际问题列方程；单位换算
【点评】
本题结合我国古代数学名著的内容出题，既考查了勾股定理的实际应用，也考查了学生提取题干信息、将实际问题转化为数学模型的能力，解题时要注意先统一单位，再梳理清楚数量关系。
【难度系数】
0.8

【分析】
要找到使△ABC为直角三角形的点C，需分三种情况分类讨论：1. 直角顶点为点A；2. 直角顶点为点B；3. 直角顶点为点C。我们可以借助坐标法给网格点赋值，再利用勾股定理逆定理分别判断余下的7个格点是否满足直角三角形的条件，最后统计符合条件的点的个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，给网格点标注坐标：令大正方形左下角顶点为(0,0)，则A点坐标为(0,1)，B点坐标为(1,0)，余下7个格点坐标分别为(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,2)、(2,0)、(2,1)、(2,2)。
先计算AB长度的平方：$AB^2=(1-0)^2+(0-1)^2=2$。
分三种情况讨论：
1. 直角顶点为A：此时满足$AB^2+AC^2=BC^2$，代入验证可得点(1,2)符合条件，共1个点。
2. 直角顶点为B：此时满足$AB^2+BC^2=AC^2$，代入验证可得点(2,1)符合条件，共1个点。
3. 直角顶点为C：此时满足$AC^2+BC^2=AB^2$，代入验证可得点(0,0)、(1,1)符合条件，共2个点。
综上，符合条件的点C共有$1+1+2=4$个。
【答案】C
【知识点】勾股定理逆定理，直角三角形判定，分类讨论思想
【点评】本题解题的关键是对直角顶点的位置进行分类讨论，结合网格特点用勾股定理逆定理逐一验证，能有效避免出现漏解的情况。
【难度系数】0.7

【分析】
解题时先利用同圆的半径相等得到AD=AB，先求出AB的长度即半径长度；再构造以AD为斜边的直角三角形，结合网格得出直角三角形的一条直角边长，利用勾股定理求出另一条直角边的长度；最后根据C、D的位置关系计算CD的长度即可。
【解析】
连接AD，由题意得AD=AB。
∵网格中每个小正方形的边长为1，
∴AB=3，即AD=3。
过点D作DE⊥AB于点E，由网格可知DE=2。
在Rt△ADE中，根据勾股定理：
$AE^2 + DE^2 = AD^2$
代入DE=2，AD=3得：
$AE^2 + 2^2 = 3^2$
解得$AE=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。
∵点C、D均在最上方的网格线上，点C到点A的水平距离为3，
∴$CD=3 - AE=3-\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，同圆半径相等
【点评】
本题是网格类的几何基础题，将圆的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是准确构造直角三角形，找到对应边长代入勾股定理计算。
【难度系数】
0.7

【分析】
要计算阴影部分的面积，首先观察阴影部分是两个等腰直角三角形△ACD和△BCE。第一步先写出两个等腰直角三角形的面积表达式：等腰直角三角形的面积等于直角边平方的$\frac{1}{2}$，因此△ACD的面积为$\frac{1}{2}AC^2$，△BCE的面积为$\frac{1}{2}BC^2$。第二步结合Rt△ABC的勾股定理，$AC^2+BC^2=AB^2$，将两个阴影面积求和后整体代入AB的长度即可算出结果，无需单独求解AC、BC的长度。
【解析】
解：
∵△ACD是等腰直角三角形，AC为直角边，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · AC · AC=\frac{1}{2}AC^2$，
同理，△BCE是等腰直角三角形，BC为直角边，
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2} · BC · BC=\frac{1}{2}BC^2$，
∴阴影部分面积$S_{阴影}=S_{△ ACD}+S_{△ BCE}=\frac{1}{2}(AC^2+BC^2)$，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
已知AB=4，因此$AB^2=4^2=16$，
代入得$S_{阴影}=\frac{1}{2} × 16=8$。
【答案】
8
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题核心是利用整体思想，将两个阴影部分的面积和转化为与Rt△ABC斜边相关的式子，避免了单独求直角边长度的繁琐计算，很好地考查了代数式变形和定理的结合应用能力。
【难度系数】
0.7