8. 如图,在△ABC中,AB= AC,E为AB的中点,BD⊥AC,若DE= 5,BD= 8,则CD的长为______.
答案：4
解析：
【分析】
首先由BD⊥AC可知△ABD是直角三角形，E是AB中点，可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出AB的长度；再结合AB=AC得到AC的长度；随后在Rt△ABD中运用勾股定理算出AD的长；最后用AC减去AD即可求出CD的长度。
【解析】
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，△ABD为直角三角形。
∵E是AB的中点，DE是Rt△ABD斜边AB的中线，
∴AB=2DE，已知DE=5，
∴AB=2×5=10。
又
∵AB=AC，
∴AC=10。
在Rt△ABD中，AB=10，BD=8，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
∴CD=AC-AD=10-6=4。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是几何基础计算的典型题，综合了直角三角形、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是先利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度，再逐步推导计算，能有效考查学生对基础几何性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
首先由BD⊥AC可知△ABD是直角三角形，E是AB中点，可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出AB的长度；再结合AB=AC得到AC的长度；随后在Rt△ABD中运用勾股定理算出AD的长；最后用AC减去AD即可求出CD的长度。
【解析】
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，△ABD为直角三角形。
∵E是AB的中点，DE是Rt△ABD斜边AB的中线，
∴AB=2DE，已知DE=5，
∴AB=2×5=10。
又
∵AB=AC，
∴AC=10。
在Rt△ABD中，AB=10，BD=8，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
∴CD=AC-AD=10-6=4。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是几何基础计算的典型题，综合了直角三角形、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是先利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度，再逐步推导计算，能有效考查学生对基础几何性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,已知∠A= 90°,AC= AB= 4,CD= 2,BD= 6,则∠ACD= ______.
答案：45°
解析：
【分析】
解题时先从已知的Rt△ABC入手，首先利用勾股定理计算出BC的长度，同时根据等腰直角三角形的特征得到∠ACB的度数；再计算△BCD三边的平方关系，用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，得到∠BCD的度数；最后通过角的和差关系即可求出∠ACD的度数。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AC=AB=4$，
由勾股定理得：$BC^2=AC^2+AB^2=4^2+4^2=32$，
且$△ ABC$是等腰直角三角形，因此$∠ ACB=45°$。
2. 在$△ BCD$中，$CD=2$，$BD=6$，
计算得：$CD^2+BC^2=2^2+32=4+32=36$，$BD^2=6^2=36$，
因此$CD^2+BC^2=BD^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$。
3. 因此$∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=90°-45°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的典型综合题，解题的核心是先求出公共边BC的长度，再通过三边的平方关系判定直角三角形，最后结合角的和差关系求解，对勾股定理及其逆定理的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的Rt△ABC入手，首先利用勾股定理计算出BC的长度，同时根据等腰直角三角形的特征得到∠ACB的度数；再计算△BCD三边的平方关系，用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，得到∠BCD的度数；最后通过角的和差关系即可求出∠ACD的度数。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AC=AB=4$，
由勾股定理得：$BC^2=AC^2+AB^2=4^2+4^2=32$，
且$△ ABC$是等腰直角三角形，因此$∠ ACB=45°$。
2. 在$△ BCD$中，$CD=2$，$BD=6$，
计算得：$CD^2+BC^2=2^2+32=4+32=36$，$BD^2=6^2=36$，
因此$CD^2+BC^2=BD^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$。
3. 因此$∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=90°-45°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理相关的典型综合题，解题的核心是先求出公共边BC的长度，再通过三边的平方关系判定直角三角形，最后结合角的和差关系求解，对勾股定理及其逆定理的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
10. 同学们想知道学校旗杆的高度,发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2m,当把绳子的下端拉开8m后,发现下端刚好接触地面,如图,那么旗杆的高是______m.
答案：15
解析：
【分析】
本题属于勾股定理的实际应用问题，解题思路如下：首先明确旗杆垂直于地面，因此旗杆、拉开的绳子与地面构成直角三角形；接下来设旗杆高度为未知数，根据“绳子垂到地面多2m”表示出绳子的长度，而拉开的水平距离已知为8m，最后利用勾股定理列出方程求解即可得到旗杆高度。
【解析】
设旗杆的高$ AB $为$ x \, \mathrm{m} $，由题意可知绳子的长度$ AC = (x+2) \, \mathrm{m} $，且$ BC = 8 \, \mathrm{m} $。
因为$ AB ⊥ BC $，所以$ △ ABC $是直角三角形，$ ∠ B = 90° $。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数值：
$x^2 + 8^2 = (x+2)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 64 = x^2 + 4x + 4$
消去$ x^2 $后得：
$4x = 60$
解得：
$x = 15$
【答案】
15
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型习题，解题的核心是将实际场景转化为直角三角形模型，找到三边的数量关系列方程，能够有效考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于勾股定理的实际应用问题，解题思路如下：首先明确旗杆垂直于地面，因此旗杆、拉开的绳子与地面构成直角三角形；接下来设旗杆高度为未知数，根据“绳子垂到地面多2m”表示出绳子的长度，而拉开的水平距离已知为8m，最后利用勾股定理列出方程求解即可得到旗杆高度。
【解析】
设旗杆的高$ AB $为$ x \, \mathrm{m} $，由题意可知绳子的长度$ AC = (x+2) \, \mathrm{m} $，且$ BC = 8 \, \mathrm{m} $。
因为$ AB ⊥ BC $，所以$ △ ABC $是直角三角形，$ ∠ B = 90° $。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数值：
$x^2 + 8^2 = (x+2)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 64 = x^2 + 4x + 4$
消去$ x^2 $后得：
$4x = 60$
解得：
$x = 15$
【答案】
15
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的典型习题，解题的核心是将实际场景转化为直角三角形模型，找到三边的数量关系列方程，能够有效考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图,已知在△ABC中,AD⊥BC于点D,若$AD^{2}= BD\cdot DC$,求证：△ABC是直角三角形.
答案：
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴AB²=AD²+BD²，同理可得AC²=AD²+CD²，
∴AB²+AC²=AD²+BD²+AD²+CD².又AD²=BD·DC，
∴AB²+AC²=BD²+CD²+2BD·CD=(BD+CD)²=BC²，
∴△ABC是直角三角形.
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴AB²=AD²+BD²，同理可得AC²=AD²+CD²，
∴AB²+AC²=AD²+BD²+AD²+CD².又AD²=BD·DC，
∴AB²+AC²=BD²+CD²+2BD·CD=(BD+CD)²=BC²，
∴△ABC是直角三角形.
解析：
【分析】要证明△ABC是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，即只需证明$AB^2+AC^2=BC^2$即可。已知$AD⊥ BC$，可得$△ ABD$和$△ ACD$均为直角三角形，先通过勾股定理分别表示出$AB^2$和$AC^2$，再将两个式子相加，结合已知条件$AD^2=BD· DC$对式子进行变形，最终推导出$AB^2+AC^2=BC^2$即可完成证明。
【解析】
∵在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
∴$AB^2=AD^2+BD^2$，
同理可得，在$Rt△ ACD$中，$AC^2=AD^2+CD^2$，
∴$AB^2+AC^2=AD^2+BD^2+AD^2+CD^2$，
又
∵$AD^2=BD· DC$，
∴$AB^2+AC^2=BD^2+CD^2+2BD· CD=(BD+CD)^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；完全平方公式
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的综合应用类题目，解题的核心是利用垂直关系得到两个直角三角形，通过公共边$AD$建立边长关系，结合已知条件变形得到符合逆定理的等式，熟练掌握勾股定理和逆定理的适用条件是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
【解析】
∵在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
∴$AB^2=AD^2+BD^2$，
同理可得，在$Rt△ ACD$中，$AC^2=AD^2+CD^2$，
∴$AB^2+AC^2=AD^2+BD^2+AD^2+CD^2$，
又
∵$AD^2=BD· DC$，
∴$AB^2+AC^2=BD^2+CD^2+2BD· CD=(BD+CD)^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；完全平方公式
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的综合应用类题目，解题的核心是利用垂直关系得到两个直角三角形，通过公共边$AD$建立边长关系，结合已知条件变形得到符合逆定理的等式，熟练掌握勾股定理和逆定理的适用条件是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在△ABC中,AB= 5,AC= 13,BC边上的中线AD= 6,求△ABD的面积.
答案：
如图，延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中，
$\begin{cases}BD = CD\\\angle ADB = \angle EDC\\AD = ED\end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E.
∵AE = 2AD = 12，CE = 5，AC = 13，
∴CE²+AE²=AC²，
∴∠E = 90°，
∴∠BAD = 90°，即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$AD·AB = 15.
如图，延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中，
$\begin{cases}BD = CD\\\angle ADB = \angle EDC\\AD = ED\end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E.
∵AE = 2AD = 12，CE = 5，AC = 13，
∴CE²+AE²=AC²，
∴∠E = 90°，
∴∠BAD = 90°，即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$AD·AB = 15.
解析：
【分析】
当题目中出现三角形中线时，可采用“倍长中线”的辅助线构造方法，把分散的已知边长集中到同一个三角形中。本题延长AD到E使DE=AD，可构造全等三角形将AB转化为CE，此时AE=2AD=12，得到CE=5、AE=12、AC=13这三个长度，刚好对应常见勾股数，可通过勾股定理的逆定理判断直角，进而求出△ABD的面积。
【解析】
解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中：
$\begin{cases}BD = CD\\∠ ADB = ∠ EDC\\AD = ED\end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E。
∵AE = 2AD = 12，CE = 5，AC = 13，
∴$CE^2+AE^2=5^2+12^2=169$，$AC^2=13^2=169$，即$CE^2+AE^2=AC^2$，
∴△ACE为直角三角形，∠E = 90°，
∴∠BAD = ∠E=90°，即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×AB×AD = $\frac{1}{2}×5×6=15$。
【答案】
15
【知识点】
倍长中线法，全等三角形判定与性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是三角形与勾股定理结合的典型题型，核心考查倍长中线这一常用辅助线构造方法，通过构造全等实现边的位置转化，再利用勾股定理逆定理判断直角即可快速求解，熟练掌握常见辅助线技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
当题目中出现三角形中线时，可采用“倍长中线”的辅助线构造方法，把分散的已知边长集中到同一个三角形中。本题延长AD到E使DE=AD，可构造全等三角形将AB转化为CE，此时AE=2AD=12，得到CE=5、AE=12、AC=13这三个长度，刚好对应常见勾股数，可通过勾股定理的逆定理判断直角，进而求出△ABD的面积。
【解析】
解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中：
$\begin{cases}BD = CD\\∠ ADB = ∠ EDC\\AD = ED\end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E。
∵AE = 2AD = 12，CE = 5，AC = 13，
∴$CE^2+AE^2=5^2+12^2=169$，$AC^2=13^2=169$，即$CE^2+AE^2=AC^2$，
∴△ACE为直角三角形，∠E = 90°，
∴∠BAD = ∠E=90°，即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×AB×AD = $\frac{1}{2}×5×6=15$。
【答案】
15
【知识点】
倍长中线法，全等三角形判定与性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是三角形与勾股定理结合的典型题型，核心考查倍长中线这一常用辅助线构造方法，通过构造全等实现边的位置转化，再利用勾股定理逆定理判断直角即可快速求解，熟练掌握常见辅助线技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.6
13. 如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为18cm,底面周长为24cm,在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿的距离为2cm的点A处,求蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离.
答案：
如图，将圆柱形容器展开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长为24cm，宽为18cm的长方形，作点A关于容器上沿MN的对称点A'，连接MA'，A'B，交MN于点P，过点B作CA的垂线交剖开线MC于点H.由轴对称的性质和“两点之间，线段最短”知AP+BP为蚂蚁到达饭粒的最短距离，且AP = A'P.由已知和长方形的性质，得BH = 12cm，A'H = 16cm.在Rt△A'BH中，由勾股定理得A'B = 20cm，即蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm.
如图，将圆柱形容器展开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长为24cm，宽为18cm的长方形，作点A关于容器上沿MN的对称点A'，连接MA'，A'B，交MN于点P，过点B作CA的垂线交剖开线MC于点H.由轴对称的性质和“两点之间，线段最短”知AP+BP为蚂蚁到达饭粒的最短距离，且AP = A'P.由已知和长方形的性质，得BH = 12cm，A'H = 16cm.在Rt△A'BH中，由勾股定理得A'B = 20cm，即蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm.
解析：
【分析】
求解圆柱表面的最短路径问题，需先运用“化曲为直”的思想，将圆柱侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”把曲面路径转化为平面内的线段长度。本题中蚂蚁在容器外壁、饭粒在内壁，因此需要作点A关于容器上沿的对称点，借助轴对称性质将外壁的路径等效转化，使两点路径可在同一平面内计算，最后构造直角三角形，利用勾股定理求解线段长度即可。
【解析】
将圆柱侧面沿过点A的竖直母线剖开，展开后得到长为24cm、宽为18cm的长方形。作点A关于容器上沿MN的对称点A'，连接A'B，与MN交于点P，根据轴对称的性质可得AP=A'P，因此蚂蚁爬行的最短路径长度AP+BP=A'P+BP=A'B。
过点B作BH垂直于点A所在的母线于点H：
1. 已知底面周长为24cm，因此BH为底面半周长，即$ BH = 24÷2 = 12\mathrm{cm} $；
2. 点A离上沿2cm，故对称点A'离上沿MN的距离也为2cm，点B离容器底部4cm，容器高18cm，因此$ A'H = 18 - 4 + 2 = 16\mathrm{cm} $。
在Rt△A'HB中，根据勾股定理：
$ A'B = \sqrt{A'H^2 + BH^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\mathrm{cm} $。
【答案】
蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm。
【知识点】
圆柱侧面展开，轴对称性质，勾股定理应用
【点评】
本题是立体图形最短路径的经典题型，核心考查“化曲为直”的转化思想，需要结合轴对称性质将异侧路径转化为平面内的线段，再用勾股定理计算，能有效锻炼空间想象能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
求解圆柱表面的最短路径问题，需先运用“化曲为直”的思想，将圆柱侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”把曲面路径转化为平面内的线段长度。本题中蚂蚁在容器外壁、饭粒在内壁，因此需要作点A关于容器上沿的对称点，借助轴对称性质将外壁的路径等效转化，使两点路径可在同一平面内计算，最后构造直角三角形，利用勾股定理求解线段长度即可。
【解析】
将圆柱侧面沿过点A的竖直母线剖开，展开后得到长为24cm、宽为18cm的长方形。作点A关于容器上沿MN的对称点A'，连接A'B，与MN交于点P，根据轴对称的性质可得AP=A'P，因此蚂蚁爬行的最短路径长度AP+BP=A'P+BP=A'B。
过点B作BH垂直于点A所在的母线于点H：
1. 已知底面周长为24cm，因此BH为底面半周长，即$ BH = 24÷2 = 12\mathrm{cm} $；
2. 点A离上沿2cm，故对称点A'离上沿MN的距离也为2cm，点B离容器底部4cm，容器高18cm，因此$ A'H = 18 - 4 + 2 = 16\mathrm{cm} $。
在Rt△A'HB中，根据勾股定理：
$ A'B = \sqrt{A'H^2 + BH^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\mathrm{cm} $。
【答案】
蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm。
【知识点】
圆柱侧面展开，轴对称性质，勾股定理应用
【点评】
本题是立体图形最短路径的经典题型，核心考查“化曲为直”的转化思想，需要结合轴对称性质将异侧路径转化为平面内的线段，再用勾股定理计算，能有效锻炼空间想象能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6