9. 如图,在平面直角坐标系中,点$A,B的坐标分别为(1,4)$,$(n,4)$,若直线$y= 2x与线段AB$有公共点,则$n$的取值范围是______.
答案：$ n\geqslant 2 $
解析：
【分析】
首先观察点A、B的坐标特征，两点纵坐标均为4，可知线段AB是平行于x轴、位于直线y=4上的线段，横坐标范围是从1到n。要判断直线y=2x与线段AB有公共点，第一步先求直线y=2x和直线y=4的交点坐标，第二步根据交点在线段AB上的要求，结合A点的横坐标，即可推出n的取值范围。
【解析】
解：
∵点A、B的坐标分别为$(1,4)$、$(n,4)$，
∴线段AB在直线$y=4$上，线段上所有点的纵坐标恒为4，且点的横坐标范围在1和n之间。
将$y=4$代入$y=2x$，得：$4=2x$，解得$x=2$，
即直线$y=2x$与直线$y=4$的交点为$(2,4)$。
要使直线$y=2x$与线段AB有公共点，即交点$(2,4)$在线段AB上，
∵A点横坐标$1＜2$，
∴B点横坐标n需要满足$n≥2$，才能保证$x=2$在1到n的范围内。
【答案】
$n≥ 2$
【知识点】
一次函数图象性质；函数交点求解；线段取值范围判断
【点评】
本题是一次函数与线段交点的基础题型，解题的核心是先确定线段所在的直线方程，求出两直线的交点后，结合线段端点的坐标特征判断参数的取值范围，解题时注意端点处是否可取。
【难度系数】
0.8
首先观察点A、B的坐标特征，两点纵坐标均为4，可知线段AB是平行于x轴、位于直线y=4上的线段，横坐标范围是从1到n。要判断直线y=2x与线段AB有公共点，第一步先求直线y=2x和直线y=4的交点坐标，第二步根据交点在线段AB上的要求，结合A点的横坐标，即可推出n的取值范围。
【解析】
解：
∵点A、B的坐标分别为$(1,4)$、$(n,4)$，
∴线段AB在直线$y=4$上，线段上所有点的纵坐标恒为4，且点的横坐标范围在1和n之间。
将$y=4$代入$y=2x$，得：$4=2x$，解得$x=2$，
即直线$y=2x$与直线$y=4$的交点为$(2,4)$。
要使直线$y=2x$与线段AB有公共点，即交点$(2,4)$在线段AB上，
∵A点横坐标$1＜2$，
∴B点横坐标n需要满足$n≥2$，才能保证$x=2$在1到n的范围内。
【答案】
$n≥ 2$
【知识点】
一次函数图象性质；函数交点求解；线段取值范围判断
【点评】
本题是一次函数与线段交点的基础题型，解题的核心是先确定线段所在的直线方程，求出两直线的交点后，结合线段端点的坐标特征判断参数的取值范围，解题时注意端点处是否可取。
【难度系数】
0.8
10. (衢州中考)已知$A,B$两地相距60 km,甲、乙两人沿同一条公路从$A地出发到B$地,甲骑自行车匀速行驶3 h到达,乙骑摩托车,比甲迟1 h出发,行至30 km处追上甲,停留半小时后继续以原速行驶.他们离开$A地的路程y与甲行驶时间x$的函数图象如图所示.当乙再次追上甲时距离$B$地______km.
答案：15
解析：
【分析】
解题时首先结合已知条件求出甲的速度，得到甲的路程与行驶时间的函数关系；再根据乙追上甲时的路程求出相遇时间，进而算出乙的速度；接着明确乙停留半小时后的时间点两人的路程，写出乙停留结束后的路程函数；最后根据追及时两人路程相等列方程求解，得到再次追上时的总路程，即可算出距离B地的距离。
【解析】
1. 求甲的速度及函数关系：
甲3小时行驶60km，故甲的速度$v_甲=60÷3=20\ \mathrm{km/h}$，甲离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数为：$y=20x\ (0≤ x≤3)$。
2. 求乙的速度：
乙追上甲时路程为30km，代入甲的函数得$30=20x$，解得$x=1.5\ \mathrm{h}$。乙比甲晚1h出发，故乙行驶30km用时$1.5-1=0.5\ \mathrm{h}$，乙的速度$v_乙=30÷0.5=60\ \mathrm{km/h}$。
3. 确定乙停留结束时两人的路程：
乙在30km处停留半小时，停留结束时$x=1.5+0.5=2\ \mathrm{h}$，此时甲的路程为$20×2=40\ \mathrm{km}$，乙的路程仍为30km。
4. 求乙停留结束后的函数关系并解方程：
当$x≥2$时，乙的路程$y=30+60(x-2)=60x-90$。
乙再次追上甲时两人路程相等，故$20x=60x-90$，解得$x=2.25\ \mathrm{h}$。
5. 计算距离B地的路程：
此时两人行驶的路程为$20×2.25=45\ \mathrm{km}$，距离B地的距离为$60-45=15\ \mathrm{km}$。
【答案】
15
【知识点】
一次函数的应用；行程问题；追及问题
【点评】
本题结合函数图像考查一次函数的实际应用，解题的核心是从题干和图像中提取速度、时间、路程的对应关系，分阶段分析两人的行驶状态，利用路程相等的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知条件求出甲的速度，得到甲的路程与行驶时间的函数关系；再根据乙追上甲时的路程求出相遇时间，进而算出乙的速度；接着明确乙停留半小时后的时间点两人的路程，写出乙停留结束后的路程函数；最后根据追及时两人路程相等列方程求解，得到再次追上时的总路程，即可算出距离B地的距离。
【解析】
1. 求甲的速度及函数关系：
甲3小时行驶60km，故甲的速度$v_甲=60÷3=20\ \mathrm{km/h}$，甲离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数为：$y=20x\ (0≤ x≤3)$。
2. 求乙的速度：
乙追上甲时路程为30km，代入甲的函数得$30=20x$，解得$x=1.5\ \mathrm{h}$。乙比甲晚1h出发，故乙行驶30km用时$1.5-1=0.5\ \mathrm{h}$，乙的速度$v_乙=30÷0.5=60\ \mathrm{km/h}$。
3. 确定乙停留结束时两人的路程：
乙在30km处停留半小时，停留结束时$x=1.5+0.5=2\ \mathrm{h}$，此时甲的路程为$20×2=40\ \mathrm{km}$，乙的路程仍为30km。
4. 求乙停留结束后的函数关系并解方程：
当$x≥2$时，乙的路程$y=30+60(x-2)=60x-90$。
乙再次追上甲时两人路程相等，故$20x=60x-90$，解得$x=2.25\ \mathrm{h}$。
5. 计算距离B地的路程：
此时两人行驶的路程为$20×2.25=45\ \mathrm{km}$，距离B地的距离为$60-45=15\ \mathrm{km}$。
【答案】
15
【知识点】
一次函数的应用；行程问题；追及问题
【点评】
本题结合函数图像考查一次函数的实际应用，解题的核心是从题干和图像中提取速度、时间、路程的对应关系，分阶段分析两人的行驶状态，利用路程相等的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在平面直角坐标系中,过点$B(6,0)的直线AB与直线OA相交于点A(4,2)$,动点$M沿路线O→A→C$运动.
(1)求直线$AB$的函数表达式;
(2)求$\triangle OAC$的面积;
(3)当$\triangle OMC的面积是\triangle OAC的面积的\frac{1}{4}$时,求出这时点$M$的坐标.
(1)求直线$AB$的函数表达式;
(2)求$\triangle OAC$的面积;
(3)当$\triangle OMC的面积是\triangle OAC的面积的\frac{1}{4}$时,求出这时点$M$的坐标.
答案：
(1)设直线 AB 的函数表达式为 $ y=kx+b $,根据题意,得$ \begin{cases} 4k+b=2, \\ 6k+b=0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k=-1, \\ b=6. \end{cases} $则直线 AB 的函数表达式为 $ y=-x+6 $.
(2)在 $ y=-x+6 $中,令$ x=0 $,解得$ y=6 $,
∴ $ C(0,6) $,
∴ $ S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}×6×4=12 $.
(3)设 OA 所在直线的函数表达式为 $ y=mx $,则 $ 4m=2 $,解得 $ m=\frac{1}{2} $,
∴ OA 所在直线的函数表达式为 $ y=\frac{1}{2}x $.
∵ $ \triangle OMC $的面积是$ \triangle OAC $的面积的$ \frac{1}{4} $,
∴点 M 的横坐标是$ \frac{1}{4}×4=1 $.若点 M 在 OA 上,则在$ y=\frac{1}{2}x $中,当$ x=1 $时,$ y=\frac{1}{2} $,则点 M 的坐标是$ \left(1,\frac{1}{2}\right) $;若点 M 在 BC 上,则在$ y=-x+6 $中,当$ x=1 $时,$ y=5 $,则点 M 的坐标是$ (1,5) $.
∴点 M 的坐标是$ \left(1,\frac{1}{2}\right) $或$ (1,5) $.
(1)设直线 AB 的函数表达式为 $ y=kx+b $,根据题意,得$ \begin{cases} 4k+b=2, \\ 6k+b=0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k=-1, \\ b=6. \end{cases} $则直线 AB 的函数表达式为 $ y=-x+6 $.
(2)在 $ y=-x+6 $中,令$ x=0 $,解得$ y=6 $,
∴ $ C(0,6) $,
∴ $ S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}×6×4=12 $.
(3)设 OA 所在直线的函数表达式为 $ y=mx $,则 $ 4m=2 $,解得 $ m=\frac{1}{2} $,
∴ OA 所在直线的函数表达式为 $ y=\frac{1}{2}x $.
∵ $ \triangle OMC $的面积是$ \triangle OAC $的面积的$ \frac{1}{4} $,
∴点 M 的横坐标是$ \frac{1}{4}×4=1 $.若点 M 在 OA 上,则在$ y=\frac{1}{2}x $中,当$ x=1 $时,$ y=\frac{1}{2} $,则点 M 的坐标是$ \left(1,\frac{1}{2}\right) $;若点 M 在 BC 上,则在$ y=-x+6 $中,当$ x=1 $时,$ y=5 $,则点 M 的坐标是$ (1,5) $.
∴点 M 的坐标是$ \left(1,\frac{1}{2}\right) $或$ (1,5) $.
解析：
【分析】
(1) 求直线AB的函数表达式，已知直线过A(4,2)、B(6,0)两个点，选用待定系数法求解：先设解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组即可得到参数值，确定解析式。
(2) 求$△ OAC$的面积，先找到点C的坐标：C是直线AB与y轴的交点，令直线AB解析式中$x=0$即可求出C点纵坐标，得到OC的长度；$△ OAC$以OC为底，A点的横坐标为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) $△ OMC$和$△ OAC$共底OC，面积比等于对应高的比，即M点的横坐标为A点横坐标的$\frac{1}{4}$，可得M点横坐标为1；再分两种情况讨论：①M在OA段上，先求OA的解析式，代入$x=1$求纵坐标；②M在AC段上，代入直线AB的解析式求$x=1$时的纵坐标，即可得到两个M点坐标。
【解析】
(1) 设直线AB的函数表达式为 $ y=kx+b $，将A(4,2)、B(6,0)代入得：
$ \begin{cases} 4k+b=2 \\ 6k+b=0 \end{cases} $
解得$ \begin{cases} k=-1 \\ b=6 \end{cases} $
即直线AB的函数表达式为 $ y=-x+6 $。
(2) 在 $ y=-x+6 $ 中，令$ x=0 $，解得$ y=6 $，
∴ $ C(0,6) $，即$ OC=6 $，
∴ $ S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × OC × x_A=\frac{1}{2}×6×4=12 $。
(3) 设OA所在直线的函数表达式为 $ y=mx $，将A(4,2)代入得：
$ 4m=2 $，解得 $ m=\frac{1}{2} $，
∴ OA所在直线的函数表达式为 $ y=\frac{1}{2}x $。
∵ $ △ OMC $的面积是$ △ OAC $的面积的$ \frac{1}{4} $，两三角形共底OC，
∴点M的横坐标为$ \frac{1}{4} × 4=1 $。
分两种情况讨论：
①若点M在OA上，将$ x=1 $代入$ y=\frac{1}{2}x $，得$ y=\frac{1}{2} $，此时M坐标为$ (1,\frac{1}{2}) $；
②若点M在AC上，将$ x=1 $代入$ y=-x+6 $，得$ y=5 $，此时M坐标为$ (1,5) $。
【答案】
(1) $ y=-x+6 $
(2) $ 12 $
(3) $ (1,\frac{1}{2}) $或$ (1,5) $
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的图像与性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，解题核心是熟练运用待定系数法求一次函数解析式，掌握同底三角形面积比等于对应高的比的规律，涉及动点问题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线AB的函数表达式，已知直线过A(4,2)、B(6,0)两个点，选用待定系数法求解：先设解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组即可得到参数值，确定解析式。
(2) 求$△ OAC$的面积，先找到点C的坐标：C是直线AB与y轴的交点，令直线AB解析式中$x=0$即可求出C点纵坐标，得到OC的长度；$△ OAC$以OC为底，A点的横坐标为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) $△ OMC$和$△ OAC$共底OC，面积比等于对应高的比，即M点的横坐标为A点横坐标的$\frac{1}{4}$，可得M点横坐标为1；再分两种情况讨论：①M在OA段上，先求OA的解析式，代入$x=1$求纵坐标；②M在AC段上，代入直线AB的解析式求$x=1$时的纵坐标，即可得到两个M点坐标。
【解析】
(1) 设直线AB的函数表达式为 $ y=kx+b $，将A(4,2)、B(6,0)代入得：
$ \begin{cases} 4k+b=2 \\ 6k+b=0 \end{cases} $
解得$ \begin{cases} k=-1 \\ b=6 \end{cases} $
即直线AB的函数表达式为 $ y=-x+6 $。
(2) 在 $ y=-x+6 $ 中，令$ x=0 $，解得$ y=6 $，
∴ $ C(0,6) $，即$ OC=6 $，
∴ $ S_{△ OAC}=\frac{1}{2} × OC × x_A=\frac{1}{2}×6×4=12 $。
(3) 设OA所在直线的函数表达式为 $ y=mx $，将A(4,2)代入得：
$ 4m=2 $，解得 $ m=\frac{1}{2} $，
∴ OA所在直线的函数表达式为 $ y=\frac{1}{2}x $。
∵ $ △ OMC $的面积是$ △ OAC $的面积的$ \frac{1}{4} $，两三角形共底OC，
∴点M的横坐标为$ \frac{1}{4} × 4=1 $。
分两种情况讨论：
①若点M在OA上，将$ x=1 $代入$ y=\frac{1}{2}x $，得$ y=\frac{1}{2} $，此时M坐标为$ (1,\frac{1}{2}) $；
②若点M在AC上，将$ x=1 $代入$ y=-x+6 $，得$ y=5 $，此时M坐标为$ (1,5) $。
【答案】
(1) $ y=-x+6 $
(2) $ 12 $
(3) $ (1,\frac{1}{2}) $或$ (1,5) $
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的图像与性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，解题核心是熟练运用待定系数法求一次函数解析式，掌握同底三角形面积比等于对应高的比的规律，涉及动点问题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12. (包头中考改编)小颖家今年种植的草莓喜获丰收,采摘上市16天全部销售完.小颖对销售情况进行统计后发现,在该草莓上市第$x$天($x$取整数)时,日销售量$y$(单位:千克)与$x之间的函数表达式为y= \begin{cases}12x,0\leqslant x\leqslant10,\\-20x+320,10＜x\leqslant16,\end{cases} 草莓价格m$(单位:元/千克)与$x$之间的函数关系如图所示.
(1)求第14天小颖家草莓的日销售量.
(2)求当$4\leqslant x\leqslant12$时,草莓价格$m与x$之间的函数表达式.
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多?
(1)求第14天小颖家草莓的日销售量.
(2)求当$4\leqslant x\leqslant12$时,草莓价格$m与x$之间的函数表达式.
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多?
答案：
(1)
∵当$ 10\leqslant x\leqslant16 $时,$ y=-20x+320 $,
∴当$ x=14 $时,$ y=-20×14+320=40 $(千克),
∴第 14 天小颖家草莓的日销售量是 40 千克.
(2)当$ 4\leqslant x\leqslant12 $时,设草莓价格 m 与 x 之间的函数表达式为$ m=kx+b $,
∵点$ (4,24) $,$ (12,16) $在$ m=kx+b $的图象上,
∴$ \begin{cases} 4k+b=24, \\ 12k+b=16, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k=-1, \\ b=28, \end{cases} $
∴m 与 x 之间的函数表达式为$ m=-x+28 $.
(3)
∵当$ 0\leqslant x\leqslant10 $时,$ y=12x $,
∴当$ x=8 $时,$ y=12×8=96 $,当$ x=10 $时,$ y=12×10=120 $.
∵当$ 4\leqslant x\leqslant12 $时,草莓价格$ m=-x+28 $,
∴当$ x=8 $时,$ m=-8+28=20 $,当$ x=10 $时,$ m=-10+28=18 $.
∴第 8 天的销售金额为$ 96×20=1920 $(元),第 10 天的销售金额为$ 120×18=2160 $(元).
∵$ 2160＞1920 $,
∴第 10 天的销售金额多.
(1)
∵当$ 10\leqslant x\leqslant16 $时,$ y=-20x+320 $,
∴当$ x=14 $时,$ y=-20×14+320=40 $(千克),
∴第 14 天小颖家草莓的日销售量是 40 千克.
(2)当$ 4\leqslant x\leqslant12 $时,设草莓价格 m 与 x 之间的函数表达式为$ m=kx+b $,
∵点$ (4,24) $,$ (12,16) $在$ m=kx+b $的图象上,
∴$ \begin{cases} 4k+b=24, \\ 12k+b=16, \end{cases} $解得$ \begin{cases} k=-1, \\ b=28, \end{cases} $
∴m 与 x 之间的函数表达式为$ m=-x+28 $.
(3)
∵当$ 0\leqslant x\leqslant10 $时,$ y=12x $,
∴当$ x=8 $时,$ y=12×8=96 $,当$ x=10 $时,$ y=12×10=120 $.
∵当$ 4\leqslant x\leqslant12 $时,草莓价格$ m=-x+28 $,
∴当$ x=8 $时,$ m=-8+28=20 $,当$ x=10 $时,$ m=-10+28=18 $.
∴第 8 天的销售金额为$ 96×20=1920 $(元),第 10 天的销售金额为$ 120×18=2160 $(元).
∵$ 2160＞1920 $,
∴第 10 天的销售金额多.
解析：
【分析】
(1) 求第14天的日销售量，首先判断x=14所属的日销售量分段区间，代入对应解析式计算即可得到结果。
(2) 当$4≤x≤12$时，m与x的关系是一次函数，已知图像上两个点的坐标，采用待定系数法设解析式为$m=kx+b$，代入两点坐标得到二元一次方程组，求解得到k、b的值即可确定函数表达式。
(3) 销售金额=日销售量×草莓单价，分别找到x=8、x=10对应的日销售量和单价的解析式，代入计算两天的销售金额后比较大小即可。
【解析】
(1) 由日销售量的分段函数可知，当$10＜x≤16$时，$y=-20x+320$，
将$x=14$代入解析式得：$y=-20×14+320=40$（千克）。
(2) 当$4≤x≤12$时，设草莓价格m与x的函数表达式为$m=kx+b(k≠0)$，
由函数图像可得，直线过点$(4,24)$和$(12,16)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=24\\12k+b=16\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$8k=-8$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$4k+b=24$，得$-4+b=24$，解得$b=28$，
因此m与x的函数表达式为$m=-x+28(4≤x≤12)$。
(3) 计算第8天的销售金额：
当$x=8$时，$0≤8≤10$，代入$y=12x$得$y=12×8=96$（千克）；
$4≤8≤12$，代入$m=-x+28$得$m=-8+28=20$（元/千克）；
销售金额为$96×20=1920$（元）。
计算第10天的销售金额：
当$x=10$时，$0≤10≤10$，代入$y=12x$得$y=12×10=120$（千克）；
$4≤10≤12$，代入$m=-x+28$得$m=-10+28=18$（元/千克）；
销售金额为$120×18=2160$（元）。
∵$2160＞1920$，
∴第10天的销售金额更多。
【答案】
(1) 第14天的日销售量为40千克；
(2) 当$4≤x≤12$时，$m=-x+28$；
(3) 第10天的销售金额多。
【知识点】
分段函数求值，待定系数法求一次函数，一次函数实际应用
【点评】
本题结合销售场景考察一次函数的应用，解题关键是根据自变量的取值范围匹配对应的函数解析式，避免代错公式，同时要注意计算的准确性，是一次函数的常见应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求第14天的日销售量，首先判断x=14所属的日销售量分段区间，代入对应解析式计算即可得到结果。
(2) 当$4≤x≤12$时，m与x的关系是一次函数，已知图像上两个点的坐标，采用待定系数法设解析式为$m=kx+b$，代入两点坐标得到二元一次方程组，求解得到k、b的值即可确定函数表达式。
(3) 销售金额=日销售量×草莓单价，分别找到x=8、x=10对应的日销售量和单价的解析式，代入计算两天的销售金额后比较大小即可。
【解析】
(1) 由日销售量的分段函数可知，当$10＜x≤16$时，$y=-20x+320$，
将$x=14$代入解析式得：$y=-20×14+320=40$（千克）。
(2) 当$4≤x≤12$时，设草莓价格m与x的函数表达式为$m=kx+b(k≠0)$，
由函数图像可得，直线过点$(4,24)$和$(12,16)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=24\\12k+b=16\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$8k=-8$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$4k+b=24$，得$-4+b=24$，解得$b=28$，
因此m与x的函数表达式为$m=-x+28(4≤x≤12)$。
(3) 计算第8天的销售金额：
当$x=8$时，$0≤8≤10$，代入$y=12x$得$y=12×8=96$（千克）；
$4≤8≤12$，代入$m=-x+28$得$m=-8+28=20$（元/千克）；
销售金额为$96×20=1920$（元）。
计算第10天的销售金额：
当$x=10$时，$0≤10≤10$，代入$y=12x$得$y=12×10=120$（千克）；
$4≤10≤12$，代入$m=-x+28$得$m=-10+28=18$（元/千克）；
销售金额为$120×18=2160$（元）。
∵$2160＞1920$，
∴第10天的销售金额更多。
【答案】
(1) 第14天的日销售量为40千克；
(2) 当$4≤x≤12$时，$m=-x+28$；
(3) 第10天的销售金额多。
【知识点】
分段函数求值，待定系数法求一次函数，一次函数实际应用
【点评】
本题结合销售场景考察一次函数的应用，解题关键是根据自变量的取值范围匹配对应的函数解析式，避免代错公式，同时要注意计算的准确性，是一次函数的常见应用题型。
【难度系数】
0.7