【分析】
解题时先回忆核心性质：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②三角形两边垂直平分线的交点是三角形的外心，到三个顶点距离相等。思路有两种：一是直接利用不同类型三角形外心的位置规律判断：锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点（即落在斜边上），可快速匹配答案；二是通过性质推导，将交点与顶点连线，结合等腰三角形性质和内角和定理计算角的度数，判断三角形类型。
【解析】
我们通过推导验证：
设△ABC中，AB、AC的垂直平分线交点为O，且O在BC边上，连接AO。
∵O在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB，由等边对等角得∠B=∠OAB；
同理，
∵O在AC的垂直平分线上，
∴OA=OC，可得∠C=∠OAC；
根据三角形内角和定理：∠BAC+∠B+∠C=180°，
又
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠B+∠C，
代入得2∠BAC=180°，解得∠BAC=90°，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质 2.等腰三角形的性质 3.三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外心位置和三角形形状的对应关系，既可以通过记忆规律快速解题，也可以通过基础性质逐步推导得出结论，是对基础知识点应用的常规考查。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。第一步，由EF是AB的垂直平分线，可得点E到A、B的距离相等，即AE=BE，将已知条件BE+CE=20cm中的BE替换为AE，即可得到AC的长度；第二步，由AD是BC的垂直平分线，可得点A到B、C的距离相等，即AB=AC，代入AC的长度即可求出AB的长。
【解析】
∵ EF是线段AB的垂直平分线，点E在EF上
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵ BE + CE = 20cm
∴ AE + CE = AC = 20cm
又
∵ AD是线段BC的垂直平分线，点A在AD上
∴ AB = AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴ AB = 20cm
【答案】
20
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是借助性质完成线段的等量代换，将已知线段和转化为与所求线段相关的长度，熟记性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先从已知条件“AC的垂直平分线交AB于点D”入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可推出AD=CD，进而得到∠A=∠ACD；再结合“CD平分∠ACB”的条件，可求出∠ACB的度数；最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠B的度数。
【解析】
1. 因为DE是AC的垂直平分线，点D在DE上，根据线段垂直平分线的性质可得：$ AD=CD $，所以$ ∠ A=∠ ACD=50° $。
2. 因为CD平分$ ∠ ACB $，根据角平分线的定义可得：$ ∠ ACB=2∠ ACD=2×50°=100° $。
3. 在$ △ ABC $中，根据三角形内角和定理：$ ∠ A+∠ B+∠ ACB=180° $，代入已知角度计算：
$ ∠ B=180°-∠ A-∠ ACB=180°-50°-100°=30° $。
【答案】
$ 30° $
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线和角平分线的性质推导角度关系，再结合三角形内角和定理求解，是几何板块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要求AB的长，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AM=CM、BN=CN。观察△CMN的周长为CM+CN+MN，将CM、CN等量替换为AM、BN后，周长即可转化为AB的长度，代入已知数值即可直接求解。
(2) 要求∠ACB的度数，同样利用线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，根据等边对等角可得∠A=∠ACM、∠B=∠BCN。结合三角形内角和为180°，先推导∠A与∠B的和，再利用△ABC的内角和关系，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
(1)
∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，CN=BN。
∵△CMN的周长为18 cm，即$CM+CN+MN=18\ \mathrm{cm}$，
∴等量代换得$AM+BN+MN=18\ \mathrm{cm}$，
即$AB=AM+MN+BN=18\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵DM垂直平分AC，
∴AM=CM，
∴∠A=∠ACM，
同理，EN垂直平分BC，
∴BN=CN，
∴∠B=∠BCN。
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
又
∵$∠ ACB=∠ ACM+∠ MCN+∠ BCN=∠ A+∠ B+52°$，
代入得：$∠ A+∠ B+(∠ A+∠ B+52°)=180°$，
整理得$2(∠ A+∠ B)=180°-52°=128°$，
∴$∠ A+∠ B=64°$，
∴$∠ ACB=180°-(∠ A+∠ B)=180°-64°=116°$。
【答案】
(1) $AB=18\ \mathrm{cm}$；
(2) $∠ ACB=116°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线的基础应用考题，解题的核心是利用垂直平分线的性质完成线段和角的等量转化，将未知量和已知条件建立关联，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明∠ABE=∠CDE，可通过证明两角所在的三角形全等实现。首先观察已知条件：E是AC、BD的垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此可通过连接AE、CE得到两组对应边相等，结合题目给出的AB=CD，即可利用SSS判定△ABE和△CDE全等，进而得到对应角相等。
【解析】
证明：连接AE，CE。
∵AC、BD的垂直平分线相交于点E，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：AE=CE，BE=DE。
在△ABE和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD（已知）\\AE=CE（已证）\\BE=DE（已证）\end{array} $
∴△ABE≌△CDE（SSS），
∴∠ABE=∠CDE（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
∠ABE=∠CDE
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是合理构造辅助线，结合线段垂直平分线的性质得到全等需要的边相等条件，再利用全等三角形的性质得到对应角相等，这类题型要求熟练掌握基础几何定理的应用。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明BF=DF，可通过证明OE是线段BD的垂直平分线，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等推导结论。首先，已知BE=DE，可直接得出点E在BD的垂直平分线上；接下来需要证明点O也在BD的垂直平分线上，即证OB=OD：结合已知的OA=OC、∠A=∠C，再加上对顶角∠AOB=∠COD，可通过ASA判定△AOB≌△COD，从而得到OB=OD，推出点O在BD的垂直平分线上；最后由两点确定一条直线，可知OE垂直平分BD，即可得到BF=DF。
【解析】
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\OA=OC \\∠ AOB=∠ COD\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ COD \ (\mathrm{ASA})$
$\therefore OB=OD$
$\therefore$ 点$O$在线段$BD$的垂直平分线上。
$\because BE=DE$
$\therefore$ 点$E$在线段$BD$的垂直平分线上。
$\therefore OE$垂直平分$BD$
$\therefore BF=DF$
【答案】
$BF=DF$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 线段垂直平分线的判定
3. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题侧重考查几何推理能力，解题时需要先通过三角形全等得到线段相等，再结合线段垂直平分线的判定定理确定垂直平分线，最终利用垂直平分线的性质得到待证结论，逻辑递进清晰，能有效巩固基础几何证明的思路。
【难度系数】
0.6