【分析】
要解决这个问题，首先明确△ABC为等腰三角形的条件是有两边相等，已知△ABC中AB=3、BC=4，因此AC的可能取值为3或4。但AC同时是△ACD的边，需先根据△ACD的边长利用三角形三边关系确定AC的取值范围，再排除不符合范围的取值，即可得到AC的长度。
【解析】
1. 先确定AC的取值范围：
在△ACD中，AD=2，CD=2，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可得：
$|AD - CD| ＜ AC ＜ AD + CD$，即$0 ＜ AC ＜ 4$。
2. 结合△ABC为等腰三角形的条件分析：
△ABC中，AB=3，BC=4，等腰三角形有两边相等，分两种情况讨论：
① 若$AC=AB=3$：3满足$0 ＜ 3 ＜ 4$，且此时△ABC三边为3、4、3，符合三角形三边关系，该情况成立；
② 若$AC=BC=4$：4不满足$AC ＜ 4$，此时A、C、D三点共线，无法构成△ACD，该情况舍去。
综上，AC的长为3。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系
【点评】
本题主要考查等腰三角形的分类讨论，解题时要注意AC同时属于两个三角形，需同时满足两个三角形的三边约束，不能只考虑△ABC的条件而忽略隐含限制，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先利用等腰三角形三线合一的性质，可知AD是BC边上的高，同时AD是△ABC的对称轴，因此△BED和△CED的面积相等，可将分散的两块阴影面积转化为△AFC与△CED的面积和；再结合AD的三等分点条件，计算两个阴影部分的面积相加即可，也可以利用转化后的图形特征简化计算。
【解析】
解：
∵AD是等腰△ABC底边BC上的中线
∴AD⊥BC，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$，且△ABC关于直线AD对称
∴$S_{△ BED}=S_{△ CED}$
∵E、F是AD的三等分点，AD=9cm
∴$AF=FE=ED=\frac{1}{3}AD=3\ \mathrm{cm}$
阴影部分面积=$S_{△ AFC} + S_{△ BED}=S_{△ AFC} + S_{△ CED}$
$S_{△ AFC}=\frac{1}{2}×AF×CD=\frac{1}{2}×3×3=4.5\ \mathrm{cm}^2$
$S_{△ CED}=\frac{1}{2}×ED×CD=\frac{1}{2}×3×3=4.5\ \mathrm{cm}^2$
∴阴影部分总面积=$4.5 + 4.5 = 9\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
9
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形面积计算，轴对称性质
【点评】
本题解题核心是利用等腰三角形的对称性，将分散的阴影面积转化为便于计算的图形面积，体现了转化思想在几何面积计算中的应用，能有效简化计算步骤。
【难度系数】
0.7

【分析】
题目中给出多组相等的边，对应多个等腰三角形，解题时优先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，将不同角的关系用同一个未知数表示，再结合三角形外角性质和内角和定理列方程求解。首先设最小角∠A的度数为x，逐步推导其余各角关于x的表达式，最后利用三角形内角和为180°建立方程即可求出∠A的度数。
【解析】
设∠A = x，
∵ AD = BD，根据等边对等角，可得∠ABD = ∠A = x，
∵ ∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x，
又
∵ BD = BC，根据等边对等角，可得∠C = ∠BDC = 2x，
∵ AB = AC，根据等边对等角，可得∠ABC = ∠C = 2x，
在△ABC中，根据三角形内角和定理，三个内角之和为180°，因此：
∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
代入角度表达式得：x + 2x + 2x = 180°，
解得x = 36°。
【答案】
36°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的经典题型，解题核心是通过设未知数，利用等边对等角实现角度的统一表达，再结合三角形角度相关定理构建方程求解，能很好地考察对等腰三角形性质的理解和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7

【分析】
要证明BD=CE，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且底边共线于BC，我们可以利用等腰三角形“三线合一”的性质求解：过点A作BC的垂线，该垂线同时是两个等腰三角形底边上的中线，可得BG=GC、DG=GE，再对两个等式作减法即可推出BD=CE。
【解析】
过点A作AG⊥BC于G。
∵ AG⊥BC，AB=AC，
∴ BG=GC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合）。
∵ AG⊥DE，AD=AE，
∴ DG=GE（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合）。
∴ BG - DG = GC - GE，
即BD=CE。
【答案】
BD=CE
【知识点】
等腰三角形三线合一；等式的基本性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，作等腰三角形底边上的高是此类问题的常用辅助线，掌握三线合一的性质就能快速推出线段的等量关系，完成证明。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明AF=2CD，首先结合等腰三角形的性质转化结论：已知AB=AC，AD⊥BC，由等腰三角形三线合一可得BC=2CD，因此只需证明AF=BC即可。要证AF=BC，可通过证明△AEF和△CEB全等实现：由AD⊥BC、CE⊥AB，可知∠EAF和∠ECB都是∠B的余角，根据同角的余角相等可得∠EAF=∠ECB，再结合已知AE=CE、∠AEF=∠CEB=90°，即可用ASA判定两三角形全等，得到AF=BC，最后等量代换即可得到待证结论。
【解析】
∵ AD⊥BC，
∴ ∠B+∠BAD=90°。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠B+∠BCE=90°，
∴ ∠EAF=∠ECB。
在△AEF 和△CEB 中：
$\begin{cases}∠AEF=∠CEB \\AE=CE \\∠EAF=∠ECB\end{cases}$
∴ △AEF≌△CEB（ASA），
∴ AF=BC。
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ CD=BD，即BC=2CD，
∴ AF=2CD。
【答案】
AF=2CD
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的基础题型，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质将线段倍分问题转化为线段相等问题，再通过全等三角形完成等量推导，能够锻炼几何逻辑转化能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 首先利用等腰直角三角形的性质求出底角∠B、∠ACB的度数；再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理分别求出∠BAD、∠CAE的度数；最后通过角的和差关系计算∠DAE的度数。
(2) 去掉AB=AC的条件后，∠BAC仍为90°，因此∠B+∠ACB=90°，将∠DAE用含∠B和∠ACB的式子表示，化简后判断结果是否为定值，即可确定∠DAE的度数是否改变。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，
$\because ∠ BAC=90°,AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
$\because BD=BA$，$△ ABD$为等腰三角形，
$\therefore ∠ BAD=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$。
$\because CE=CA$，$△ ACE$为等腰三角形，$∠ ACB$是$△ ACE$的外角，
$\therefore ∠ ACB=∠ CAE+∠ E=2∠ CAE$，即$∠ CAE=\frac{∠ ACB}{2}=\frac{45°}{2}=22.5°$。
$\therefore ∠ DAE=∠ BAC-∠ BAD+∠ CAE=90°-67.5°+22.5°=45°$。
(2) $∠ DAE$的度数不会改变，推导如下：
在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，因此$∠ B+∠ ACB=90°$。
$\because BD=BA$，$\therefore ∠ BAD=\frac{180°-∠ B}{2}$，
$\therefore ∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=90°-\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{∠ B}{2}$。
$\because CE=CA$，$\therefore ∠ CAE=∠ E=\frac{∠ ACB}{2}$，
$\therefore ∠ DAE=∠ DAC+∠ CAE=\frac{∠ B}{2}+\frac{∠ ACB}{2}=\frac{1}{2}(∠ B+∠ ACB)=\frac{1}{2}×90°=45°$。
因此去掉“AB=AC”的条件后，$∠ DAE$的度数仍为$45°$，不会改变。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $\boldsymbol{不变}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型题型，既考查基础的几何角度计算能力，也考查通过代数推导验证几何定值的逻辑思维能力，能有效锻炼学生的运算能力和几何直观素养。
【难度系数】
0.7