7. 如图,在△ABC中$,AB= AC= 12,\angle BAC= 120^\circ,AD$是△ABC的中线,AE是$\angle BAD$的平分线,DF// AB交AE的延长线于点F,则DF的长是( )
A.2
B.3
C.5
D.6
]
A.2
B.3
C.5
D.6
]
答案：7. D 解析：$\because$在$\triangle ABC$中，$AB=AC=12$，$\angle BAC=120^{\circ }$，$\therefore \angle B=$$\angle C=30^{\circ }$.又$\because AD$是$\triangle ABC$的中线，$\therefore AD\perp BC$，$\therefore AD=$$\frac {1}{2}AC=6$.$\because AE$是$\angle BAD$的平分线，$\therefore \angle BAF=\angle DAF$.$\because DF// AB$，$\therefore \angle BAF=\angle F$，$\therefore \angle DAF=\angle F$，$\therefore DF=AD=6$.故选 D.
解析：
【分析】
解题时首先从已知条件AB=AC判定△ABC是等腰三角形，结合AD是中线，优先想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，同时可算出底角∠C=30°；再利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出AD的长度；接下来结合角平分线的性质和平行线的内错角相等，进行角的等量代换，得到∠DAF=∠F，最后利用等角对等边即可求出DF的长度。
【解析】
∵在△ABC中，AB=AC=12，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°，
∵AD是△ABC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠DAF，
∵DF//AB，
∴∠BAF=∠F（两直线平行，内错角相等），
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD=6。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将多个基础几何性质结合考查，解题的关键是熟练掌握各性质并灵活运用，通过角的等量代换转化边的关系是常见的几何解题思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件AB=AC判定△ABC是等腰三角形，结合AD是中线，优先想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，同时可算出底角∠C=30°；再利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出AD的长度；接下来结合角平分线的性质和平行线的内错角相等，进行角的等量代换，得到∠DAF=∠F，最后利用等角对等边即可求出DF的长度。
【解析】
∵在△ABC中，AB=AC=12，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°，
∵AD是△ABC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠DAF，
∵DF//AB，
∴∠BAF=∠F（两直线平行，内错角相等），
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD=6。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将多个基础几何性质结合考查，解题的关键是熟练掌握各性质并灵活运用，通过角的等量代换转化边的关系是常见的几何解题思路。
【难度系数】
0.7
8. 如图,点D,E分别在等边三角形ABC的边AB,BC上,将△BDE沿直线DE翻折,使点B落在$B_1处,DB_1,EB_1$分别交边AC于点F,G. 若$\angle ADF= 80^\circ,则\angle CEG= ______.$
]
]
答案：8. $40^{\circ }$ 解析：由翻折可得$\angle BDE=\angle EDF$，$\angle BED=\angle DEG$.$\because \angle ADF=80^{\circ }$，$\angle BDE=\angle EDF=50^{\circ }$.$\because \angle B=60^{\circ }$，$\therefore \angle BED=180^{\circ }-\angle BDE-\angle B=180^{\circ }-50^{\circ }-60^{\circ }=70^{\circ }$，$\therefore \angle CEG=70^{\circ }$.$\because \angle C=180^{\circ }-70^{\circ }-70^{\circ }=40^{\circ }$.
解析：
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，其次等边三角形的每个内角都是60°。我们可以从已知的∠ADF=80°入手，先利用平角的定义求出∠BDB₁的度数，结合折叠性质得到∠BDE的度数；再在△BDE中利用三角形内角和定理求出∠BED的度数，再根据折叠性质得到∠B₁ED的度数，最后利用BC边上的平角关系，即可求出∠CEG的度数。
【解析】
∵将△BDE沿直线DE翻折得到△B₁DE，
∴∠BDE=∠B₁DE，∠BED=∠B₁ED。
∵∠ADF=80°，且∠ADF+∠BDE+∠B₁DE=180°（平角的定义），
∴∠BDE+∠B₁DE=180°-80°=100°，
∴∠BDE=∠B₁DE=50°。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°。
在△BDE中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BED=180°-∠B-∠BDE=180°-60°-50°=70°，
∴∠B₁ED=∠BED=70°。
又
∵∠BED+∠B₁ED+∠CEG=180°（平角的定义），
∴∠CEG=180°-70°-70°=40°。
【答案】
$40^{\circ }$
【知识点】
等边三角形的性质；折叠的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的常见题型，将折叠变换与等边三角形的性质相结合，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角、三角形内角和的相关定理逐步推导，能够锻炼学生对几何中角度关系的分析和推导能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，其次等边三角形的每个内角都是60°。我们可以从已知的∠ADF=80°入手，先利用平角的定义求出∠BDB₁的度数，结合折叠性质得到∠BDE的度数；再在△BDE中利用三角形内角和定理求出∠BED的度数，再根据折叠性质得到∠B₁ED的度数，最后利用BC边上的平角关系，即可求出∠CEG的度数。
【解析】
∵将△BDE沿直线DE翻折得到△B₁DE，
∴∠BDE=∠B₁DE，∠BED=∠B₁ED。
∵∠ADF=80°，且∠ADF+∠BDE+∠B₁DE=180°（平角的定义），
∴∠BDE+∠B₁DE=180°-80°=100°，
∴∠BDE=∠B₁DE=50°。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°。
在△BDE中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BED=180°-∠B-∠BDE=180°-60°-50°=70°，
∴∠B₁ED=∠BED=70°。
又
∵∠BED+∠B₁ED+∠CEG=180°（平角的定义），
∴∠CEG=180°-70°-70°=40°。
【答案】
$40^{\circ }$
【知识点】
等边三角形的性质；折叠的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的常见题型，将折叠变换与等边三角形的性质相结合，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角、三角形内角和的相关定理逐步推导，能够锻炼学生对几何中角度关系的分析和推导能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,等边三角形ABC的边长为12,D是AC边上一点,AD= 4,DE// AB交BC于点E,连接AE,F是BC上的一点,AF= AE,则EF的长为______.
]
]
答案：9. 4 解析：$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore AB=AC=BC=12$，$\angle BAC=\angle B=\angle C=60^{\circ }$.$\because AD=4$，$\therefore CD=AC-AD=12-4=8$.$\because DE// AB$，$\therefore \angle EDC=\angle BAC=60^{\circ }$，$\angle DEC=\angle B=60^{\circ }$，$\therefore \angle DEC=\angle EDC=\angle C=60^{\circ }$，$\therefore CE=CD=8$，$\therefore BE=4$.过点 A 作$AG\perp BC$于点 G，则$BG=CG=\frac {1}{2}BC=6$.$\because AE=AF$，$\therefore EG=FG=\frac {1}{2}EF$.$\because EG=BG-BE=6-4=2$，$\therefore EF=2EG=4$.
解析：
【分析】
解题时先梳理已知条件：等边△ABC边长为12，AD=4，DE//AB，AE=AF，求EF长度。首先利用等边三角形的性质和平行线的性质，判断△DEC的形状，求出CE、BE的长度；再由AE=AF可知△AEF是等腰三角形，可作等腰三角形底边上的高，借助等腰三角形三线合一的性质得到EF和EG的数量关系，最后结合等边三角形三线合一求出BG的长度，算出EG即可得到EF的长。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC=BC=12，∠BAC=∠B=∠C=60°。
∵ AD=4，
∴ CD=AC-AD=12-4=8。
∵ DE//AB，
∴ ∠EDC=∠BAC=60°，∠DEC=∠B=60°，
∴ ∠DEC=∠EDC=∠C=60°，即△DEC是等边三角形，
∴ CE=CD=8，
∴ BE=BC-CE=12-8=4。
过点A作AG⊥BC于点G，
∵ △ABC是等边三角形，AG⊥BC，
∴ BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=6。
又
∵ AE=AF，AG⊥BC，即AG是等腰△AEF底边上的高，
∴ EG=FG=$\frac{1}{2}$EF。
∵ EG=BG-BE=6-4=2，
∴ EF=2EG=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查了特殊三角形和平行线的相关性质，解题关键是合理作出辅助线，灵活运用三线合一的性质转化线段关系，能够很好地检验对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：等边△ABC边长为12，AD=4，DE//AB，AE=AF，求EF长度。首先利用等边三角形的性质和平行线的性质，判断△DEC的形状，求出CE、BE的长度；再由AE=AF可知△AEF是等腰三角形，可作等腰三角形底边上的高，借助等腰三角形三线合一的性质得到EF和EG的数量关系，最后结合等边三角形三线合一求出BG的长度，算出EG即可得到EF的长。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC=BC=12，∠BAC=∠B=∠C=60°。
∵ AD=4，
∴ CD=AC-AD=12-4=8。
∵ DE//AB，
∴ ∠EDC=∠BAC=60°，∠DEC=∠B=60°，
∴ ∠DEC=∠EDC=∠C=60°，即△DEC是等边三角形，
∴ CE=CD=8，
∴ BE=BC-CE=12-8=4。
过点A作AG⊥BC于点G，
∵ △ABC是等边三角形，AG⊥BC，
∴ BG=CG=$\frac{1}{2}$BC=6。
又
∵ AE=AF，AG⊥BC，即AG是等腰△AEF底边上的高，
∴ EG=FG=$\frac{1}{2}$EF。
∵ EG=BG-BE=6-4=2，
∴ EF=2EG=2×2=4。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查了特殊三角形和平行线的相关性质，解题关键是合理作出辅助线，灵活运用三线合一的性质转化线段关系，能够很好地检验对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在等边三角形ABC的BC,AC边上各取一点P,Q,使BP= CQ,AP,BQ相交于点O. 求$\angle BOP$的度数.
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]
答案：【解析】：本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质。
首先，由于$\bigtriangleup ABC$是等边三角形，
根据等边三角形的性质，有$AB=BC$，$\angle ABC=\angle C=60^\circ$，
因为$BP=CQ$，
在$\bigtriangleup ABP$和$\bigtriangleup BCQ$中，
$\left\{\begin{matrix}AB=BC,\\\angle ABC=\angle C,\\BP=CQ.\end{matrix}\right.$
根据全等三角形的判定定理（SAS），可得$\bigtriangleup ABP\cong\bigtriangleup BCQ$，
根据全等三角形的性质，有$\angle BAP=\angle CBQ$，
因为$\angle BOP$是$\bigtriangleup AOB$的外角，
根据三角形外角等于不相邻两内角之和，有$\angle BOP=\angle BAP+\angle ABQ$，
所以$\angle BOP=\angle CBQ+\angle ABQ=\angle ABC=60^\circ$。
【答案】：$\angle BOP=60^\circ$。
首先，由于$\bigtriangleup ABC$是等边三角形，
根据等边三角形的性质，有$AB=BC$，$\angle ABC=\angle C=60^\circ$，
因为$BP=CQ$，
在$\bigtriangleup ABP$和$\bigtriangleup BCQ$中，
$\left\{\begin{matrix}AB=BC,\\\angle ABC=\angle C,\\BP=CQ.\end{matrix}\right.$
根据全等三角形的判定定理（SAS），可得$\bigtriangleup ABP\cong\bigtriangleup BCQ$，
根据全等三角形的性质，有$\angle BAP=\angle CBQ$，
因为$\angle BOP$是$\bigtriangleup AOB$的外角，
根据三角形外角等于不相邻两内角之和，有$\angle BOP=\angle BAP+\angle ABQ$，
所以$\angle BOP=\angle CBQ+\angle ABQ=\angle ABC=60^\circ$。
【答案】：$\angle BOP=60^\circ$。
解析：
【分析】
要求∠BOP的度数，可尝试将其与等边三角形的已知内角建立联系：①首先回忆等边三角形的性质，可得边相等、内角均为60°，结合已知BP=CQ，可发现△ABP和△BCQ满足SAS全等的判定条件，先证明两三角形全等；②全等后可得对应角相等，再利用三角形外角的性质，将∠BOP转化为等边三角形的内角即可求出度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABP和△BCQ中：
$\{\begin{matrix}AB=BC\\∠ABP=∠C\\BP=CQ\end{matrix} $
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠BAP=∠CBQ，
∵∠BOP是△AOB的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BOP=∠BAP+∠ABQ，
将∠BAP替换为∠CBQ，可得：
∠BOP=∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=60°。
【答案】
$∠ BOP=60°$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形角度计算的典型基础题，解题关键是利用已知条件构造全等三角形完成角度的等量转化，再结合外角性质求解，需要熟练掌握全等三角形的判定及几何图形中角度转化的技巧。
【难度系数】
0.7
要求∠BOP的度数，可尝试将其与等边三角形的已知内角建立联系：①首先回忆等边三角形的性质，可得边相等、内角均为60°，结合已知BP=CQ，可发现△ABP和△BCQ满足SAS全等的判定条件，先证明两三角形全等；②全等后可得对应角相等，再利用三角形外角的性质，将∠BOP转化为等边三角形的内角即可求出度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABP和△BCQ中：
$\{\begin{matrix}AB=BC\\∠ABP=∠C\\BP=CQ\end{matrix} $
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠BAP=∠CBQ，
∵∠BOP是△AOB的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BOP=∠BAP+∠ABQ，
将∠BAP替换为∠CBQ，可得：
∠BOP=∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=60°。
【答案】
$∠ BOP=60°$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形角度计算的典型基础题，解题关键是利用已知条件构造全等三角形完成角度的等量转化，再结合外角性质求解，需要熟练掌握全等三角形的判定及几何图形中角度转化的技巧。
【难度系数】
0.7
11. 〔几何直观·推理能力〕如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ. 求证$:(1)AD= BE;(2)△APC\cong△BQC;(3)△PCQ$是等边三角形.
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答案：11. （1）$\because \triangle ABC$和$\triangle CDE$都是等边三角形，$\therefore AC=BC$，$CD=CE$，$\angle ACB=\angle DCE=60^{\circ }$.$\because \angle ACD=\angle ACB+$$\angle BCD$，$\angle BCE=\angle DCE+\angle BCD$，$\therefore \angle ACD=\angle BCE$.在$\triangle ADC$和$\triangle BEC$中，$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ \angle ACD=\angle BCE,\\ CD=CE,\end{array}\right. $$\therefore \triangle ADC\cong \triangle BEC(SAS)$，$\therefore AD=BE$.（2）$\because \triangle ADC\cong \triangle BEC$，$\therefore \angle CAP=\angle CBQ$.$\because \angle ACP=$$\angle DCE=60^{\circ }$，$\therefore \angle BCQ=60^{\circ }$，$\therefore \angle ACP=\angle BCQ$.在$\triangle APC$和$\triangle BQC$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle CAP=\angle CBQ,\\ AC=BC,\\ \angle ACP=\angle BCQ,\end{array}\right. $$\therefore \triangle APC\cong \triangle BQC(ASA)$.（3）$\because \triangle APC\cong \triangle BQC$，$\therefore CP=CQ$.又$\because \angle PCQ=60^{\circ }$，$\therefore \triangle PCQ$是等边三角形.
解析：
【分析】
本题是等边三角形与全等三角形结合的证明题，可逐层推导结论：
(1) 要证AD=BE，只需证两条线段所在的△ADC和△BEC全等，结合等边三角形边相等、内角为60°的性质，可得到两组对应边相等，再推导得到两边的夹角相等，即可用SAS判定全等；
(2) 要证△APC≌△BQC，可利用(1)中全等得到的对应角相等，结合等边三角形的60°内角得到一组对应角相等，再加上等边三角形的边AC=BC，用ASA即可判定全等；
(3) 要证△PCQ是等边三角形，由(2)的全等可得到CP=CQ，再结合∠PCQ=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴$AC=BC$，$CD=CE$，$∠ACB=∠DCE=60^{\circ }$，
∵$∠ACD=∠ACB+∠BCD$，$∠BCE=∠DCE+∠BCD$，
∴$∠ACD=∠BCE$，
在$△ADC$和$△BEC$中，
$\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array} $
∴$△ADC≌△BEC(SAS)$，
∴$AD=BE$。
(2) 证明：
∵$△ADC≌△BEC$，
∴$∠CAP=∠CBQ$，
∵$∠ACB=∠DCE=60^{\circ }$，
∴$∠BCQ=180^{\circ }-∠ACB-∠DCE=60^{\circ }$，即$∠ACP=∠BCQ$，
在$△APC$和$△BQC$中，
$\{\begin{array}{l} ∠CAP=∠CBQ,\\ AC=BC,\\ ∠ACP=∠BCQ,\end{array} $
∴$△APC≌△BQC(ASA)$。
(3) 证明：
∵$△APC≌△BQC$，
∴$CP=CQ$，
又
∵$∠PCQ=60^{\circ }$，
∴$△PCQ$是等边三角形。
【答案】
(1) $AD=BE$得证；(2) $△APC≌△BQC$得证；(3) $△PCQ$是等边三角形得证。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等与等边三角形综合的经典题型，解题过程逐层递进，前一问的结论可作为后一问的条件，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和等边三角形的性质，能有效锻炼逻辑推理能力和几何直观能力。
【难度系数】
0.7
本题是等边三角形与全等三角形结合的证明题，可逐层推导结论：
(1) 要证AD=BE，只需证两条线段所在的△ADC和△BEC全等，结合等边三角形边相等、内角为60°的性质，可得到两组对应边相等，再推导得到两边的夹角相等，即可用SAS判定全等；
(2) 要证△APC≌△BQC，可利用(1)中全等得到的对应角相等，结合等边三角形的60°内角得到一组对应角相等，再加上等边三角形的边AC=BC，用ASA即可判定全等；
(3) 要证△PCQ是等边三角形，由(2)的全等可得到CP=CQ，再结合∠PCQ=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴$AC=BC$，$CD=CE$，$∠ACB=∠DCE=60^{\circ }$，
∵$∠ACD=∠ACB+∠BCD$，$∠BCE=∠DCE+∠BCD$，
∴$∠ACD=∠BCE$，
在$△ADC$和$△BEC$中，
$\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE,\end{array} $
∴$△ADC≌△BEC(SAS)$，
∴$AD=BE$。
(2) 证明：
∵$△ADC≌△BEC$，
∴$∠CAP=∠CBQ$，
∵$∠ACB=∠DCE=60^{\circ }$，
∴$∠BCQ=180^{\circ }-∠ACB-∠DCE=60^{\circ }$，即$∠ACP=∠BCQ$，
在$△APC$和$△BQC$中，
$\{\begin{array}{l} ∠CAP=∠CBQ,\\ AC=BC,\\ ∠ACP=∠BCQ,\end{array} $
∴$△APC≌△BQC(ASA)$。
(3) 证明：
∵$△APC≌△BQC$，
∴$CP=CQ$，
又
∵$∠PCQ=60^{\circ }$，
∴$△PCQ$是等边三角形。
【答案】
(1) $AD=BE$得证；(2) $△APC≌△BQC$得证；(3) $△PCQ$是等边三角形得证。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等与等边三角形综合的经典题型，解题过程逐层递进，前一问的结论可作为后一问的条件，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和等边三角形的性质，能有效锻炼逻辑推理能力和几何直观能力。
【难度系数】
0.7