7. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,∠ABC= 60°,BD平分∠ABC,P是BD的中点.若AD= 7,则CP的长为( )
A.3
B.3.5
C.4
D.4.5
A.3
B.3.5
C.4
D.4.5
答案：B
解析：
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先根据三角形内角和求出∠A的度数；②结合角平分线的定义得出∠ABD的度数，通过等角对等边得到BD与AD的长度相等；③最后在Rt△BCD中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出CP的长度。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠ABD=∠A，
∴BD=AD=7，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，P为BD的中点，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴CP=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×7=3.5。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何题，将角的计算、等腰三角形判定和直角三角形的特殊性质结合考查，解题的突破口是通过角度推导得到BD与AD的等量关系，再结合直角三角形的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①先根据三角形内角和求出∠A的度数；②结合角平分线的定义得出∠ABD的度数，通过等角对等边得到BD与AD的长度相等；③最后在Rt△BCD中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出CP的长度。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠ABD=∠A，
∴BD=AD=7，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，P为BD的中点，
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴CP=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×7=3.5。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何题，将角的计算、等腰三角形判定和直角三角形的特殊性质结合考查，解题的突破口是通过角度推导得到BD与AD的等量关系，再结合直角三角形的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D为AB的中点,点E在BC上,且CE= AC,∠BAE= 15°,则∠CDE的大小为______.
答案：75°
解析：
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先由CE=AC、∠ACB=90°，判断△ACE是等腰直角三角形，求出∠CAE的度数，结合∠BAE=15°算出∠CAB的度数，进而得到∠B的度数；②利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得CD=AD=BD=AC，推导出△ACD为等边三角形，求出∠DCE的度数；③结合CE=AC得CE=CD，△CDE为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠CDE的度数。
【解析】
1.
∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=∠CEA=45°。
2.
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=∠CAE + ∠BAE = 45° + 15° = 60°。
3. 在Rt△ABC中，∠B=90° - ∠CAB = 90° - 60° = 30°，
∴$AC=\frac{1}{2}AB$。
4.
∵D为AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
∴AC=CD=AD，即△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°。
5.
∴∠DCE=∠ACB - ∠ACD = 90° - 60° = 30°。
6. 又
∵CE=AC，AC=CD，
∴CE=CD，△CDE为等腰三角形，
∴$∠ CDE=(180° - ∠ DCE)÷2=(180° - 30°)÷2=75°$。
【答案】
75°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，等边三角形判定与性质
【点评】
本题将直角三角形、等腰三角形、等边三角形的性质结合考查，解题的关键是通过线段相等的关系推导特殊三角形，再结合角度运算求解，需注意各个性质的适用条件。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：①先由CE=AC、∠ACB=90°，判断△ACE是等腰直角三角形，求出∠CAE的度数，结合∠BAE=15°算出∠CAB的度数，进而得到∠B的度数；②利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得CD=AD=BD=AC，推导出△ACD为等边三角形，求出∠DCE的度数；③结合CE=AC得CE=CD，△CDE为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠CDE的度数。
【解析】
1.
∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=∠CEA=45°。
2.
∵∠BAE=15°，
∴∠CAB=∠CAE + ∠BAE = 45° + 15° = 60°。
3. 在Rt△ABC中，∠B=90° - ∠CAB = 90° - 60° = 30°，
∴$AC=\frac{1}{2}AB$。
4.
∵D为AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
∴AC=CD=AD，即△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°。
5.
∴∠DCE=∠ACB - ∠ACD = 90° - 60° = 30°。
6. 又
∵CE=AC，AC=CD，
∴CE=CD，△CDE为等腰三角形，
∴$∠ CDE=(180° - ∠ DCE)÷2=(180° - 30°)÷2=75°$。
【答案】
75°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形性质，等边三角形判定与性质
【点评】
本题将直角三角形、等腰三角形、等边三角形的性质结合考查，解题的关键是通过线段相等的关系推导特殊三角形，再结合角度运算求解，需注意各个性质的适用条件。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M为BC的中点,EF= 5,BC= 8,则△EFM的周长是______.
答案：13
解析：
【分析】
解题时先从已知条件入手：题目给出CF⊥AB、BE⊥AC，说明△BFC和△BEC均为直角三角形，又已知M为BC的中点，此时可联想到直角三角形斜边中线的性质，即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用该性质可分别求出FM、EM的长度，最后结合已知的EF长度，将三条边相加即可得到△EFM的周长。
【解析】
解：
∵CF⊥AB，
∴∠BFC=90°，即△BFC是直角三角形，
又
∵M为BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得：
$FM=\frac{1}{2}BC$，
同理，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，即△BEC是直角三角形，
∴$EM=\frac{1}{2}BC$，
已知BC=8，
∴$FM=EM=\frac{1}{2}×8=4$，
又已知EF=5，
∴△EFM的周长为$FM+EM+EF=4+4+5=13$。
【答案】
13
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查直角三角形斜边中线性质的应用，解题的核心是结合垂直和中点条件，快速定位到直角三角形的斜边中线，从而求出未知线段的长度，解题思路直接，属于对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：题目给出CF⊥AB、BE⊥AC，说明△BFC和△BEC均为直角三角形，又已知M为BC的中点，此时可联想到直角三角形斜边中线的性质，即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用该性质可分别求出FM、EM的长度，最后结合已知的EF长度，将三条边相加即可得到△EFM的周长。
【解析】
解：
∵CF⊥AB，
∴∠BFC=90°，即△BFC是直角三角形，
又
∵M为BC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得：
$FM=\frac{1}{2}BC$，
同理，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，即△BEC是直角三角形，
∴$EM=\frac{1}{2}BC$，
已知BC=8，
∴$FM=EM=\frac{1}{2}×8=4$，
又已知EF=5，
∴△EFM的周长为$FM+EM+EF=4+4+5=13$。
【答案】
13
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查直角三角形斜边中线性质的应用，解题的核心是结合垂直和中点条件，快速定位到直角三角形的斜边中线，从而求出未知线段的长度，解题思路直接，属于对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,DG⊥CE于点G,且CD= AE.求证:CG= EG.
答案：连接DE,
∵ AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,
∴ ∠ADB=90°,点E是AB的中点,
∴ DE=$\frac{1}{2}$AB=AE.
∵ CD=AE,
∴ DE=DC.又DG⊥CE,
∴ CG=EG.
∵ AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,
∴ ∠ADB=90°,点E是AB的中点,
∴ DE=$\frac{1}{2}$AB=AE.
∵ CD=AE,
∴ DE=DC.又DG⊥CE,
∴ CG=EG.
解析：
【分析】
要证明CG=EG，已知DG⊥CE，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明DE=DC即可。结合已知条件CD=AE，因此只需推导出DE=AE。观察图形，AD是BC边上的高线，可得△ABD是直角三角形，CE是AB边上的中线，即E是Rt△ABD斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得DE=AE，由此即可完成证明，解题时先连接辅助线DE即可逐步推导。
【解析】
证明：连接DE，
∵ AD是BC边上的高线，
∴ ∠ADB=90°，
∵ CE是AB边上的中线，
∴ 点E是AB的中点，DE为Rt△ABD斜边AB的中线，
∴ DE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
又
∵ CD=AE，
∴ 等量代换可得DE=DC，即△DEC为等腰三角形，
∵ DG⊥CE，根据等腰三角形三线合一的性质，DG为CE边上的中线，
∴ CG=EG。
【答案】
连接DE,
∵ AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,
∴ ∠ADB=90°,点E是AB的中点,
∴ DE=$\frac{1}{2}$AB=AE.
∵ CD=AE,
∴ DE=DC.又DG⊥CE,
∴ CG=EG.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，线段等量代换
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是合理连接辅助线DE，通过直角三角形斜边中线的性质搭建已知条件和待证结论之间的线段等量关系，再结合等腰三角形三线合一的性质即可求证，需熟练掌握相关性质的适用场景。
【难度系数】
0.7
要证明CG=EG，已知DG⊥CE，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明DE=DC即可。结合已知条件CD=AE，因此只需推导出DE=AE。观察图形，AD是BC边上的高线，可得△ABD是直角三角形，CE是AB边上的中线，即E是Rt△ABD斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得DE=AE，由此即可完成证明，解题时先连接辅助线DE即可逐步推导。
【解析】
证明：连接DE，
∵ AD是BC边上的高线，
∴ ∠ADB=90°，
∵ CE是AB边上的中线，
∴ 点E是AB的中点，DE为Rt△ABD斜边AB的中线，
∴ DE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
又
∵ CD=AE，
∴ 等量代换可得DE=DC，即△DEC为等腰三角形，
∵ DG⊥CE，根据等腰三角形三线合一的性质，DG为CE边上的中线，
∴ CG=EG。
【答案】
连接DE,
∵ AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,
∴ ∠ADB=90°,点E是AB的中点,
∴ DE=$\frac{1}{2}$AB=AE.
∵ CD=AE,
∴ DE=DC.又DG⊥CE,
∴ CG=EG.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，线段等量代换
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是合理连接辅助线DE，通过直角三角形斜边中线的性质搭建已知条件和待证结论之间的线段等量关系，再结合等腰三角形三线合一的性质即可求证，需熟练掌握相关性质的适用场景。
【难度系数】
0.7
11. (几何直观·推理能力)在△ABC中,∠ABC= 90°,点E在直线AB上,ED与直线AC垂直,垂足为D,且点M为EC的中点,连接BM,DM.
(1)如图①,若点E在线段AB上,探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系,并直接写出你得到的结论.
(2)如图②,若点E在BA的延长线上,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(1)如图①,若点E在线段AB上,探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系,并直接写出你得到的结论.
(2)如图②,若点E在BA的延长线上,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
答案：
(1)BM=DM,∠BMD=2∠BCD.
(2)在
(1)中得到的结论不发生变化,即 BM=DM,∠BMD=2∠BCD. 证明:
∵ 点M是Rt△BEC的斜边EC的中点,
∴ BM=$\frac{1}{2}$EC=MC,
∴ ∠CBM=∠BCM.又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点,
∴ DM=$\frac{1}{2}$EC=MC,
∴ BM=DM,∠DCM=∠CDM,
∴ ∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM=2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD,即∠BMD=2∠BCD.
(1)BM=DM,∠BMD=2∠BCD.
(2)在
(1)中得到的结论不发生变化,即 BM=DM,∠BMD=2∠BCD. 证明:
∵ 点M是Rt△BEC的斜边EC的中点,
∴ BM=$\frac{1}{2}$EC=MC,
∴ ∠CBM=∠BCM.又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点,
∴ DM=$\frac{1}{2}$EC=MC,
∴ BM=DM,∠DCM=∠CDM,
∴ ∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM=2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD,即∠BMD=2∠BCD.
解析：
【分析】
（1）解决本题首先观察图形特征：△EBC和△EDC均为直角三角形，M是两个三角形公共斜边EC的中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可直接推出BM和DM均等于$\frac{1}{2}$EC，因此BM=DM。再推导角度关系：利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可得$∠ EMB=2∠ BCM$，$∠ EMD=2∠ DCM$，两个角度作差即可得到$∠ BMD$和$∠ BCD$的数量关系。
（2）点E位置变化后，△EBC和△EDC仍然是直角三角形，M依旧是EC中点，因此BM=DM的推导逻辑不变；角度推导同样沿用外角性质，通过$∠ EMB$与$∠ EMD$的差即可得到$∠ BMD=2∠ BCD$，结论不变。
【解析】
（1）由直角三角形斜边中线性质直接得结论：$BM=DM$，$∠ BMD=2∠ BCD$。
（2）猜想：（1）中得到的结论不发生变化，即$BM=DM$，$∠ BMD=2∠ BCD$。
证明：
∵ 点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴ $BM=\frac{1}{2}EC=MC$，
∴ $∠ CBM=∠ BCM$。
又
∵ 点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴ $DM=\frac{1}{2}EC=MC$，
∴ $BM=DM$，$∠ DCM=∠ CDM$。
根据三角形外角性质可得：$∠ EMB=∠ CBM+∠ BCM=2∠ BCM$，$∠ EMD=∠ DCM+∠ CDM=2∠ DCM$，
∴ $∠ BMD=∠ EMB-∠ EMD=2∠ BCM-2∠ DCM=2(∠ BCM-∠ DCM)=2∠ BCD$，即$∠ BMD=2∠ BCD$。
【答案】
(1) $BM=DM$，$∠ BMD=2∠ BCD$
(2) （1）中的结论不发生变化，即$BM=DM$，$∠ BMD=2∠ BCD$
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形性质
3. 三角形外角性质
【点评】
本题属于几何动态探究类题目，核心考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是抓住“M是直角三角形公共斜边中点”这一不变条件，图形位置变化时推导逻辑保持一致，能够很好地锻炼几何直观观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）解决本题首先观察图形特征：△EBC和△EDC均为直角三角形，M是两个三角形公共斜边EC的中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可直接推出BM和DM均等于$\frac{1}{2}$EC，因此BM=DM。再推导角度关系：利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可得$∠ EMB=2∠ BCM$，$∠ EMD=2∠ DCM$，两个角度作差即可得到$∠ BMD$和$∠ BCD$的数量关系。
（2）点E位置变化后，△EBC和△EDC仍然是直角三角形，M依旧是EC中点，因此BM=DM的推导逻辑不变；角度推导同样沿用外角性质，通过$∠ EMB$与$∠ EMD$的差即可得到$∠ BMD=2∠ BCD$，结论不变。
【解析】
（1）由直角三角形斜边中线性质直接得结论：$BM=DM$，$∠ BMD=2∠ BCD$。
（2）猜想：（1）中得到的结论不发生变化，即$BM=DM$，$∠ BMD=2∠ BCD$。
证明：
∵ 点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴ $BM=\frac{1}{2}EC=MC$，
∴ $∠ CBM=∠ BCM$。
又
∵ 点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴ $DM=\frac{1}{2}EC=MC$，
∴ $BM=DM$，$∠ DCM=∠ CDM$。
根据三角形外角性质可得：$∠ EMB=∠ CBM+∠ BCM=2∠ BCM$，$∠ EMD=∠ DCM+∠ CDM=2∠ DCM$，
∴ $∠ BMD=∠ EMB-∠ EMD=2∠ BCM-2∠ DCM=2(∠ BCM-∠ DCM)=2∠ BCD$，即$∠ BMD=2∠ BCD$。
【答案】
(1) $BM=DM$，$∠ BMD=2∠ BCD$
(2) （1）中的结论不发生变化，即$BM=DM$，$∠ BMD=2∠ BCD$
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形性质
3. 三角形外角性质
【点评】
本题属于几何动态探究类题目，核心考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是抓住“M是直角三角形公共斜边中点”这一不变条件，图形位置变化时推导逻辑保持一致，能够很好地锻炼几何直观观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6