1. 如图,已知等腰三角形ABC中,AB= AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.AE= EC
B.AE= BE
C.∠EBC= ∠BAC
D.∠EBC= ∠ABE
]
A.AE= EC
B.AE= BE
C.∠EBC= ∠BAC
D.∠EBC= ∠ABE
]
答案：C
解析：
【分析】
解题思路：首先从已知条件和作图信息中提取等腰三角形：①已知AB=AC，可得△ABC为等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB；②由以B为圆心BC为半径画弧得BE=BC，可得△BEC为等腰三角形，底角∠BEC=∠BCE。再结合三角形内角和定理，分别推导∠BAC和∠EBC与∠ACB的数量关系，即可得到两角相等的结论，同时可逐一排除不符合条件的选项。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB（等边对等角）。
由作图可知，BE=BC（同圆的半径相等），
∴ △BEC是等腰三角形，∠BEC=∠BCE（等边对等角）。
根据三角形内角和为180°：
在△ABC中，∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
代入∠ABC=∠ACB，得∠BAC = 180° - 2∠ACB。
在△BEC中，∠EBC + ∠BEC + ∠BCE = 180°，
代入∠BEC=∠BCE=∠ACB，得∠EBC = 180° - 2∠ACB。
∴ ∠EBC = ∠BAC，故C选项正确。
对其他选项分析：
A选项：无已知条件证明E是AC中点，故AE=EC不一定成立；
B选项：仅当∠BAC=∠ABE时AE=BE，题目无此条件，不成立；
D选项：无已知条件证明BE是∠ABC的角平分线，故∠EBC=∠ABE不一定成立。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆的基本性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的关键是结合作图特征找出两组相等的边，利用等边对等角得到角的等量关系，再结合内角和定理推导角的关系即可。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先从已知条件和作图信息中提取等腰三角形：①已知AB=AC，可得△ABC为等腰三角形，底角∠ABC=∠ACB；②由以B为圆心BC为半径画弧得BE=BC，可得△BEC为等腰三角形，底角∠BEC=∠BCE。再结合三角形内角和定理，分别推导∠BAC和∠EBC与∠ACB的数量关系，即可得到两角相等的结论，同时可逐一排除不符合条件的选项。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB（等边对等角）。
由作图可知，BE=BC（同圆的半径相等），
∴ △BEC是等腰三角形，∠BEC=∠BCE（等边对等角）。
根据三角形内角和为180°：
在△ABC中，∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
代入∠ABC=∠ACB，得∠BAC = 180° - 2∠ACB。
在△BEC中，∠EBC + ∠BEC + ∠BCE = 180°，
代入∠BEC=∠BCE=∠ACB，得∠EBC = 180° - 2∠ACB。
∴ ∠EBC = ∠BAC，故C选项正确。
对其他选项分析：
A选项：无已知条件证明E是AC中点，故AE=EC不一定成立；
B选项：仅当∠BAC=∠ABE时AE=BE，题目无此条件，不成立；
D选项：无已知条件证明BE是∠ABC的角平分线，故∠EBC=∠ABE不一定成立。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆的基本性质
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题的关键是结合作图特征找出两组相等的边，利用等边对等角得到角的等量关系，再结合内角和定理推导角的关系即可。
【难度系数】
0.7
2. 如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB= AC,∠CAD= 20°,则∠ACE的度数是( )
A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
]
A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
]
答案：B
解析：
【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD是△ABC的中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD同时是顶角∠BAC的平分线，由此可先求出∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和算出底角∠ACB的度数；最后根据CE是角平分线，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
又
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合角平分线的定义逐步推导角度，做题时注意区分所求角是底角还是底角的一半，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.7
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，AD是△ABC的中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD同时是顶角∠BAC的平分线，由此可先求出∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和算出底角∠ACB的度数；最后根据CE是角平分线，即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAC=2∠CAD=2×20°=40°。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°。
又
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一、等边对等角的性质，结合角平分线的定义逐步推导角度，做题时注意区分所求角是底角还是底角的一半，避免因粗心选错答案。
【难度系数】
0.7
3. 如图,D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点,且AD= BE= CF,则△DEF的形状是( )
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
]
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
]
答案：A
解析：
【分析】
要判断△DEF的形状，首先结合已知等边△ABC的性质，可得三个内角都是60°，三边相等。已知AD=BE=CF，可推导出剩下的对应边BD=CE=AF，进而通过“SAS”证明三个小三角形△ADF、△BED、△CFE两两全等，得到△DEF三边相等，即可判断其形状。
【解析】
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC
又
∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF，即BD=CE=AF
在△ADF和△BED中：
$\{\begin{array}{l}AD=BE\\ ∠ A=∠ B\\ AF=BD\end{array} $
∴△ADF≌△BED（SAS）
∴DF=DE
同理可证△BED≌△CFE，得DE=EF
∴DE=DF=EF
∴△DEF是等边三角形
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形相关的典型基础题，解题关键是利用等边三角形的边角性质推导全等条件，通过证明三角形全等得到目标三角形的边的关系，进而判断其形状。
【难度系数】
0.7
要判断△DEF的形状，首先结合已知等边△ABC的性质，可得三个内角都是60°，三边相等。已知AD=BE=CF，可推导出剩下的对应边BD=CE=AF，进而通过“SAS”证明三个小三角形△ADF、△BED、△CFE两两全等，得到△DEF三边相等，即可判断其形状。
【解析】
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC
又
∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF，即BD=CE=AF
在△ADF和△BED中：
$\{\begin{array}{l}AD=BE\\ ∠ A=∠ B\\ AF=BD\end{array} $
∴△ADF≌△BED（SAS）
∴DF=DE
同理可证△BED≌△CFE，得DE=EF
∴DE=DF=EF
∴△DEF是等边三角形
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形相关的典型基础题，解题关键是利用等边三角形的边角性质推导全等条件，通过证明三角形全等得到目标三角形的边的关系，进而判断其形状。
【难度系数】
0.7
4. 如图,△ABC是等边三角形,两个锐角都是45°的三角尺的一条直角边在BC上,则∠1的度数为( )
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
]
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
]
答案：D
解析：
【分析】
首先提取题目已知条件：①△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得它的每个内角都是60°，因此∠B=60°；②所用三角尺的两个锐角都是45°，可知该三角尺为等腰直角三角尺，和∠1、∠B同处在直线AB上的三角尺锐角度数为45°。接下来观察角的位置关系：AB为直线，直线上相邻的三个角∠1、∠B、三角尺的45°角相加等于平角180°，代入已知角度计算即可得到∠1的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
由题意得，该三角尺为等腰直角三角尺，锐角为45°
∵AB为直线，平角为180°
∴∠1 + ∠B + 45° = 180°
将∠B=60°代入得：
∠1=180°-60°-45°=75°
故选D
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，平角的定义，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是熟练掌握等边三角形、等腰直角三角尺的角度特征，结合平角的性质进行角度计算即可，解题时要注意准确识别图中角的位置关系。
【难度系数】
0.8
首先提取题目已知条件：①△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得它的每个内角都是60°，因此∠B=60°；②所用三角尺的两个锐角都是45°，可知该三角尺为等腰直角三角尺，和∠1、∠B同处在直线AB上的三角尺锐角度数为45°。接下来观察角的位置关系：AB为直线，直线上相邻的三个角∠1、∠B、三角尺的45°角相加等于平角180°，代入已知角度计算即可得到∠1的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
由题意得，该三角尺为等腰直角三角尺，锐角为45°
∵AB为直线，平角为180°
∴∠1 + ∠B + 45° = 180°
将∠B=60°代入得：
∠1=180°-60°-45°=75°
故选D
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，平角的定义，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是熟练掌握等边三角形、等腰直角三角尺的角度特征，结合平角的性质进行角度计算即可，解题时要注意准确识别图中角的位置关系。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是( )
A.BC= BE
B.EC= BE
C.BC= EC
D.AE= EC
]
A.BC= BE
B.EC= BE
C.BC= EC
D.AE= EC
]
答案：A
解析：
【分析】
解题时先从已知条件入手推导角的等量关系：首先结合∠ACB=90°和CD⊥AB的条件，利用同角的余角相等得到∠A=∠BCD；再根据CE平分∠ACD得到∠ACE=∠DCE；接着利用三角形外角的性质分别表示出∠BEC和∠BCE，可推出这两个角相等；最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到边的等量关系，对应选项选出答案。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A + ∠ACD = 90°，∠BCD + ∠ACD = 90°，
∴∠A = ∠BCD（同角的余角相等）。
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠DCE。
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE，
又
∵∠BCE = ∠BCD + ∠DCE，
将∠A=∠BCD、∠ACE=∠DCE代入，可得∠BEC = ∠BCE，
∴BC = BE（等角对等边）。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等角对等边，三角形外角性质，同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用题，解题核心是通过余角性质、角平分线定义和外角性质推导角相等，进而得到对应边相等，考查学生对角度关系转化的掌握能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手推导角的等量关系：首先结合∠ACB=90°和CD⊥AB的条件，利用同角的余角相等得到∠A=∠BCD；再根据CE平分∠ACD得到∠ACE=∠DCE；接着利用三角形外角的性质分别表示出∠BEC和∠BCE，可推出这两个角相等；最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到边的等量关系，对应选项选出答案。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A + ∠ACD = 90°，∠BCD + ∠ACD = 90°，
∴∠A = ∠BCD（同角的余角相等）。
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠DCE。
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ACE，
又
∵∠BCE = ∠BCD + ∠DCE，
将∠A=∠BCD、∠ACE=∠DCE代入，可得∠BEC = ∠BCE，
∴BC = BE（等角对等边）。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等角对等边，三角形外角性质，同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用题，解题核心是通过余角性质、角平分线定义和外角性质推导角相等，进而得到对应边相等，考查学生对角度关系转化的掌握能力。
【难度系数】
0.7
6. (1)(宿迁中考)若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm,则这个等腰三角形的周长是______；
(2)已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为______.
(2)已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为______.
答案：
(1)11 cm 或 13 cm
(2)$50^{\circ }$或$80^{\circ }$
(1)11 cm 或 13 cm
(2)$50^{\circ }$或$80^{\circ }$
解析：
【分析】
(1) 解决等腰三角形边长求周长的问题，首先要明确等腰三角形两条腰长度相等，需分腰长为3cm和腰长为5cm两种情况讨论，最后必须用三角形三边关系验证两种情况是否都成立，再计算对应周长。
(2) 已知等腰三角形的外角求顶角度数，需考虑这个外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，分两种情况结合三角形内角和、等腰三角形两底角相等的性质计算，再验证结果是否合理。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当腰长为3cm时，三角形三边长为3cm，3cm，5cm。
验证三边关系：3+3＞5，满足三角形三边关系，此时周长=3+3+5=11cm；
② 当腰长为5cm时，三角形三边长为5cm，5cm，3cm。
验证三边关系：3+5＞5，满足三角形三边关系，此时周长=5+5+3=13cm。
综上，这个等腰三角形的周长是11cm或13cm。
(2) 分两种情况讨论：
① 若130°是等腰三角形顶角的外角，则顶角=180°-130°=50°；
② 若130°是等腰三角形底角的外角，则底角=180°-130°=50°，
根据等腰三角形两底角相等，顶角=180°-2×50°=80°。
两种情况均符合三角形内角和定理，因此顶角的度数为50°或80°。
【答案】
(1)11 cm 或 13 cm (2)$50^{\circ }$或$80^{\circ }$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的应用，解题核心是要树立分类讨论的意识，避免漏解，同时每一类情况都要验证是否符合三角形的相关定理，排除不符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 解决等腰三角形边长求周长的问题，首先要明确等腰三角形两条腰长度相等，需分腰长为3cm和腰长为5cm两种情况讨论，最后必须用三角形三边关系验证两种情况是否都成立，再计算对应周长。
(2) 已知等腰三角形的外角求顶角度数，需考虑这个外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，分两种情况结合三角形内角和、等腰三角形两底角相等的性质计算，再验证结果是否合理。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当腰长为3cm时，三角形三边长为3cm，3cm，5cm。
验证三边关系：3+3＞5，满足三角形三边关系，此时周长=3+3+5=11cm；
② 当腰长为5cm时，三角形三边长为5cm，5cm，3cm。
验证三边关系：3+5＞5，满足三角形三边关系，此时周长=5+5+3=13cm。
综上，这个等腰三角形的周长是11cm或13cm。
(2) 分两种情况讨论：
① 若130°是等腰三角形顶角的外角，则顶角=180°-130°=50°；
② 若130°是等腰三角形底角的外角，则底角=180°-130°=50°，
根据等腰三角形两底角相等，顶角=180°-2×50°=80°。
两种情况均符合三角形内角和定理，因此顶角的度数为50°或80°。
【答案】
(1)11 cm 或 13 cm (2)$50^{\circ }$或$80^{\circ }$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的应用，解题核心是要树立分类讨论的意识，避免漏解，同时每一类情况都要验证是否符合三角形的相关定理，排除不符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
7. (2023·新疆中考)如图,在△ABC中,若AB= AC,AD= BD,∠CAD= 24°,则∠C= ______°.
]
]
答案：52
解析：
【分析】
解题时首先识别图中的等腰三角形：△ABC和△ABD，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出∠B=∠C、∠B=∠BAD，由此得到∠BAD=∠B=∠C。再结合三角形内角和为180°，将△ABC的三个内角用含∠C的式子表示，列方程即可求解∠C的度数。
【解析】
设∠C = x°，
∵ AB = AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，
∴ ∠B = ∠C = x°，
又
∵ AD = BD，同理可得
∴ ∠BAD = ∠B = x°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，有：
∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
其中∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = x° + 24°，代入得：
$x + x + x + 24 = 180$，
解得：$3x = 156$，$x = 52$，
即∠C = 52°。
【答案】
52
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础常考题，解题核心是利用等边对等角的性质完成等角的转化，结合内角和定理建立方程求解，解题时注意不要遗漏角的和差关系即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别图中的等腰三角形：△ABC和△ABD，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出∠B=∠C、∠B=∠BAD，由此得到∠BAD=∠B=∠C。再结合三角形内角和为180°，将△ABC的三个内角用含∠C的式子表示，列方程即可求解∠C的度数。
【解析】
设∠C = x°，
∵ AB = AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，
∴ ∠B = ∠C = x°，
又
∵ AD = BD，同理可得
∴ ∠BAD = ∠B = x°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，有：
∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
其中∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = x° + 24°，代入得：
$x + x + x + 24 = 180$，
解得：$3x = 156$，$x = 52$，
即∠C = 52°。
【答案】
52
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础常考题，解题核心是利用等边对等角的性质完成等角的转化，结合内角和定理建立方程求解，解题时注意不要遗漏角的和差关系即可。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,BE⊥CD,∠A= ∠ABE.若AC= 5 cm,BC= 3 cm,则BD的长为______cm.
]
]
答案：1
解析：
【分析】
解题时先观察图形特征：CD是∠ACB的角平分线，且CD⊥BE，遇到“角平分线+所在直线的垂线”的组合，可优先考虑构造全等三角形或利用等腰三角形三线合一得到相等的线段和边；得到CE与BC相等、D是BE中点后，再结合已知∠A=∠ABE，判定△ABE为等腰三角形，得到BE与AE相等，最后通过线段和差关系和中点性质计算BD的长度。
【解析】
解：
∵ CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴ ∠BCD=∠ECD，∠CDB=∠CDE=90°，
在△CDB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠BCD=∠ECD \\CD=CD \\∠CDB=∠CDE\end{array} $
∴ △CDB≌△CDE（ASA），
∴ BC=CE=3cm，BD=DE，即D是BE的中点，
∵ AC=5cm，
∴ AE=AC-CE=5-3=2cm，
又
∵ ∠A=∠ABE，
∴ △ABE为等腰三角形，BE=AE=2cm，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×2=1cm。
【答案】
1
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形相关的中等难度题型，解题关键是抓住“角平分线+垂线”的图形特征推出等腰三角形，再结合已知角的关系得到另一组等腰三角形，逐步推导所求线段的长度，较好地考查了学生对几何基本图形的识别能力和性质综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：CD是∠ACB的角平分线，且CD⊥BE，遇到“角平分线+所在直线的垂线”的组合，可优先考虑构造全等三角形或利用等腰三角形三线合一得到相等的线段和边；得到CE与BC相等、D是BE中点后，再结合已知∠A=∠ABE，判定△ABE为等腰三角形，得到BE与AE相等，最后通过线段和差关系和中点性质计算BD的长度。
【解析】
解：
∵ CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴ ∠BCD=∠ECD，∠CDB=∠CDE=90°，
在△CDB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠BCD=∠ECD \\CD=CD \\∠CDB=∠CDE\end{array} $
∴ △CDB≌△CDE（ASA），
∴ BC=CE=3cm，BD=DE，即D是BE的中点，
∵ AC=5cm，
∴ AE=AC-CE=5-3=2cm，
又
∵ ∠A=∠ABE，
∴ △ABE为等腰三角形，BE=AE=2cm，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×2=1cm。
【答案】
1
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形相关的中等难度题型，解题关键是抓住“角平分线+垂线”的图形特征推出等腰三角形，再结合已知角的关系得到另一组等腰三角形，逐步推导所求线段的长度，较好地考查了学生对几何基本图形的识别能力和性质综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9. (绍兴中考)如图,在△ABC中,∠ABC= 40°,∠BAC= 80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是______.
]
]
答案：$10^{\circ }$或$100^{\circ }$
解析：
【分析】
首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数；其次注意到交线是射线BA，以A为圆心、AC为半径作弧和射线BA的交点D存在两种位置：①D在线段AB上，②D在BA的延长线上（A点远离B的一侧）；最后分别对两种情况，结合等腰三角形“等边对等角”的性质计算∠ACD的度数，再推导∠BCD的度数即可。
【解析】
第一步：计算∠ACB的度数
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACB=180°-∠ ABC-∠ BAC=180°-40°-80°=60°$
由题意得$AD=AC$，因此$△ ACD$为等腰三角形，分两种情况讨论：
情况1：点D在线段AB上
此时$∠ BAC$是等腰$△ ACD$的顶角：
$∠ ACD=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$
则$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=60°-50°=10°$
情况2：点D在BA的延长线上
此时$∠ CAD$是等腰$△ ACD$的顶角，$∠ CAD=180°-∠ BAC=100°$：
$∠ ACD=\frac{180°-∠ CAD}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$
则$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=60°+40°=100°$
【答案】
$10^{\circ }$或$100^{\circ }$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略射线的属性，仅考虑D在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意区分“射线”“线段”“直线”的差异，养成分类讨论的几何解题思维，熟练运用等腰三角形性质完成角度计算。
【难度系数】
0.6
首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数；其次注意到交线是射线BA，以A为圆心、AC为半径作弧和射线BA的交点D存在两种位置：①D在线段AB上，②D在BA的延长线上（A点远离B的一侧）；最后分别对两种情况，结合等腰三角形“等边对等角”的性质计算∠ACD的度数，再推导∠BCD的度数即可。
【解析】
第一步：计算∠ACB的度数
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACB=180°-∠ ABC-∠ BAC=180°-40°-80°=60°$
由题意得$AD=AC$，因此$△ ACD$为等腰三角形，分两种情况讨论：
情况1：点D在线段AB上
此时$∠ BAC$是等腰$△ ACD$的顶角：
$∠ ACD=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$
则$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=60°-50°=10°$
情况2：点D在BA的延长线上
此时$∠ CAD$是等腰$△ ACD$的顶角，$∠ CAD=180°-∠ BAC=100°$：
$∠ ACD=\frac{180°-∠ CAD}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$
则$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=60°+40°=100°$
【答案】
$10^{\circ }$或$100^{\circ }$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略射线的属性，仅考虑D在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意区分“射线”“线段”“直线”的差异，养成分类讨论的几何解题思维，熟练运用等腰三角形性质完成角度计算。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在△ABC中,AB= 20 cm,AC= 12 cm,点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动,同时点Q从点A出发以每秒2 cm的速度向点C运动,其中一个动点到达端点,另一个动点也随之停止,当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时,运动的时间是______秒.
]
]
答案：4
解析：
【分析】
要解这道题，首先明确“△APQ是以PQ为底的等腰三角形”的含义：此时等腰三角形的两腰为AP和AQ，即AP=AQ，这是列方程的核心等量关系。接下来设运动时间为t秒，分别用含t的代数式表示AP、AQ的长度：点P从B向A运动，速度为3cm/s，t秒后BP=3t，因此AP=AB-BP=20-3t；点Q从A向C运动，速度为2cm/s，t秒后AQ=2t。再根据AP=AQ列一元一次方程，求解后验证t是否在动点的运动时间范围内即可。
【解析】
解：设运动时间为t秒。
由题意得：$BP=3t\ \mathrm{cm}$，$AQ=2t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AP=AB-BP=(20-3t)\ \mathrm{cm}$。
$\because △ APQ$是以PQ为底的等腰三角形，
$\therefore AP=AQ$，
即 $20-3t=2t$，
移项得：$5t=20$，
解得：$t=4$。
验证：点Q运动到端点C的时间为$12÷2=6$秒，点P运动到端点A的时间为$20÷3\approx6.67$秒，$t=4＜6$，符合运动要求。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形性质；动点问题；一元一次方程应用
【点评】
本题属于等腰三角形与动点结合的基础题型，解题关键是抓住等腰三角形两腰相等的核心等量关系，用含运动时间的代数式表示对应线段长度后列方程求解，注意最终要验证解是否符合动点的运动范围，避免出现不合题意的解。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先明确“△APQ是以PQ为底的等腰三角形”的含义：此时等腰三角形的两腰为AP和AQ，即AP=AQ，这是列方程的核心等量关系。接下来设运动时间为t秒，分别用含t的代数式表示AP、AQ的长度：点P从B向A运动，速度为3cm/s，t秒后BP=3t，因此AP=AB-BP=20-3t；点Q从A向C运动，速度为2cm/s，t秒后AQ=2t。再根据AP=AQ列一元一次方程，求解后验证t是否在动点的运动时间范围内即可。
【解析】
解：设运动时间为t秒。
由题意得：$BP=3t\ \mathrm{cm}$，$AQ=2t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AP=AB-BP=(20-3t)\ \mathrm{cm}$。
$\because △ APQ$是以PQ为底的等腰三角形，
$\therefore AP=AQ$，
即 $20-3t=2t$，
移项得：$5t=20$，
解得：$t=4$。
验证：点Q运动到端点C的时间为$12÷2=6$秒，点P运动到端点A的时间为$20÷3\approx6.67$秒，$t=4＜6$，符合运动要求。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形性质；动点问题；一元一次方程应用
【点评】
本题属于等腰三角形与动点结合的基础题型，解题关键是抓住等腰三角形两腰相等的核心等量关系，用含运动时间的代数式表示对应线段长度后列方程求解，注意最终要验证解是否符合动点的运动范围，避免出现不合题意的解。
【难度系数】
0.7