【分析】
要证明∠C=2∠D，可按以下思路推导：首先从已知的等边条件入手，AB=AC、AB=AD说明△ABC和△ABD都是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得到∠C=∠ABC、∠D=∠ABD；再结合AD//BC的平行条件，利用平行线内错角相等的性质，可得∠CBD=∠D；最后观察∠ABC由∠ABD和∠CBD组成，通过等量代换将∠ABC用∠D表示，再结合∠C=∠ABC即可完成证明。
【解析】
∵AB = AC = AD,
∴∠C = ∠ABC，∠D = ∠ABD,
∴∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = ∠D + ∠CBD.
∵AD//BC,
∴∠CBD = ∠D,
∴∠ABC = ∠D + ∠D = 2∠D.
又
∵∠C = ∠ABC,
∴∠C = 2∠D.
【答案】
∠C=2∠D
【知识点】
等腰三角形性质，平行线的性质，等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，结合了等腰三角形和平行线的性质考察，解题关键是找准角之间的等量关系，通过代换推导出待证的角的倍数关系，只要熟练掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)要判断∠ABE与∠ACD的数量关系，可观察两角所在的三角形是否全等：已知AB=AC，AD=AE，且△ABE和△ACD有公共角∠A，满足全等三角形的SAS判定条件，证明两三角形全等即可得到两角的数量关系。
(2)要证明过A、F的直线垂直平分BC，根据线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。首先由AB=AC可知点A在BC的垂直平分线上；再结合(1)的结论推导出∠FBC=∠FCB，可得FB=FC，即点F也在BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，即可得证结论。
【解析】
(1)∠ABE = ∠ACD，理由如下：
在△ABE和△ACD中，
$\{\begin{array}{l} AB = AC,\\ ∠A = ∠A,\\ AE = AD,\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE = ∠ACD。
(2)证明：
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
由(1)可知∠ABE = ∠ACD，
∴∠ABC - ∠ABE = ∠ACB - ∠ACD，即∠FBC = ∠FCB，
∴FB = FC。
又
∵AB = AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
∴过点A、F的直线垂直平分线段BC。
【答案】
(1)∠ABE = ∠ACD；
(2)过点A、F的直线垂直平分线段BC。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型综合题，解题逻辑链条清晰，先通过全等三角形得到对应角相等，再结合等腰三角形的性质推导边相等，最后利用垂直平分线的判定完成证明，能够有效考查对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)要证明AD⊥BC，已知D为CE中点，若能证明△AEC为等腰三角形（即AE=AC），就可以利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD是CE边上的高，即AD⊥BC。首先根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，结合已知条件BE=AC，等量代换即可得到AE=AC，满足等腰三角形的判定条件。
(2)求∠B的度数可采用设未知数列方程的方法：设∠B=x，利用等腰三角形等边对等角的性质得∠BAE=∠B=x，再由三角形外角的性质可得∠AEC=2x，结合AE=AC可得∠C=∠AEC=2x，最后在△ABC中根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：连接AE，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∵BE = AC，
∴AE = AC，
又
∵D是CE的中点，
∴AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）。
(2)解：设∠B = x，
∵AE = BE，
∴∠BAE = ∠B = x（等边对等角），
由三角形外角的性质可得，△ABE中∠AEC = ∠B + ∠BAE = 2x，
∵AE = AC，
∴∠C = ∠AEC = 2x（等边对等角），
在△ABC中，内角和为180°，即∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
代入得：$x + 2x + 75° = 180°$，
解得$x=35°$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$∠ B=35°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关知识的典型应用题型，解题核心是正确添加辅助线构造等腰三角形，结合垂直平分线性质、等腰三角形三线合一及三角形内角和定理进行推理计算，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 要证明两条线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。已知OM平分∠EOF，根据角平分线的性质，过点A向∠EOF的两边作垂线段AG、AH，可得AG=AH；再结合∠EOF=120°和∠BAC=60°，推导得到△BAG和△CAH的对应角相等，即可利用ASA证明两三角形全等，得到AB=AC。
(2) 即使点B落在OF的反向延长线上，(1)的解题思路仍然适用：同样过A作OF、OE的垂线段，利用角平分线性质得到等线段，再推导对应角相等证明三角形全等，即可验证AB=AC仍然成立。
(3) ①要证明△ABC是等边三角形，已知∠BAC=60°，只需证明AB=AC即可；由已知角的度数可推出OM平分∠COF，直接借助(2)的结论得到AB=AC，结合有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得证。②要证明线段和的关系，采用截长法：在OC上截取ON=OB，先证△BON是等边三角形，再证明△AOB和△CNB全等，得到OA=NC，即可推导出OC=ON+NC=OB+OA。
【解析】
(1) 如图①,过点A作AG⊥OF于点G,AH⊥OE于点H,则∠AHO = ∠AGO = 90°.
∵∠EOF = 120°,
∴∠HAG = 60° = ∠BAC,
∴∠HAG - ∠BAH = ∠BAC - ∠BAH,即∠BAG = ∠CAH.
∵OM平分∠EOF,AG⊥OF,AH⊥OE,
∴AG = AH.
在△BAG和△CAH中,
$\{\begin{array}{l} ∠ AGB = ∠ AHC,\\ AG = AH,\\ ∠ BAG = ∠ CAH,\end{array} $
∴△BAG≌△CAH(ASA),
∴AB = AC.

(2) (1)中的结论还成立.证明如下:如图②,过点A作AG⊥OF于点G,AH⊥OE于点H,则∠AHC = ∠AGO = 90°.
∵∠EOF = 120°,
∴∠HAG = 60° = ∠BAC.
∴∠HAG - ∠BAH = ∠BAC - ∠BAH,即∠BAG = ∠CAH.
∵OM平分∠EOF,AG⊥OF,AH⊥OE,
∴AG = AH.在△BAG和△CAH中,
$\{\begin{array}{l} ∠ AGB = ∠ AHC,\\ AG = AH,\\ ∠ BAG = ∠ CAH,\end{array} $
∴△BAG≌△CAH(ASA),
∴AB = AC.
(3)①如图③,设点F,M分别在BO,OA的延长线上.
∵∠AOC = ∠BOC = 60°,
∴∠FOA = 180° - ∠AOC - ∠BOC = 60°,
∴∠FOA = ∠AOC,即OM平分∠COF.由(2)知AC = AB,
∵∠BAC = 60°,
∴△ABC是等边三角形.
②如图③,在OC上截取ON = OB,连接BN.
∵∠COB = 60°,
∴△BON是等边三角形,
∴BN = OB,∠OBN = 60°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC = ∠OBN,
∴∠OBN - ∠ABN = ∠ABC - ∠ABN,即∠ABO = ∠CBN.在△AOB和△CNB中,
$\{\begin{array}{l} BA = BC,\\ ∠ ABO = ∠ CBN,\\ BO = BN,\end{array} $
∴△AOB≌△CNB(SAS),
∴OA = NC,
∴OC = ON + CN = OB + OA,即OC = OA + OB.
【答案】
(1) AB=AC，得证；
(2) 结论成立，AB=AC；
(3) ①△ABC是等边三角形，得证；②OC=OA+OB，得证。

【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、全等三角形、等边三角形的相关知识，涉及作垂线、截长补短等常用几何辅助线的构造方法，侧重对逻辑推理能力和图形分析能力的考查，是几何部分的典型中档题。
【难度系数】
0.6