在一节数学综合实践课上,老师和同学们对长为8 cm、宽为4 cm 的长方形纸片进行折纸探究活动.
【操作说理】
如图①,在长方形纸片 DEFG 上任意画一条线段 AB,将纸片沿线段 AB 折叠(如图②).
(1)试探究重叠部分△ABC 的形状,并说明理由；
(2)求△ABC 面积的最小值；
【操作说理】
如图①,在长方形纸片 DEFG 上任意画一条线段 AB,将纸片沿线段 AB 折叠(如图②).
(1)试探究重叠部分△ABC 的形状,并说明理由；
(2)求△ABC 面积的最小值；
答案：（1）△ABC是等腰三角形.理由:
∵长方形纸片DEFG沿线段AB折叠，
∴∠BAC=∠BAF.
∵EF//DG,
∴∠BAF=∠ABC,
∴∠BAC=∠ABC,
∴△ABC为等腰三角形.
（2）由
(1)得BC=AC,
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×4,
∴当BC最小,即AC最小时,△ABC的面积取得最小值,
∴当AC=BC=4cm时,△ABC的面积最小,最小为$\frac{1}{2}$×4×4=8(cm²).
∵长方形纸片DEFG沿线段AB折叠，
∴∠BAC=∠BAF.
∵EF//DG,
∴∠BAF=∠ABC,
∴∠BAC=∠ABC,
∴△ABC为等腰三角形.
（2）由
(1)得BC=AC,
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×BC×4,
∴当BC最小,即AC最小时,△ABC的面积取得最小值,
∴当AC=BC=4cm时,△ABC的面积最小,最小为$\frac{1}{2}$×4×4=8(cm²).
解析：
【分析】
(1)判断△ABC的形状可从角的关系入手：首先根据折叠的性质可得折叠前后对应角相等，即∠BAC=∠BAF；再结合长方形对边平行的性质，EF//DG可得内错角∠BAF=∠ABC，等量代换后得到∠BAC=∠ABC，根据等角对等边即可判定三角形形状。
(2)求面积最小值时，首先明确△ABC的高等于长方形的宽4cm，面积公式为$\frac{1}{2}$×底×高，高固定时底越小面积越小。由(1)知BC=AC，要让底BC最小即AC最短，根据垂线段最短，当AC垂直于DG时AC最短，长度等于长方形的宽，代入面积公式即可求出最小值。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
∵长方形纸片DEFG沿线段AB折叠，
∴∠BAC=∠BAF，
∵四边形DEFG是长方形，
∴EF//DG，
∴∠BAF=∠ABC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，即△ABC为等腰三角形。
(2) 由长方形的宽为4cm，可知△ABC中BC边上的高为4cm，
则△ABC的面积$S=\frac{1}{2} × BC × 4 = 2BC$，
由(1)得BC=AC，要使S最小，需BC最小，即AC最小，
根据垂线段最短，当AC⊥DG时，AC取得最小值，等于长方形的宽4cm，即BC=AC=4cm，
此时最小面积$S_{\mathrm{最小}}=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；
(2) $\boldsymbol{8\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题结合折纸操作考查几何基础性质的应用，解题的关键是先利用折叠和平行线的性质推导出三角形的形状，再结合垂线段最短的性质求解最值，注重对基础概念和性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1)判断△ABC的形状可从角的关系入手：首先根据折叠的性质可得折叠前后对应角相等，即∠BAC=∠BAF；再结合长方形对边平行的性质，EF//DG可得内错角∠BAF=∠ABC，等量代换后得到∠BAC=∠ABC，根据等角对等边即可判定三角形形状。
(2)求面积最小值时，首先明确△ABC的高等于长方形的宽4cm，面积公式为$\frac{1}{2}$×底×高，高固定时底越小面积越小。由(1)知BC=AC，要让底BC最小即AC最短，根据垂线段最短，当AC垂直于DG时AC最短，长度等于长方形的宽，代入面积公式即可求出最小值。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
∵长方形纸片DEFG沿线段AB折叠，
∴∠BAC=∠BAF，
∵四边形DEFG是长方形，
∴EF//DG，
∴∠BAF=∠ABC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，即△ABC为等腰三角形。
(2) 由长方形的宽为4cm，可知△ABC中BC边上的高为4cm，
则△ABC的面积$S=\frac{1}{2} × BC × 4 = 2BC$，
由(1)得BC=AC，要使S最小，需BC最小，即AC最小，
根据垂线段最短，当AC⊥DG时，AC取得最小值，等于长方形的宽4cm，即BC=AC=4cm，
此时最小面积$S_{\mathrm{最小}}=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形；
(2) $\boldsymbol{8\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题结合折纸操作考查几何基础性质的应用，解题的关键是先利用折叠和平行线的性质推导出三角形的形状，再结合垂线段最短的性质求解最值，注重对基础概念和性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
【感悟作图】
把长方形纸片 DEFG 对折,折痕为 MN,请你用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹,不写作法).
(3)如图③,试在折痕 MN 上找一点 P,使得△DEP 为等边三角形；
(4)如图④,在线段 DG 上找一点 Q,在线段 EF 上找一点 H,使得△EQH 为等边三角形.
把长方形纸片 DEFG 对折,折痕为 MN,请你用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹,不写作法).
(3)如图③,试在折痕 MN 上找一点 P,使得△DEP 为等边三角形；
(4)如图④,在线段 DG 上找一点 Q,在线段 EF 上找一点 H,使得△EQH 为等边三角形.
答案：
（3）如图①,点P即为所求.
（4）如图②,点Q,H即为所求.(合理即可)
（3）如图①,点P即为所求.
（4）如图②,点Q,H即为所求.(合理即可)
解析：
【分析】
(3) 要构造等边△DEP，首先分析折痕MN的性质：长方形对折后MN是边DE的垂直平分线，因此MN上任意一点到D、E两点的距离相等，即PD=PE，因此只需再满足PD=DE，就能得到三边相等的等边三角形。可通过尺规作圆弧的方法：分别以D、E为圆心，DE的长度为半径画弧，两弧在MN上的交点即为所求的点P。
(4) 要构造等边△EQH，Q在DG上、H在EF上，结合等边三角形的判定：三边相等的三角形是等边三角形。我们可以先在EF上取点H，再以E、H为圆心，EH长度为半径画弧，使两弧的交点落在DG上，该交点即为Q，此时EQ=EH=QH，满足等边三角形的条件。
【解析】
(3) ①分别以点D、E为圆心，取DE的长度为半径画弧，两弧在长方形内部交于折痕MN上的点P；②连接PD、PE，此时PD=PE=DE，故△DEP为等边三角形，点P即为所求。
(4) ①以点E为圆心，取适当长度（保证所画圆弧能与DG、EF都相交）为半径画弧，交边EF于点H；②分别以点E、H为圆心，EH的长度为半径画弧，两弧在长方形内部的交点恰好落在DG上，记为点Q；③连接EQ、QH，此时EQ=EH=QH，故△EQH为等边三角形，点Q、H即为所求。
【答案】
（3）如图①,点P即为所求.
（4）如图②,点Q,H即为所求.(合理即可)
【知识点】
尺规作图，等边三角形判定，矩形的性质
【点评】
本题将尺规作图和几何性质结合考查，需要学生熟练掌握等边三角形的判定方法和矩形折叠的性质，侧重考查动手操作能力和逻辑推理能力，作图时要注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.6
(3) 要构造等边△DEP，首先分析折痕MN的性质：长方形对折后MN是边DE的垂直平分线，因此MN上任意一点到D、E两点的距离相等，即PD=PE，因此只需再满足PD=DE，就能得到三边相等的等边三角形。可通过尺规作圆弧的方法：分别以D、E为圆心，DE的长度为半径画弧，两弧在MN上的交点即为所求的点P。
(4) 要构造等边△EQH，Q在DG上、H在EF上，结合等边三角形的判定：三边相等的三角形是等边三角形。我们可以先在EF上取点H，再以E、H为圆心，EH长度为半径画弧，使两弧的交点落在DG上，该交点即为Q，此时EQ=EH=QH，满足等边三角形的条件。
【解析】
(3) ①分别以点D、E为圆心，取DE的长度为半径画弧，两弧在长方形内部交于折痕MN上的点P；②连接PD、PE，此时PD=PE=DE，故△DEP为等边三角形，点P即为所求。
(4) ①以点E为圆心，取适当长度（保证所画圆弧能与DG、EF都相交）为半径画弧，交边EF于点H；②分别以点E、H为圆心，EH的长度为半径画弧，两弧在长方形内部的交点恰好落在DG上，记为点Q；③连接EQ、QH，此时EQ=EH=QH，故△EQH为等边三角形，点Q、H即为所求。
【答案】
（3）如图①,点P即为所求.
（4）如图②,点Q,H即为所求.(合理即可)
【知识点】
尺规作图，等边三角形判定，矩形的性质
【点评】
本题将尺规作图和几何性质结合考查，需要学生熟练掌握等边三角形的判定方法和矩形折叠的性质，侧重考查动手操作能力和逻辑推理能力，作图时要注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.6