1. 如图,在$\triangle ABC$中,$E是AC$的中点,点$D在BC$上,且$BD = 2CD$,$AD与BE交于点F$,若$S_{\triangle ABF}-S_{四边形CDFE}= \frac{5}{2}$,求$\triangle ABC$的面积.
答案：设△ABC的面积为a,
∵E是AC的中点,
∴S△ABE = $\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a$.
∵BD = 2CD,
∴BC = 3CD,
∴S△ACD = $\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}a$,
∴S△ABE - S△ACD = S△ABF - S四边形CDFE = $\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}a=\frac{1}{6}a$.
∵S△ABF - S四边形CDFE = $\frac{5}{2}$,
∴$\frac{1}{6}a=\frac{5}{2}$,解得a = 15,即△ABC的面积为15.
∵E是AC的中点,
∴S△ABE = $\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a$.
∵BD = 2CD,
∴BC = 3CD,
∴S△ACD = $\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}a$,
∴S△ABE - S△ACD = S△ABF - S四边形CDFE = $\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}a=\frac{1}{6}a$.
∵S△ABF - S四边形CDFE = $\frac{5}{2}$,
∴$\frac{1}{6}a=\frac{5}{2}$,解得a = 15,即△ABC的面积为15.
解析：
【分析】
我们可先设△ABC的面积为未知数，利用“等高三角形的面积比等于对应底的比”这一性质，分别表示出△ABE和△ACD的面积。观察两个面积表达式可发现：△ABE的面积 = $ S_{△ ABF} + S_{△ AEF} $，△ACD的面积 = $ S_{四边形CDFE} + S_{△ AEF} $，二者作差后公共部分$ S_{△ AEF} $会抵消，刚好对应题目给出的$ S_{△ ABF}-S_{四边形CDFE} $的差值，据此列方程即可求解。
【解析】
设$ △ ABC $的面积为$ a $。
∵E是AC的中点，△ABE与△ABC等高，底$ AE=\frac{1}{2}AC $，
∴$ S_{△ ABE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}a $。
∵$ BD = 2CD $，即$ CD=\frac{1}{3}BC $，△ACD与△ABC等高，
∴$ S_{△ ACD} = \frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}a $。
两式作差可得：
$ S_{△ ABE} - S_{△ ACD} = (S_{△ ABF} + S_{△ AEF}) - (S_{四边形CDFE} + S_{△ AEF}) = S_{△ ABF} - S_{四边形CDFE} $，
即$ \frac{1}{2}a - \frac{1}{3}a=\frac{1}{6}a $。
∵$ S_{△ ABF} - S_{四边形CDFE} = \frac{5}{2} $，
∴$ \frac{1}{6}a=\frac{5}{2} $，解得$ a = 15 $。
【答案】
15
【知识点】
等高三角形面积比例，面积等量代换，方程思想
【点评】
本题无需计算各小部分的面积，核心是利用等高三角形的面积比例关系，通过作差消去公共未知面积，直接建立整体面积和已知差值的联系，简化了解题步骤。
【难度系数】
0.6
我们可先设△ABC的面积为未知数，利用“等高三角形的面积比等于对应底的比”这一性质，分别表示出△ABE和△ACD的面积。观察两个面积表达式可发现：△ABE的面积 = $ S_{△ ABF} + S_{△ AEF} $，△ACD的面积 = $ S_{四边形CDFE} + S_{△ AEF} $，二者作差后公共部分$ S_{△ AEF} $会抵消，刚好对应题目给出的$ S_{△ ABF}-S_{四边形CDFE} $的差值，据此列方程即可求解。
【解析】
设$ △ ABC $的面积为$ a $。
∵E是AC的中点，△ABE与△ABC等高，底$ AE=\frac{1}{2}AC $，
∴$ S_{△ ABE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}a $。
∵$ BD = 2CD $，即$ CD=\frac{1}{3}BC $，△ACD与△ABC等高，
∴$ S_{△ ACD} = \frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}a $。
两式作差可得：
$ S_{△ ABE} - S_{△ ACD} = (S_{△ ABF} + S_{△ AEF}) - (S_{四边形CDFE} + S_{△ AEF}) = S_{△ ABF} - S_{四边形CDFE} $，
即$ \frac{1}{2}a - \frac{1}{3}a=\frac{1}{6}a $。
∵$ S_{△ ABF} - S_{四边形CDFE} = \frac{5}{2} $，
∴$ \frac{1}{6}a=\frac{5}{2} $，解得$ a = 15 $。
【答案】
15
【知识点】
等高三角形面积比例，面积等量代换，方程思想
【点评】
本题无需计算各小部分的面积，核心是利用等高三角形的面积比例关系，通过作差消去公共未知面积，直接建立整体面积和已知差值的联系，简化了解题步骤。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在$\triangle ABC$中,点$E是AC$上一点,连接$BE$,且$AB\perp BE$,$CE = 2AE$,过点$C作CD\perp BE$,交$BE的延长线于D$点,已知$BE = 1$,$S_{\triangle CDE}= 4$.
(1)求$DE$的长度;
(2)求$\triangle ABC$的面积.
(1)求$DE$的长度;
(2)求$\triangle ABC$的面积.
答案：
(1)连接AD,
∵CE = 2AE,
∴$\frac{S_{\triangle EBC}}{S_{\triangle ABE}}=2$.
∵AB⊥BE,CD⊥BE,
∴AB//CD,
∴S△ABD = S△ABC,
∴S△AED = S△BCE,
∴$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABE}}=\frac{S_{\triangle EBC}}{S_{\triangle ABE}}=2$,
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABE}} = 2$,
∴DE = 2BE = 2.
(2)由
(1)可知,$\frac{DE}{BE}=2$,即$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle CBE}}=2$.
∵S△CDE = 4,
∴S△CBE = 2.
∵$\frac{S_{\triangle CBE}}{S_{\triangle ABE}}=2$,
∴S△ABE = 1,
∴S△ABC = S△ABE + S△CBE = 3.
(1)连接AD,
∵CE = 2AE,
∴$\frac{S_{\triangle EBC}}{S_{\triangle ABE}}=2$.
∵AB⊥BE,CD⊥BE,
∴AB//CD,
∴S△ABD = S△ABC,
∴S△AED = S△BCE,
∴$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABE}}=\frac{S_{\triangle EBC}}{S_{\triangle ABE}}=2$,
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABE}} = 2$,
∴DE = 2BE = 2.
(2)由
(1)可知,$\frac{DE}{BE}=2$,即$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle CBE}}=2$.
∵S△CDE = 4,
∴S△CBE = 2.
∵$\frac{S_{\triangle CBE}}{S_{\triangle ABE}}=2$,
∴S△ABE = 1,
∴S△ABC = S△ABE + S△CBE = 3.
解析：
【分析】
(1) 求解DE长度时，首先根据CE=2AE可得△EBC和△ABE的面积比为2:1；再由AB、CD均垂直于BE推出AB//CD，利用同底等高的三角形面积相等得到$S_{△ABD}=S_{△ABC}$，进而推出$S_{△AED}=S_{△EBC}$，最后结合同高三角形面积比等于底的比，即可求出DE的长度。
(2) 求解△ABC的面积时，先根据DE和BE的比例关系求出△CBE的面积，再结合△CBE和△ABE的面积比求出△ABE的面积，两者相加即为△ABC的面积。
【解析】
(1) 连接AD，
∵CE = 2AE，△EBC和△ABE以CE、AE为底时高相同，
∴$\frac{S_{△ EBC}}{S_{△ ABE}}=\frac{CE}{AE}=2$。
∵AB⊥BE，CD⊥BE，
∴∠ABE=∠D=90°，
∴AB//CD，
△ABD和△ABC同底AB，高为AB与CD之间的距离，
∴$S_{△ABD} = S_{△ABC}$，
等式两边同时减去公共部分$S_{△ABE}$，得$S_{△AED} = S_{△BCE}$，
∴$\frac{S_{△ AED}}{S_{△ ABE}}=\frac{S_{△ EBC}}{S_{△ ABE}}=2$，
∵△AED和△ABE以DE、BE为底时高相同，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{S_{△ AED}}{S_{△ ABE}} = 2$，
∵BE=1，
∴DE = 2BE = 2。
(2) 由(1)可知$\frac{DE}{BE}=2$，
△CDE和△CBE以DE、BE为底时高相同，
∴$\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ CBE}}=\frac{DE}{BE}=2$，
∵$S_{△CDE} = 4$，
∴$S_{△CBE} = 4÷2=2$，
∵$\frac{S_{△ CBE}}{S_{△ ABE}}=2$，
∴$S_{△ABE} = 2÷2=1$，
∴$S_{△ABC} = S_{△ABE} + S_{△CBE} = 1+2=3$。
【答案】
(1) $DE=2$；
(2) $△ABC$的面积为$3$。
【知识点】
平行线的判定与性质；同底等高三角形面积性质；三角形面积与底的比例关系
【点评】
本题核心考查三角形面积的转化技巧，解题关键是通过平行线得到同底等高的三角形面积相等，再结合同高三角形面积比等于对应底边长的比逐步推导，熟练掌握面积和线段的比例转化是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.6
(1) 求解DE长度时，首先根据CE=2AE可得△EBC和△ABE的面积比为2:1；再由AB、CD均垂直于BE推出AB//CD，利用同底等高的三角形面积相等得到$S_{△ABD}=S_{△ABC}$，进而推出$S_{△AED}=S_{△EBC}$，最后结合同高三角形面积比等于底的比，即可求出DE的长度。
(2) 求解△ABC的面积时，先根据DE和BE的比例关系求出△CBE的面积，再结合△CBE和△ABE的面积比求出△ABE的面积，两者相加即为△ABC的面积。
【解析】
(1) 连接AD，
∵CE = 2AE，△EBC和△ABE以CE、AE为底时高相同，
∴$\frac{S_{△ EBC}}{S_{△ ABE}}=\frac{CE}{AE}=2$。
∵AB⊥BE，CD⊥BE，
∴∠ABE=∠D=90°，
∴AB//CD，
△ABD和△ABC同底AB，高为AB与CD之间的距离，
∴$S_{△ABD} = S_{△ABC}$，
等式两边同时减去公共部分$S_{△ABE}$，得$S_{△AED} = S_{△BCE}$，
∴$\frac{S_{△ AED}}{S_{△ ABE}}=\frac{S_{△ EBC}}{S_{△ ABE}}=2$，
∵△AED和△ABE以DE、BE为底时高相同，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{S_{△ AED}}{S_{△ ABE}} = 2$，
∵BE=1，
∴DE = 2BE = 2。
(2) 由(1)可知$\frac{DE}{BE}=2$，
△CDE和△CBE以DE、BE为底时高相同，
∴$\frac{S_{△ CDE}}{S_{△ CBE}}=\frac{DE}{BE}=2$，
∵$S_{△CDE} = 4$，
∴$S_{△CBE} = 4÷2=2$，
∵$\frac{S_{△ CBE}}{S_{△ ABE}}=2$，
∴$S_{△ABE} = 2÷2=1$，
∴$S_{△ABC} = S_{△ABE} + S_{△CBE} = 1+2=3$。
【答案】
(1) $DE=2$；
(2) $△ABC$的面积为$3$。
【知识点】
平行线的判定与性质；同底等高三角形面积性质；三角形面积与底的比例关系
【点评】
本题核心考查三角形面积的转化技巧，解题关键是通过平行线得到同底等高的三角形面积相等，再结合同高三角形面积比等于对应底边长的比逐步推导，熟练掌握面积和线段的比例转化是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD$是它的角平分线.
求证:$AB:AC = BD:CD$.
求证:$AB:AC = BD:CD$.
答案：作DE⊥AB,DF⊥AC,AH⊥BC,垂足分别为E,F,H.
∵AD平分∠BAC,
∴DE = DF.
∵S△ABD:S△ACD = ($\frac{1}{2}AB\cdot DE$):($\frac{1}{2}AC\cdot DF$),S△ABD:S△ACD = ($\frac{1}{2}BD\cdot AH$):($\frac{1}{2}CD\cdot AH$),
∴AB:AC = BD:CD.
∵AD平分∠BAC,
∴DE = DF.
∵S△ABD:S△ACD = ($\frac{1}{2}AB\cdot DE$):($\frac{1}{2}AC\cdot DF$),S△ABD:S△ACD = ($\frac{1}{2}BD\cdot AH$):($\frac{1}{2}CD\cdot AH$),
∴AB:AC = BD:CD.
解析：
【分析】
要证明线段成比例$AB:AC=BD:CD$，可借助三角形面积比作为中间量转化推导。首先根据角平分线的性质，可得点D到AB、AC两边的距离相等，此时$△ ABD$和$△ ACD$分别以AB、AC为底时高相等，面积比就等于对应底的比$AB:AC$；同时这两个三角形分别以BD、CD为底时，高都是点A到BC的垂线段长度，面积比又等于对应底的比$BD:CD$，联立两个面积比的等量关系即可得证。
【解析】
证明：作$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，$AH⊥ BC$，垂足分别为E、F、H。
∵AD平分$∠ BAC$，
∴根据角平分线的性质，得$DE=DF$。
∵$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2}AB· DE):(\frac{1}{2}AC· DF)$，$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2}BD· AH):(\frac{1}{2}CD· AH)$，
约去相同项后可得$AB:AC = BD:CD$。
【答案】
$AB:AC = BD:CD$，得证。
【知识点】
1.角平分线的性质
2.三角形面积计算
3.比例的性质
【点评】
本题是面积法证明线段比例的典型题型，通过同一组三角形的两种面积计算方式搭建等量关系，避免了复杂的几何推导，这种转化思路在解决线段比例、线段相等类问题中经常用到，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明线段成比例$AB:AC=BD:CD$，可借助三角形面积比作为中间量转化推导。首先根据角平分线的性质，可得点D到AB、AC两边的距离相等，此时$△ ABD$和$△ ACD$分别以AB、AC为底时高相等，面积比就等于对应底的比$AB:AC$；同时这两个三角形分别以BD、CD为底时，高都是点A到BC的垂线段长度，面积比又等于对应底的比$BD:CD$，联立两个面积比的等量关系即可得证。
【解析】
证明：作$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，$AH⊥ BC$，垂足分别为E、F、H。
∵AD平分$∠ BAC$，
∴根据角平分线的性质，得$DE=DF$。
∵$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2}AB· DE):(\frac{1}{2}AC· DF)$，$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2}BD· AH):(\frac{1}{2}CD· AH)$，
约去相同项后可得$AB:AC = BD:CD$。
【答案】
$AB:AC = BD:CD$，得证。
【知识点】
1.角平分线的性质
2.三角形面积计算
3.比例的性质
【点评】
本题是面积法证明线段比例的典型题型，通过同一组三角形的两种面积计算方式搭建等量关系，避免了复杂的几何推导，这种转化思路在解决线段比例、线段相等类问题中经常用到，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在$\triangle ABC$中,$E为AC$的中点,$AD平分\angle BAC$,$AB:AC = 3:4$,$AD与BE相交于点O$,若$\triangle OAE的面积比\triangle BOD的面积大1$,求$\triangle ADC$的面积.
答案：如图,作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N.
∵AD平分∠BAC,
∴DM = DN,
∴S△ABD:S△ADC = ($\frac{1}{2}AB\cdot DN$):($\frac{1}{2}AC\cdot DM$)=AB:AC = 3:4.设△ABC的面积为a,则S△ADC = $\frac{4}{7}a$.
∵E为AC的中点,
∴S△BEC = $\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a$.
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1,
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1,
∴$\frac{4}{7}a - \frac{1}{2}a = 1$,
∴a = 14,
∴S△ADC = $\frac{4}{7}×14 = 8$.
∵AD平分∠BAC,
∴DM = DN,
∴S△ABD:S△ADC = ($\frac{1}{2}AB\cdot DN$):($\frac{1}{2}AC\cdot DM$)=AB:AC = 3:4.设△ABC的面积为a,则S△ADC = $\frac{4}{7}a$.
∵E为AC的中点,
∴S△BEC = $\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}a$.
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1,
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1,
∴$\frac{4}{7}a - \frac{1}{2}a = 1$,
∴a = 14,
∴S△ADC = $\frac{4}{7}×14 = 8$.
解析：
【分析】
解题首先从已知条件入手：看到AD是角平分线，联想到角平分线的性质——角平分线上的点到角两边距离相等，可得△ABD和△ADC的高相等，二者面积比等于底AB与AC的比；再结合E是AC中点，可知△BEC的面积是△ABC面积的一半；接下来处理两个小三角形的面积差，观察发现△ADC的面积=S△OAE + S四边形ODCE，△BEC的面积=S△BOD + S四边形ODCE，二者作差后公共部分抵消，差值正好等于两个小三角形的面积差1，据此列方程求出△ABC的总面积，即可计算△ADC的面积。
【解析】
作$DM⊥AC$于$M$，$DN⊥AB$于$N$。
∵$AD$平分$∠BAC$，$DM⊥AC$，$DN⊥AB$，
∴$DM = DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ADC} = (\frac{1}{2}AB· DN):(\frac{1}{2}AC· DM) = AB:AC = 3:4$。
设$△ ABC$的面积为$a$，则$S_{△ ADC} = \frac{4}{3+4}a = \frac{4}{7}a$。
∵$E$为$AC$的中点，
∴$S_{△ BEC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2}a$。
∵$S_{△ OAE} - S_{△ BOD} = 1$，
∴$(S_{△ OAE} + S_{四边形ODCE}) - (S_{△ BOD} + S_{四边形ODCE}) = 1$，即$S_{△ ADC} - S_{△ BEC} = 1$，
代入得：$\frac{4}{7}a - \frac{1}{2}a = 1$，
解得$a = 14$，
∴$S_{△ ADC} = \frac{4}{7}×14 = 8$。
【答案】
$8$
【知识点】
1.角平分线的性质 2.三角形面积计算 3.面积转化
【点评】
本题的解题关键是将分散的小三角形面积差转化为可直接表示的大三角形面积差，结合角平分线性质和中点的面积特性快速建立等量关系，是三角形面积类问题的典型考法，能有效锻炼学生的整体转化思维。
【难度系数】
0.6
解题首先从已知条件入手：看到AD是角平分线，联想到角平分线的性质——角平分线上的点到角两边距离相等，可得△ABD和△ADC的高相等，二者面积比等于底AB与AC的比；再结合E是AC中点，可知△BEC的面积是△ABC面积的一半；接下来处理两个小三角形的面积差，观察发现△ADC的面积=S△OAE + S四边形ODCE，△BEC的面积=S△BOD + S四边形ODCE，二者作差后公共部分抵消，差值正好等于两个小三角形的面积差1，据此列方程求出△ABC的总面积，即可计算△ADC的面积。
【解析】
作$DM⊥AC$于$M$，$DN⊥AB$于$N$。
∵$AD$平分$∠BAC$，$DM⊥AC$，$DN⊥AB$，
∴$DM = DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ADC} = (\frac{1}{2}AB· DN):(\frac{1}{2}AC· DM) = AB:AC = 3:4$。
设$△ ABC$的面积为$a$，则$S_{△ ADC} = \frac{4}{3+4}a = \frac{4}{7}a$。
∵$E$为$AC$的中点，
∴$S_{△ BEC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2}a$。
∵$S_{△ OAE} - S_{△ BOD} = 1$，
∴$(S_{△ OAE} + S_{四边形ODCE}) - (S_{△ BOD} + S_{四边形ODCE}) = 1$，即$S_{△ ADC} - S_{△ BEC} = 1$，
代入得：$\frac{4}{7}a - \frac{1}{2}a = 1$，
解得$a = 14$，
∴$S_{△ ADC} = \frac{4}{7}×14 = 8$。
【答案】
$8$
【知识点】
1.角平分线的性质 2.三角形面积计算 3.面积转化
【点评】
本题的解题关键是将分散的小三角形面积差转化为可直接表示的大三角形面积差，结合角平分线性质和中点的面积特性快速建立等量关系，是三角形面积类问题的典型考法，能有效锻炼学生的整体转化思维。
【难度系数】
0.6