6. 如图,$\triangle ABC$的角平分线AD、中线BE相交于点O,则：①AO是$\triangle ABE$的角平分线；②BO是$\triangle ABD$的中线；③DE是$\triangle ADC$的中线；④ED是$\triangle EBC$的角平分线.结论正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：B
解析：
【分析】首先明确三角形角平分线、中线的定义：三角形的角平分线是三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，核心特征是平分对应内角；三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，核心特征是经过对边的中点。结合题中给出的AD是△ABC的角平分线、BE是△ABC的中线的已知条件，逐个判断4个结论是否符合定义即可。
【解析】
先梳理已知条件：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
∵BE是△ABC的中线，
∴E是AC的中点，即AE=EC。
逐个判断结论：
①判断AO是否是△ABE的角平分线：
在△ABE中，∠BAE的平分线为AD，AD与BE交于点O，可得∠BAO=∠EAO，符合角平分线定义，故①正确；
②判断BO是否是△ABD的中线：
若BO是△ABD的中线，需满足O是AD的中点，题中仅给出AD是角平分线、BE是中线，无法证明O是AD中点，故②错误；
③判断DE是否是△ADC的中线：
△ADC的边AC的中点是E，线段DE连接顶点D和AC的中点E，符合中线的定义，故③正确；
④判断ED是否是△EBC的角平分线：
若ED是△EBC的角平分线，需满足ED平分∠BEC，题中无相关条件可证明∠BED=∠CED，故④错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线，三角形的中线
【点评】本题考查对三角形中线、角平分线定义的理解，解题关键是紧扣定义判断，不要仅凭图形直观臆断题目未给出的条件。
【难度系数】0.7
【解析】
先梳理已知条件：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
∵BE是△ABC的中线，
∴E是AC的中点，即AE=EC。
逐个判断结论：
①判断AO是否是△ABE的角平分线：
在△ABE中，∠BAE的平分线为AD，AD与BE交于点O，可得∠BAO=∠EAO，符合角平分线定义，故①正确；
②判断BO是否是△ABD的中线：
若BO是△ABD的中线，需满足O是AD的中点，题中仅给出AD是角平分线、BE是中线，无法证明O是AD中点，故②错误；
③判断DE是否是△ADC的中线：
△ADC的边AC的中点是E，线段DE连接顶点D和AC的中点E，符合中线的定义，故③正确；
④判断ED是否是△EBC的角平分线：
若ED是△EBC的角平分线，需满足ED平分∠BEC，题中无相关条件可证明∠BED=∠CED，故④错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线，三角形的中线
【点评】本题考查对三角形中线、角平分线定义的理解，解题关键是紧扣定义判断，不要仅凭图形直观臆断题目未给出的条件。
【难度系数】0.7
7. 若一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的顶点,则这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上都有可能
答案：B
解析：
【分析】
解题时首先明确题干要求：找到三条高的交点恰好是自身顶点的三角形。我们可以回忆不同类型三角形的高的交点（垂心）的位置特征，逐一排除不符合条件的选项即可：先明确锐角、钝角三角形的高的交点都不在顶点上，再验证直角三角形的高的交点特点，就能得到正确答案。
【解析】
我们分别分析三类三角形的三条高的交点位置：
1. 锐角三角形：三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部，不符合交点是顶点的要求，排除A；
2. 钝角三角形：有两条高在三角形外部，三条高的交点在三角形外部，不符合交点是顶点的要求，排除C；
3. 直角三角形：两条直角边分别是对方边上的高，这两条高的交点就是直角顶点，斜边上的高也经过该直角顶点，因此三条高的交点恰好是三角形的直角顶点，符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形垂心的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对不同类型三角形高的位置及交点特点的掌握，熟记相关结论即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干要求：找到三条高的交点恰好是自身顶点的三角形。我们可以回忆不同类型三角形的高的交点（垂心）的位置特征，逐一排除不符合条件的选项即可：先明确锐角、钝角三角形的高的交点都不在顶点上，再验证直角三角形的高的交点特点，就能得到正确答案。
【解析】
我们分别分析三类三角形的三条高的交点位置：
1. 锐角三角形：三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部，不符合交点是顶点的要求，排除A；
2. 钝角三角形：有两条高在三角形外部，三条高的交点在三角形外部，不符合交点是顶点的要求，排除C；
3. 直角三角形：两条直角边分别是对方边上的高，这两条高的交点就是直角顶点，斜边上的高也经过该直角顶点，因此三条高的交点恰好是三角形的直角顶点，符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形垂心的特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对不同类型三角形高的位置及交点特点的掌握，熟记相关结论即可快速作答。
【难度系数】
0.8
8. 如图,若AB= CD= 2 cm,AE= 3 cm,则CE的长为______cm.
答案：3
解析：
【分析】
解题时先观察图形特征，图中∠B和∠D均为直角，∠AEB与∠CED是对顶角，二者相等，再结合已知AB=CD的条件，可通过AAS判定△ABE和△CDE全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，即可得到CE与AE的等量关系，从而求出CE的长度。
【解析】
解：由图可知$∠ B=∠ D=90°$，
在$△ ABE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ D \\∠ AEB=∠ CED \mathrm{（对顶角相等）} \\AB=CD\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDE \mathrm{（AAS）}$，
$\therefore CE=AE$，
$\because AE=3\mathrm{cm}$，
$\therefore CE=3\mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是利用全等三角形求线段长度的基础题，解题的关键是挖掘图中隐含的对顶角相等、直角相等的条件，正确判定三角形全等，进而得到所求线段与已知线段的等量关系。
【难度系数】
0.85
解题时先观察图形特征，图中∠B和∠D均为直角，∠AEB与∠CED是对顶角，二者相等，再结合已知AB=CD的条件，可通过AAS判定△ABE和△CDE全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，即可得到CE与AE的等量关系，从而求出CE的长度。
【解析】
解：由图可知$∠ B=∠ D=90°$，
在$△ ABE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ D \\∠ AEB=∠ CED \mathrm{（对顶角相等）} \\AB=CD\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDE \mathrm{（AAS）}$，
$\therefore CE=AE$，
$\because AE=3\mathrm{cm}$，
$\therefore CE=3\mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是利用全等三角形求线段长度的基础题，解题的关键是挖掘图中隐含的对顶角相等、直角相等的条件，正确判定三角形全等，进而得到所求线段与已知线段的等量关系。
【难度系数】
0.85
9. 在$\triangle ABC$中,AB= AC,AD是中线,$\triangle ABC$的周长为30 cm,$\triangle ABD$的周长为20 cm,则AD的长为______.
答案：5cm
解析：
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是中线，因此根据中线定义可得BD=CD=½BC。要求AD的长，可结合两个三角形的周长关系推导：△ABD的周长为AB+BD+AD，因此只要先求出AB+BD的和，就能代入计算AD的长度。而△ABC的周长为AB+AC+BC，结合AB=AC、BC=2BD，可将△ABC的周长转化为2(AB+BD)，从而求出AB+BD的值，最后整体代入△ABD的周长公式即可求出AD。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=½BC，
∵AB=AC，△ABC的周长为30cm，
∴AB+AC+BC = 2AB + 2BD = 30cm，
∴AB + BD = 15cm，
又
∵△ABD的周长为20cm，即AB + BD + AD = 20cm，
∴AD = 20 - (AB + BD) = 20 - 15 = 5cm。
【答案】
5cm
【知识点】
三角形中线的定义；等腰三角形的性质；周长的计算
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，解题的关键是合理利用中线和等腰三角形的性质，将△ABC的周长转化为AB与BD和的2倍，通过整体代换的方法快速求出AD的长度，是三角形部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是中线，因此根据中线定义可得BD=CD=½BC。要求AD的长，可结合两个三角形的周长关系推导：△ABD的周长为AB+BD+AD，因此只要先求出AB+BD的和，就能代入计算AD的长度。而△ABC的周长为AB+AC+BC，结合AB=AC、BC=2BD，可将△ABC的周长转化为2(AB+BD)，从而求出AB+BD的值，最后整体代入△ABD的周长公式即可求出AD。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=½BC，
∵AB=AC，△ABC的周长为30cm，
∴AB+AC+BC = 2AB + 2BD = 30cm，
∴AB + BD = 15cm，
又
∵△ABD的周长为20cm，即AB + BD + AD = 20cm，
∴AD = 20 - (AB + BD) = 20 - 15 = 5cm。
【答案】
5cm
【知识点】
三角形中线的定义；等腰三角形的性质；周长的计算
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，解题的关键是合理利用中线和等腰三角形的性质，将△ABC的周长转化为AB与BD和的2倍，通过整体代换的方法快速求出AD的长度，是三角形部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图,AD是$\triangle ABC$的角平分线,DE// AB,DF// AC,EF交AD于点O,求证 DO是$\triangle DEF$的角平分线.
答案：
∵ DE // AB, DF // AC,
∴ ∠EDA = ∠DAB, ∠EAD = ∠ADF.
∵ AD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠EAD = ∠DAB,
∴ ∠EDA = ∠ADF,
∴ DO 是△DEF 的角平分线.
∵ DE // AB, DF // AC,
∴ ∠EDA = ∠DAB, ∠EAD = ∠ADF.
∵ AD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠EAD = ∠DAB,
∴ ∠EDA = ∠ADF,
∴ DO 是△DEF 的角平分线.
解析：
【分析】
要证明DO是△DEF的角平分线，根据角平分线的定义，只需证明∠EDA=∠ADF即可。首先结合已知的两组平行条件，利用“两直线平行，内错角相等”的性质，可得到∠EDA=∠DAB、∠EAD=∠ADF；再根据AD是△ABC的角平分线，可得∠EAD=∠DAB，最后通过等量代换即可证明∠EDA=∠ADF，从而得出结论。
【解析】
证明：
∵ DE // AB，DF // AC，
∴ ∠EDA = ∠DAB（两直线平行，内错角相等），∠EAD = ∠ADF（两直线平行，内错角相等）。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAD = ∠DAB（角平分线的定义），
∴ ∠EDA = ∠ADF（等量代换），
∴ DO是△DEF的角平分线（角平分线的定义）。
【答案】
∵ DE // AB, DF // AC,
∴ ∠EDA = ∠DAB, ∠EAD = ∠ADF.
∵ AD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠EAD = ∠DAB,
∴ ∠EDA = ∠ADF,
∴ DO 是△DEF 的角平分线.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题是基础的几何证明题，主要考察平行线性质与角平分线定义的综合应用，解题的关键是利用平行线的内错角相等完成角的转化，掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明DO是△DEF的角平分线，根据角平分线的定义，只需证明∠EDA=∠ADF即可。首先结合已知的两组平行条件，利用“两直线平行，内错角相等”的性质，可得到∠EDA=∠DAB、∠EAD=∠ADF；再根据AD是△ABC的角平分线，可得∠EAD=∠DAB，最后通过等量代换即可证明∠EDA=∠ADF，从而得出结论。
【解析】
证明：
∵ DE // AB，DF // AC，
∴ ∠EDA = ∠DAB（两直线平行，内错角相等），∠EAD = ∠ADF（两直线平行，内错角相等）。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠EAD = ∠DAB（角平分线的定义），
∴ ∠EDA = ∠ADF（等量代换），
∴ DO是△DEF的角平分线（角平分线的定义）。
【答案】
∵ DE // AB, DF // AC,
∴ ∠EDA = ∠DAB, ∠EAD = ∠ADF.
∵ AD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠EAD = ∠DAB,
∴ ∠EDA = ∠ADF,
∴ DO 是△DEF 的角平分线.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题是基础的几何证明题，主要考察平行线性质与角平分线定义的综合应用，解题的关键是利用平行线的内错角相等完成角的转化，掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11. 已知AD,AE分别是$\triangle ABC$的高和中线,BE= 6,CD= 4,求DE的长.
答案：当△ABC 是锐角三角形时,如图①,
∵ AD,AE 分别是△ABC 的高和中线,BE=6,CD=4,
∴ EC=BE=6,
∴ DE=EC-DC=6-4=2;当△ABC 是钝角三角形时,如图②,
∵ AD,AE 分别是△ABC 的高和中线,BE=6,CD=4,
∴ EC=BE=6,
∴ DE=EC+DC=6+4=10.综上所述,DE 的长为 2 或 10.
∵ AD,AE 分别是△ABC 的高和中线,BE=6,CD=4,
∴ EC=BE=6,
∴ DE=EC-DC=6-4=2;当△ABC 是钝角三角形时,如图②,
∵ AD,AE 分别是△ABC 的高和中线,BE=6,CD=4,
∴ EC=BE=6,
∴ DE=EC+DC=6+4=10.综上所述,DE 的长为 2 或 10.
解析：
【分析】
题目未明确△ABC的形状，而三角形的高的位置会随三角形类型发生变化：锐角三角形的高都在内部，钝角三角形有两条高在外部，因此需要分类讨论求解。首先利用三角形中线的性质，中线平分对边可得EC=BE=6，再结合不同情况下点D的位置，即可计算DE的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC是锐角三角形时：
∵AD、AE分别是△ABC的高和中线，BE=6，CD=4，
∴E是BC的中点，即EC=BE=6，
此时高AD在△ABC内部，点D在线段EC上，
∴DE=EC - CD=6 - 4=2；
2. 当△ABC是钝角三角形时：
∵AD、AE分别是△ABC的高和中线，BE=6，CD=4，
∴E是BC的中点，即EC=BE=6，
此时高AD在△ABC外部，点D在线段BC的延长线上，
∴DE=EC + CD=6 + 4=10。
综上所述，DE的长为2或10。
【答案】
2或10
【知识点】
三角形中线的性质；三角形高的定义；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略三角形形状的不确定性，仅考虑高在三角形内部的情况导致漏解，解题时要结合高的位置特征全面分析，分情况计算。
【难度系数】
0.6
题目未明确△ABC的形状，而三角形的高的位置会随三角形类型发生变化：锐角三角形的高都在内部，钝角三角形有两条高在外部，因此需要分类讨论求解。首先利用三角形中线的性质，中线平分对边可得EC=BE=6，再结合不同情况下点D的位置，即可计算DE的长度。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC是锐角三角形时：
∵AD、AE分别是△ABC的高和中线，BE=6，CD=4，
∴E是BC的中点，即EC=BE=6，
此时高AD在△ABC内部，点D在线段EC上，
∴DE=EC - CD=6 - 4=2；
2. 当△ABC是钝角三角形时：
∵AD、AE分别是△ABC的高和中线，BE=6，CD=4，
∴E是BC的中点，即EC=BE=6，
此时高AD在△ABC外部，点D在线段BC的延长线上，
∴DE=EC + CD=6 + 4=10。
综上所述，DE的长为2或10。
【答案】
2或10
【知识点】
三角形中线的性质；三角形高的定义；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略三角形形状的不确定性，仅考虑高在三角形内部的情况导致漏解，解题时要结合高的位置特征全面分析，分情况计算。
【难度系数】
0.6
12. 几何直观·推理能力 (1)如图①,D,O分别是线段BC,AD的中点,连接BO和CO,设$\triangle ABC$的面积为S,$\triangle ABO的面积为S_1,$用含S的代数式表示$S_1,$并说明理由；
(2)如图②,$\triangle ABC$三边的中线AD,BE,CF相交于点G,若$S_{\triangle ABC}= 18,$则图中阴影部分的面积为______.
(2)如图②,$\triangle ABC$三边的中线AD,BE,CF相交于点G,若$S_{\triangle ABC}= 18,$则图中阴影部分的面积为______.
答案：
(1)$S_{1}=\frac{1}{4}S$.理由:
∵ AD 为△ABC 中 BC 边上的中线,
∴ BD = CD,
∴ $S_{\triangle ADB}=S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$, 同理 $S_{\triangle ABO}=S_{\triangle DBO}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADB}$,
∴ $S_{\triangle ABO}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$, 即 $S_{1}=\frac{1}{4}S$.
(2)6
(1)$S_{1}=\frac{1}{4}S$.理由:
∵ AD 为△ABC 中 BC 边上的中线,
∴ BD = CD,
∴ $S_{\triangle ADB}=S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$, 同理 $S_{\triangle ABO}=S_{\triangle DBO}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADB}$,
∴ $S_{\triangle ABO}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$, 即 $S_{1}=\frac{1}{4}S$.
(2)6
解析：
【分析】
(1) 解题思路：依据“三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的三角形”这一性质求解。首先利用D是BC中点，得到AD是△ABC的中线，可推出△ABD的面积是△ABC面积的一半；再利用O是AD中点，得到BO是△ABD的中线，可推出△ABO的面积是△ABD面积的一半，两次运用中线的面积性质即可得到$S_1$和$S$的关系。
(2) 解题思路：三角形三条中线的交点为重心，重心可将原三角形分成6个面积相等的小三角形，先计算单个小三角形的面积，再结合阴影部分包含2个小三角形，求和即可得到阴影总面积。
【解析】
(1) $S_1=\frac{1}{4}S$，理由如下：
∵ D是BC的中点，即AD是△ABC中BC边上的中线，
∴ $BD=CD$，△ABD和△ACD等底同高，
∴ $S_{△ ADB}=S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S$，
又
∵ O是AD的中点，即BO是△ABD中AD边上的中线，
同理可得 $S_{△ ABO}=S_{△ DBO}=\frac{1}{2}S_{△ ADB}$，
∴ $S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}S$，即$S_1=\frac{1}{4}S$。
(2)
∵ AD、BE、CF是△ABC的三条中线，交点G是△ABC的重心，
∴ 三条中线将△ABC分成6个面积相等的小三角形，
每个小三角形的面积为：$18÷6=3$，
图中阴影部分包含2个小三角形，
∴ 阴影部分面积为 $3×2=6$。
【答案】
(1) $S_1=\frac{1}{4}S$，理由见解析；
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
1. 三角形中线的面积性质
2. 三角形重心的性质
【点评】
本题核心考查与三角形中线相关的面积计算，解题的关键是理解“等底同高的三角形面积相等”，灵活通过中线推导面积比例。第二问熟悉重心分三角形为6个等面积小三角形的结论可快速求解，属于几何面积的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：依据“三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的三角形”这一性质求解。首先利用D是BC中点，得到AD是△ABC的中线，可推出△ABD的面积是△ABC面积的一半；再利用O是AD中点，得到BO是△ABD的中线，可推出△ABO的面积是△ABD面积的一半，两次运用中线的面积性质即可得到$S_1$和$S$的关系。
(2) 解题思路：三角形三条中线的交点为重心，重心可将原三角形分成6个面积相等的小三角形，先计算单个小三角形的面积，再结合阴影部分包含2个小三角形，求和即可得到阴影总面积。
【解析】
(1) $S_1=\frac{1}{4}S$，理由如下：
∵ D是BC的中点，即AD是△ABC中BC边上的中线，
∴ $BD=CD$，△ABD和△ACD等底同高，
∴ $S_{△ ADB}=S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S$，
又
∵ O是AD的中点，即BO是△ABD中AD边上的中线，
同理可得 $S_{△ ABO}=S_{△ DBO}=\frac{1}{2}S_{△ ADB}$，
∴ $S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}S$，即$S_1=\frac{1}{4}S$。
(2)
∵ AD、BE、CF是△ABC的三条中线，交点G是△ABC的重心，
∴ 三条中线将△ABC分成6个面积相等的小三角形，
每个小三角形的面积为：$18÷6=3$，
图中阴影部分包含2个小三角形，
∴ 阴影部分面积为 $3×2=6$。
【答案】
(1) $S_1=\frac{1}{4}S$，理由见解析；
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
1. 三角形中线的面积性质
2. 三角形重心的性质
【点评】
本题核心考查与三角形中线相关的面积计算，解题的关键是理解“等底同高的三角形面积相等”，灵活通过中线推导面积比例。第二问熟悉重心分三角形为6个等面积小三角形的结论可快速求解，属于几何面积的基础题型。
【难度系数】
0.7