9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,求它的底角的度数.
答案：分两种情况:
①如图①,AB=AC,BD⊥AC,∠ABD=30°,
∴∠A=60°,
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=60°;
②如图②,AB=AC,BD⊥AC交CA的延长线于点D,∠ABD=30°,
∴∠DAB=60°,∠BAC=120°,
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=30°.
∴等腰三角形底角的度数为30°或60°.
①如图①,AB=AC,BD⊥AC,∠ABD=30°,
∴∠A=60°,
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=60°;
②如图②,AB=AC,BD⊥AC交CA的延长线于点D,∠ABD=30°,
∴∠DAB=60°,∠BAC=120°,
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=30°.
∴等腰三角形底角的度数为30°或60°.
解析：
【分析】
本题未明确等腰三角形的类型，腰上的高的位置存在两种可能：高在三角形内部（对应锐角等腰三角形）、高在三角形外部（对应钝角等腰三角形，高落在腰的延长线上），因此需要分类讨论。解题时先结合直角三角形两锐角互余求出顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当等腰三角形为锐角三角形时，AB=AC，BD⊥AC于D，∠ABD=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴∠A=90°-∠ABD=90°-30°=60°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，得$∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-60°)=60°$。
②当等腰三角形为钝角三角形时，AB=AC，BD⊥AC交CA的延长线于点D，∠ABD=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°-∠ABD=90°-30°=60°，
∴顶角∠BAC=180°-∠DAB=180°-60°=120°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，得$∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
【答案】
30°或60°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题的关键是明确高的位置存在两种情况，易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时要注意结合图形分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
本题未明确等腰三角形的类型，腰上的高的位置存在两种可能：高在三角形内部（对应锐角等腰三角形）、高在三角形外部（对应钝角等腰三角形，高落在腰的延长线上），因此需要分类讨论。解题时先结合直角三角形两锐角互余求出顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当等腰三角形为锐角三角形时，AB=AC，BD⊥AC于D，∠ABD=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴∠A=90°-∠ABD=90°-30°=60°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，得$∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-60°)=60°$。
②当等腰三角形为钝角三角形时，AB=AC，BD⊥AC交CA的延长线于点D，∠ABD=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°-∠ABD=90°-30°=60°，
∴顶角∠BAC=180°-∠DAB=180°-60°=120°。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，得$∠ C=∠ ABC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
【答案】
30°或60°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题的关键是明确高的位置存在两种情况，易错点是忽略高在三角形外部的情况导致漏解，解题时要注意结合图形分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
10. 在△ABC中,AB= AC,AC的垂直平分线与AB所在直线相交所得的锐角为40°,求∠C的度数.
答案：①当△ABC为锐角三角形时,如图①,设AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.
∵∠ADE=40°,DE⊥AC,
∴∠A=90°−40°=50°.
∵AB=AC,
∴∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=65°;
②当△ABC为钝角三角形时,如图②,设AC的垂直平分线交AC于点E,交BA的延长线于点D.
∵∠ADE=40°,DE⊥AC,
∴∠DAC=50°,
∴∠BAC=130°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=25°.
综上可知,∠C的度数为65°或25°.
∵∠ADE=40°,DE⊥AC,
∴∠A=90°−40°=50°.
∵AB=AC,
∴∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=65°;
②当△ABC为钝角三角形时,如图②,设AC的垂直平分线交AC于点E,交BA的延长线于点D.
∵∠ADE=40°,DE⊥AC,
∴∠DAC=50°,
∴∠BAC=130°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=25°.
综上可知,∠C的度数为65°或25°.
解析：
【分析】
题目中AC的垂直平分线是与AB所在直线相交，并非仅与线段AB相交，因此交点位置存在两种情况：①交点在线段AB上，此时△ABC为锐角三角形；②交点在BA的延长线上，此时△ABC为钝角三角形，需分类讨论求解。解题时先根据垂直平分线的垂直关系，结合直角三角形两锐角互余求出顶角∠BAC的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，即可计算出底角∠C的度数。
【解析】
①当△ABC为锐角三角形时，设AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E。
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DE⊥AC，即∠AED=90°，
已知∠ADE=40°，在Rt△ADE中，∠A=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
根据三角形内角和为180°，得∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−50°)=65°；
②当△ABC为钝角三角形时，设AC的垂直平分线交AC于点E，交BA的延长线于点D。
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DE⊥AC，即∠AED=90°，
已知∠ADE=40°，在Rt△ADE中，∠DAC=90°−40°=50°，
∴∠BAC=180°−∠DAC=180°−50°=130°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
根据三角形内角和为180°，得∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°。
综上，∠C的度数为65°或25°。
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略“所在直线”的表述，仅考虑交点在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意审题，全面考虑几何图形的多种存在情况，结合相关性质分类计算。
【难度系数】
0.5
题目中AC的垂直平分线是与AB所在直线相交，并非仅与线段AB相交，因此交点位置存在两种情况：①交点在线段AB上，此时△ABC为锐角三角形；②交点在BA的延长线上，此时△ABC为钝角三角形，需分类讨论求解。解题时先根据垂直平分线的垂直关系，结合直角三角形两锐角互余求出顶角∠BAC的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，即可计算出底角∠C的度数。
【解析】
①当△ABC为锐角三角形时，设AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E。
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DE⊥AC，即∠AED=90°，
已知∠ADE=40°，在Rt△ADE中，∠A=90°−40°=50°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
根据三角形内角和为180°，得∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−50°)=65°；
②当△ABC为钝角三角形时，设AC的垂直平分线交AC于点E，交BA的延长线于点D。
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DE⊥AC，即∠AED=90°，
已知∠ADE=40°，在Rt△ADE中，∠DAC=90°−40°=50°，
∴∠BAC=180°−∠DAC=180°−50°=130°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
根据三角形内角和为180°，得∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°−130°)=25°。
综上，∠C的度数为65°或25°。
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略“所在直线”的表述，仅考虑交点在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意审题，全面考虑几何图形的多种存在情况，结合相关性质分类计算。
【难度系数】
0.5
11. 如图,已知△ABC中,AB= 3,AC= 5,BC= 7,在△ABC所在平面内有一条直线将△ABC分割成两个三角形,使其中有一个边长为3的等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.5条
B.4条
C.3条
D.2条
A.5条
B.4条
C.3条
D.2条
答案：B
解析：
【分析】
解题时需围绕“边长为3的等腰三角形”这一核心条件分类讨论，已知△ABC中只有AB=3，因此分两种情况分析：一是3为等腰三角形的腰，二是3为等腰三角形的底，逐一寻找所有符合要求的分割线，避免漏解或重复。
【解析】
我们分两类情况讨论符合要求的分割线：
1. 当AB（长度为3）为等腰三角形的腰时：
① 以A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，此时AD=AB=3，△ABD是腰长为3的等腰三角形，BD为符合要求的分割线；
② 以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，连接AE，此时BE=AB=3，△ABE是腰长为3的等腰三角形，AE为符合要求的分割线；
2. 当AB（长度为3）为等腰三角形的底时：
① 作AB的垂直平分线，交AC于点F，连接BF，由垂直平分线性质得AF=BF，△ABF是底长为3的等腰三角形，BF为符合要求的分割线；
② 作AB的垂直平分线，交BC于点G，连接AG，由垂直平分线性质得AG=BG，△ABG是底长为3的等腰三角形，AG为符合要求的分割线。
综上，共有4条符合要求的直线，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题侧重考查等腰三角形的判定方法，需要熟练运用分类讨论思想，按照腰、底两种情况逐一分析所有可能的交点位置，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时需围绕“边长为3的等腰三角形”这一核心条件分类讨论，已知△ABC中只有AB=3，因此分两种情况分析：一是3为等腰三角形的腰，二是3为等腰三角形的底，逐一寻找所有符合要求的分割线，避免漏解或重复。
【解析】
我们分两类情况讨论符合要求的分割线：
1. 当AB（长度为3）为等腰三角形的腰时：
① 以A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，此时AD=AB=3，△ABD是腰长为3的等腰三角形，BD为符合要求的分割线；
② 以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，连接AE，此时BE=AB=3，△ABE是腰长为3的等腰三角形，AE为符合要求的分割线；
2. 当AB（长度为3）为等腰三角形的底时：
① 作AB的垂直平分线，交AC于点F，连接BF，由垂直平分线性质得AF=BF，△ABF是底长为3的等腰三角形，BF为符合要求的分割线；
② 作AB的垂直平分线，交BC于点G，连接AG，由垂直平分线性质得AG=BG，△ABG是底长为3的等腰三角形，AG为符合要求的分割线。
综上，共有4条符合要求的直线，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题侧重考查等腰三角形的判定方法，需要熟练运用分类讨论思想，按照腰、底两种情况逐一分析所有可能的交点位置，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
12. 正方形网格中,网格线的交点称为格点.如图,已知A,B是两格点,使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.8
A.4
B.5
C.6
D.8
答案：C
解析：
【分析】
要找出使得△ABC为等腰三角形的格点C，需按照等腰三角形顶点的不同分三类讨论：①以A为顶点，AB为腰；②以B为顶点，AB为腰；③以C为顶点，AB为底边。分别在网格中筛选符合条件的格点，排除无法构成三角形的情况，最后汇总数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令A(2,0)，B(3,1)，由勾股定理得$AB=\sqrt{(3-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$。
1. 当AB为腰、A为顶点时，需满足$AC=AB=\sqrt{2}$，符合条件的格点C为(1,1)，共1个（点B本身舍去）；
2. 当AB为腰、B为顶点时，需满足$BC=AB=\sqrt{2}$，符合条件的格点C为(2,2)，共1个（点A本身舍去）；
3. 当AB为底边时，需满足$AC=BC$，即点C在AB的垂直平分线上。AB的中点为(2.5,0.5)，AB的斜率为1，故垂直平分线斜率为-1，解析式为$y=-x+3$，网格中满足该解析式的格点有(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)，共4个，均不与A、B共线，可构成三角形。
综上，符合条件的格点C共有$1+1+4=6$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；勾股定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时要注意分类讨论的全面性，避免漏解，同时要验证三点是否共线，确认可以构成三角形后再计数。
【难度系数】
0.6
要找出使得△ABC为等腰三角形的格点C，需按照等腰三角形顶点的不同分三类讨论：①以A为顶点，AB为腰；②以B为顶点，AB为腰；③以C为顶点，AB为底边。分别在网格中筛选符合条件的格点，排除无法构成三角形的情况，最后汇总数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令A(2,0)，B(3,1)，由勾股定理得$AB=\sqrt{(3-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$。
1. 当AB为腰、A为顶点时，需满足$AC=AB=\sqrt{2}$，符合条件的格点C为(1,1)，共1个（点B本身舍去）；
2. 当AB为腰、B为顶点时，需满足$BC=AB=\sqrt{2}$，符合条件的格点C为(2,2)，共1个（点A本身舍去）；
3. 当AB为底边时，需满足$AC=BC$，即点C在AB的垂直平分线上。AB的中点为(2.5,0.5)，AB的斜率为1，故垂直平分线斜率为-1，解析式为$y=-x+3$，网格中满足该解析式的格点有(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)，共4个，均不与A、B共线，可构成三角形。
综上，符合条件的格点C共有$1+1+4=6$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；勾股定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，解题时要注意分类讨论的全面性，避免漏解，同时要验证三点是否共线，确认可以构成三角形后再计数。
【难度系数】
0.6
13. (绍兴中考)如图,在△ABC中,AB= AC,∠B= 70°,以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC于点P,连接AP,求∠BAP的度数.
答案：如图,当点P在点B的左侧时，
∵AB=AC,∠ABC=70°,
∴∠ACB=∠ABC=70°,
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−70°−70°=40°.
∵CA=CP₁,
∴∠CAP₁=∠CP₁A=$\frac{180° - ∠ACP₁}{2}$=$\frac{180° - 70°}{2}$=55°,
∴∠BAP₁=∠CAP₁−∠CAB=55°−40°=15°;
当点P在点C的右侧时,
∵AB=AC,∠ABC=70°,
∴∠ACB=∠ABC=70°,
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−70°−70°=40°.
∵CA=CP₂,
∴∠CAP₂=∠CP₂A=$\frac{∠ACB}{2}$=$\frac{70°}{2}$=35°,
∴∠BAP₂=∠CAP₂+∠CAB=35°+40°=75°.
综上可得,∠BAP的度数是15°或75°.
∵AB=AC,∠ABC=70°,
∴∠ACB=∠ABC=70°,
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−70°−70°=40°.
∵CA=CP₁,
∴∠CAP₁=∠CP₁A=$\frac{180° - ∠ACP₁}{2}$=$\frac{180° - 70°}{2}$=55°,
∴∠BAP₁=∠CAP₁−∠CAB=55°−40°=15°;
当点P在点C的右侧时,
∵AB=AC,∠ABC=70°,
∴∠ACB=∠ABC=70°,
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−70°−70°=40°.
∵CA=CP₂,
∴∠CAP₂=∠CP₂A=$\frac{∠ACB}{2}$=$\frac{70°}{2}$=35°,
∴∠BAP₂=∠CAP₂+∠CAB=35°+40°=75°.
综上可得,∠BAP的度数是15°或75°.
解析：
【分析】
解题时首先要注意题干中“交直线BC于点P”的表述，直线没有端点，因此点P存在两种位置：①点P在点B的左侧；②点P在点C的右侧，需分类讨论求解。第一步先根据等腰三角形AB=AC的等边对等角性质，结合已知∠B的度数，求出∠ACB和顶角∠BAC的度数；第二步再根据CA=CP得到△CAP为等腰三角形，利用等边对等角和三角形内角和定理求出对应角的度数；第三步结合角的和差关系分别计算两种情况下∠BAP的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在点B的左侧时：
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°（等腰三角形等边对等角），
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−70°−70°=40°（三角形内角和为180°）。
∵CA=CP₁，
∴∠CAP₁=∠CP₁A=$\frac{180° - ∠ACP₁}{2}$=$\frac{180° - 70°}{2}$=55°，
∴∠BAP₁=∠CAP₁−∠CAB=55°−40°=15°。
2. 当点P在点C的右侧时：
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−70°−70°=40°。
∵CA=CP₂，∠ACP₂=180°-∠ACB=180°-70°=110°，
∴∠CAP₂=∠CP₂A=$\frac{180° - ∠ACP₂}{2}$=$\frac{180° - 110°}{2}$=35°，
∴∠BAP₂=∠CAP₂+∠CAB=35°+40°=75°。
【答案】
15°或75°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的常见题型，易错点是忽略“直线BC”的条件，仅考虑点P在线段BC上的情况导致漏解。解题时要仔细审题，遇到位置不明确的情况要主动考虑分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意题干中“交直线BC于点P”的表述，直线没有端点，因此点P存在两种位置：①点P在点B的左侧；②点P在点C的右侧，需分类讨论求解。第一步先根据等腰三角形AB=AC的等边对等角性质，结合已知∠B的度数，求出∠ACB和顶角∠BAC的度数；第二步再根据CA=CP得到△CAP为等腰三角形，利用等边对等角和三角形内角和定理求出对应角的度数；第三步结合角的和差关系分别计算两种情况下∠BAP的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在点B的左侧时：
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°（等腰三角形等边对等角），
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−70°−70°=40°（三角形内角和为180°）。
∵CA=CP₁，
∴∠CAP₁=∠CP₁A=$\frac{180° - ∠ACP₁}{2}$=$\frac{180° - 70°}{2}$=55°，
∴∠BAP₁=∠CAP₁−∠CAB=55°−40°=15°。
2. 当点P在点C的右侧时：
∵AB=AC，∠ABC=70°，
∴∠ACB=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=180°−70°−70°=40°。
∵CA=CP₂，∠ACP₂=180°-∠ACB=180°-70°=110°，
∴∠CAP₂=∠CP₂A=$\frac{180° - ∠ACP₂}{2}$=$\frac{180° - 110°}{2}$=35°，
∴∠BAP₂=∠CAP₂+∠CAB=35°+40°=75°。
【答案】
15°或75°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的常见题型，易错点是忽略“直线BC”的条件，仅考虑点P在线段BC上的情况导致漏解。解题时要仔细审题，遇到位置不明确的情况要主动考虑分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6