【分析】
要证明$AD＜\frac{1}{2}(AB+AC)$，可先将不等式变形为$2AD＜AB+AC$，因此需要构造出长度等于$2AD$的线段。结合AD是BC边上的中线的条件，我们可以采用倍长中线的辅助线做法：延长AD到点E，使$DE=AD$，此时$AE=2AD$；再通过证明$△ ACD$和$△ EBD$全等，将AC转化为和AB、AE共三角形的BE，最后利用三角形三边关系即可推导得到结论。
【解析】
证明：延长AD至E，使$DE = AD$，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴$DC=DB$。
在$△ ACD$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}DC=DB \\∠ ADC=∠ EDB \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\AD=ED\end{cases}$
∴$△ ACD≌△ EBD(\mathrm{SAS})$，
∴$AC = BE$（全等三角形对应边相等）。
在$△ ABE$中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$AE＜AB + BE$，
又
∵$AE=AD+DE=2AD$，$BE=AC$，
代入得$2AD＜AB + AC$，
不等式两边同时除以2，得$AD＜\frac{1}{2}(AB + AC)$，原式得证。
【答案】
如图,延长AD至E,使DE = AD,连接BE.在△ACD和△EBD中,$\{\begin{array}{l} DC=DB,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ AD=ED,\end{array} $
∴△ACD≌△EBD(SAS),
∴AC = BE.
在△ABE中,由三角形的三边关系可得AE＜AB + BE,即2AD＜AB + AC,
∴AD＜$\frac{1}{2}$(AB + AC).

【知识点】
倍长中线辅助线；SAS判定全等；三角形三边关系
【点评】
本题是利用构造全等三角形证明线段不等关系的典型题目，解题核心是通过倍长中线的辅助线技巧，将原本分散的三条线段转移到同一个三角形中，再借助三角形三边关系完成证明，熟练掌握倍长中线这一常用辅助线方法，能快速解决此类与三角形中线相关的证明问题。
【难度系数】
0.6

【分析】
要证明DE=2AM，观察到待证结论是线段的两倍关系，且已知M为BC的中点，优先考虑用倍长中线法构造全等三角形，将2AM转化为一条完整的线段AN，再证明AN与DE相等即可。具体思考路径：首先延长AM到N，使MN=AM，先通过SAS证明△AMC≌△NMB，得到AC=BN以及角的等量关系，再结合已知的AB⊥AE、AD⊥AC的垂直条件，推导∠EAD与∠ABN相等，最后通过SAS证明△EAD≌△ABN，即可得到DE=AN=2AM。
【解析】
延长AM至N，使MN = AM，连接BN。
∵点M为BC的中点，
∴CM = BM。
在△AMC和△NMB中：
$\begin{cases} AM=NM, \\ ∠AMC=∠NMB, \\ CM=BM, \end{cases}$
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴AC = BN，∠C = ∠NBM。
∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠EAB = ∠DAC = 90°，
∴∠EAD + ∠BAC = 360° - ∠EAB - ∠DAC = 180°。
又
∵∠ABN = ∠ABC + ∠NBM = ∠ABC + ∠C = 180°−∠BAC，
∴∠ABN = ∠EAD。
在△EAD和△ABN中：
$\begin{cases} AE=BA, \\ ∠EAD=∠ABN, \\ AD=BN, \end{cases}$
∴△EAD≌△ABN（SAS），
∴DE = AN = 2AM。
【答案】
如图,延长AM至N,使MN = AM,连接BN.
∵点M为BC的中点,
∴CM = BM.在△AMC和△NMB中,$\{\begin{array}{l} AM=NM,\\ ∠AMC=∠NMB,\\ CM=BM,\end{array} $
∴△AMC≌△NMB(SAS),
∴AC = BN,∠C = ∠NBM.
∵AB⊥AE,AD⊥AC,
∴∠EAB = ∠DAC = 90°,
∴∠EAD + ∠BAC = 180°,
∴∠ABN = ∠ABC + ∠C = 180°−∠BAC = ∠EAD.
在△EAD和△ABN中,$\{\begin{array}{l} AE=BA,\\ ∠EAD=∠ABN,\\ AD=BN,\end{array} $
∴△EAD≌△ABN(SAS),DE = AN = 2AM.

【知识点】
倍长中线法；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是构造全等三角形证明线段数量关系的典型习题，核心是利用倍长中线的辅助线，将两倍线段的证明问题转化为两条线段相等的证明问题，通过两次全等三角形的推导即可得到结论，解题时要注意结合垂直的性质推导角的等量关系，实现条件的转化。
【难度系数】
0.6

【分析】
要证明BE+CF＞EF，这类线段和的不等关系通常借助三角形三边关系“两边之和大于第三边”证明，但BE、CF、EF不在同一个三角形中，需要通过辅助线转化线段：已知D是BC中点，可采用倍长线段的思路，延长FD到G使DG=DF，先构造△CDF和△BDG全等，将CF转化为BG；再结合DE⊥DF的条件，证明△EDF和△EDG全等，将EF转化为EG，此时BE、BG、EG同属△BEG，即可用三边关系证明结论。
【解析】
证明：延长FD到点G，使DG = DF，连接EG，BG。
∵点D是BC边上的中点，
∴CD = BD。
在△CDF和△BDG中：
$\{\begin{array}{l} CD=BD\\ ∠CDF=∠BDG\\ DF=DG\end{array} $
∴△CDF≌△BDG（SAS），可得CF = BG。
∵DE⊥DF，
∴∠EDF = ∠EDG = 90°。
在△EDF和△EDG中：
$\{\begin{array}{l} DF=DG\\ ∠EDF=∠EDG\\ ED=ED\end{array} $
∴△EDF≌△EDG（SAS），可得EF = EG。
根据三角形三边关系，在△BEG中BE + BG＞EG，将BG替换为CF、EG替换为EF，即可得BE + CF＞EF。
【答案】
如图,延长FD到点G,使DG = DF,连接EG,BG.
∵点D是BC边上的中点,
∴CD = BD.在△CDF和△BDG中,$\{\begin{array}{l} CD=BD,\\ ∠CDF=∠BDG,\\ DF=DG,\end{array} $
∴△CDF≌△BDG(SAS),
∴CF = BG.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF = ∠EDG.在△EDF和△EDG中,$\{\begin{array}{l} DF=DG,\\ ∠EDF=∠EDG,\\ ED=ED,\end{array} $
∴△EDF≌△EDG(SAS),
∴EF = EG.
∵BE + BG＞EG,
∴BE + CF＞EF.

【知识点】
全等三角形判定与性质；三角形三边关系；构造全等辅助线
【点评】
本题是典型的构造全等证明线段不等关系的题型，解题核心是通过倍长线段构造全等，将分散的待研究线段转化到同一个三角形中，结合三角形三边关系完成证明，能帮助学生掌握转化思想和常用辅助线的添加方法。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证明线段CD=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知CD⊥AB、BE⊥AC可得两个直角相等，结合公共角∠A和已知条件AB=AC，可利用AAS判定△ACD与△ABE全等，进而得到对应边相等。
(2) CD与BE仍相等。本题没有直接的全等条件，可通过作辅助线构造直角三角形：分别过C作CF⊥AB于F，过B作BG⊥AC于G，先沿用(1)的思路证明CF=BG，再结合∠ADC+∠AEB=180°推出∠ADC=∠BEG，再次利用AAS证明△CFD与△BGE全等，即可得到CD=BE。
【解析】
(1) 证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC = ∠AEB = 90°。
在△ACD和△ABE中：
$\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠AEB,\\ ∠A=∠A,\\ AC=AB,\end{array} $
∴△ACD≌△ABE(AAS)，
∴CD = BE。
(2) CD与BE仍相等，证明如下：
作CF⊥AB于F，BG⊥AC于G，
同(1)的证明方法可证△ACF≌△ABG(AAS)，
∴CF = BG。
∵∠ADC + ∠AEB = 180°，∠BEG + ∠AEB = 180°，
∴∠ADC = ∠BEG。
在△CFD和△BGE中：
$\{\begin{array}{l} ∠FDC=∠GEB,\\ ∠CFD=∠BGE=90°,\\ CF=BG,\end{array} $
∴△CFD≌△BGE(AAS)，
∴CD = BE。
【答案】
(1)
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC = ∠AEB = 90°.在△ACD和△ABE中,$\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠AEB,\\ ∠A=∠A,\\ AC=AB,\end{array} $
∴△ACD≌△ABE(AAS),
∴CD = BE.
(2)相等.证明如下:作CF⊥AB于F,BG⊥AC于G,如图,同(1)可证△ACF≌△ABG(AAS),
∴CF = BG.
∵∠ADC + ∠AEB = 180°,∠BEG + ∠AEB = 180°,
∴∠ADC = ∠BEG.在△CFD和△BGE中,$\{\begin{array}{l} ∠FDC=∠GEB,\\ ∠CFD=∠BGE,\\ CF=BG,\end{array} $
∴△CFD≌△BGE(AAS),
∴CD = BE.

【知识点】
全等三角形的判定与性质、构造辅助线证全等、补角的性质
【点评】
本题层层递进，第一问是基础的全等证明，直接利用已知条件即可求解；第二问需要通过作垂线构造全等三角形，将未知问题转化为已解决的基础模型，体现了转化的数学思想，解题关键是合理添加辅助线，建立已知和待证结论的关联。
【难度系数】
0.7