5. 如图,已知$AD // BC$,$\angle PAB的平分线与\angle CBA$的平分线相交于 E,连接 CE 并延长交 AP 于点 D.求证:$AD+BC = AB$.(提示:在 AB 上截取$AF= AD$)
答案：在AB上截取AF = AD,连接EF.
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE = ∠FAE.在△DAE和△FAE中,$\left\{\begin{array}{l} AD=AF,\\ ∠DAE=∠FAE,\\ AE=AE,\end{array}\right. $
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE = ∠ADE.
∵AD//BC,
∴∠ADE + ∠C = 180°.
∵∠AFE + ∠EFB = 180°,
∴∠EFB = ∠C.
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF = ∠EBC.在△BEF和△BEC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EFB=∠C,\\ ∠EBF=∠EBC,\\ BE=BE,\end{array}\right. $
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BF = BC.
∴AD + BC = AF + BF = AB.
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE = ∠FAE.在△DAE和△FAE中,$\left\{\begin{array}{l} AD=AF,\\ ∠DAE=∠FAE,\\ AE=AE,\end{array}\right. $
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE = ∠ADE.
∵AD//BC,
∴∠ADE + ∠C = 180°.
∵∠AFE + ∠EFB = 180°,
∴∠EFB = ∠C.
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF = ∠EBC.在△BEF和△BEC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠EFB=∠C,\\ ∠EBF=∠EBC,\\ BE=BE,\end{array}\right. $
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BF = BC.
∴AD + BC = AF + BF = AB.
解析：
【分析】
要证明$AD+BC=AB$，属于线段和差类证明问题，通常采用截长补短法求解。题目已给出提示在$AB$上截取$AF=AD$，首先可利用角平分线的条件证明$△ DAE$和$△ FAE$全等，将$AD$转化为$AF$；接下来再结合平行线同旁内角互补的性质推导角的等量关系，证明$△ BEF$和$△ BEC$全等，得到$BF=BC$，最后通过线段和的关系即可完成证明。
【解析】
在$AB$上截取$AF = AD$，连接$EF$.
∵$AE$平分$∠PAB$,
∴$∠DAE = ∠FAE$.
在$△ DAE$和$△ FAE$中,
$\{\begin{array}{l} AD=AF,\\ ∠DAE=∠FAE,\\ AE=AE,\end{array} $
∴$△ DAE≌△ FAE(\mathrm{SAS})$,
∴$∠AFE = ∠ADE$.
∵$AD// BC$,
∴$∠ADE + ∠C = 180°$.
∵$∠AFE + ∠EFB = 180°$,
∴$∠EFB = ∠C$.
∵$BE$平分$∠ABC$,
∴$∠EBF = ∠EBC$.
在$△ BEF$和$△ BEC$中,
$\{\begin{array}{l} ∠EFB=∠C,\\ ∠EBF=∠EBC,\\ BE=BE,\end{array} $
∴$△ BEF≌△ BEC(\mathrm{AAS})$,
∴$BF = BC$.
∴$AD + BC = AF + BF = AB$.
【答案】
$AD+BC = AB$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是截长补短法构造全等三角形解决线段和差问题的典型题，通过截取线段将分散的待证线段转化到目标线段上，结合角平分线、平行线的性质推导角的等量关系，再通过全等三角形完成线段的等量代换，充分体现了转化思想在几何证明中的应用。
【难度系数】
0.7
要证明$AD+BC=AB$，属于线段和差类证明问题，通常采用截长补短法求解。题目已给出提示在$AB$上截取$AF=AD$，首先可利用角平分线的条件证明$△ DAE$和$△ FAE$全等，将$AD$转化为$AF$；接下来再结合平行线同旁内角互补的性质推导角的等量关系，证明$△ BEF$和$△ BEC$全等，得到$BF=BC$，最后通过线段和的关系即可完成证明。
【解析】
在$AB$上截取$AF = AD$，连接$EF$.
∵$AE$平分$∠PAB$,
∴$∠DAE = ∠FAE$.
在$△ DAE$和$△ FAE$中,
$\{\begin{array}{l} AD=AF,\\ ∠DAE=∠FAE,\\ AE=AE,\end{array} $
∴$△ DAE≌△ FAE(\mathrm{SAS})$,
∴$∠AFE = ∠ADE$.
∵$AD// BC$,
∴$∠ADE + ∠C = 180°$.
∵$∠AFE + ∠EFB = 180°$,
∴$∠EFB = ∠C$.
∵$BE$平分$∠ABC$,
∴$∠EBF = ∠EBC$.
在$△ BEF$和$△ BEC$中,
$\{\begin{array}{l} ∠EFB=∠C,\\ ∠EBF=∠EBC,\\ BE=BE,\end{array} $
∴$△ BEF≌△ BEC(\mathrm{AAS})$,
∴$BF = BC$.
∴$AD + BC = AF + BF = AB$.
【答案】
$AD+BC = AB$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是截长补短法构造全等三角形解决线段和差问题的典型题，通过截取线段将分散的待证线段转化到目标线段上，结合角平分线、平行线的性质推导角的等量关系，再通过全等三角形完成线段的等量代换，充分体现了转化思想在几何证明中的应用。
【难度系数】
0.7
6. (德州中考)(1)问题背景:如图①,在四边形 ABCD 中,$AB = AD$,$\angle BAD = 120^\circ$,$\angle B= \angle ADC = 90^\circ$.点 E、F 分别是 BC、CD 上的点,且$\angle EAF = 60^\circ$.探究图中线段 BE,EF,FD 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是延长 FD 到点 G,使$DG = BE$,连接 AG.先证明$\triangle ABE \cong \triangle ADG$,再证明$\triangle AEF \cong \triangle AGF$,可得出结论,他的结论应是______.
(2)探索延伸:如图②,在四边形 ABCD 中,$AB = AD$,$\angle B+\angle D= 180^\circ$.点 E,F 分别是 BC,CD 上的点,且$\angle EAF= \frac{1}{2}\angle BAD$,判断上述结论是否仍然成立,并说明理由.
(2)探索延伸:如图②,在四边形 ABCD 中,$AB = AD$,$\angle B+\angle D= 180^\circ$.点 E,F 分别是 BC,CD 上的点,且$\angle EAF= \frac{1}{2}\angle BAD$,判断上述结论是否仍然成立,并说明理由.
答案：
(1)EF = BE + DF
(2)EF = BE + DF仍然成立.理由如下:延长FD到G,使DG = BE,连接AG.
∵∠B + ∠ADC = 180°,∠ADC + ∠ADG = 180°,
∴∠B = ∠ADG.在△ABE和△ADG中,$\left\{\begin{array}{l} BE=DG,\\ ∠B=∠ADG,\\ AB=AD,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE = AG,∠BAE = ∠DAG.
∵∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD−∠EAF = ∠EAF,
∴∠EAF = ∠GAF.
在△AEF和△AGF中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AG,\\ ∠EAF=∠GAF,\\ AF=AF,\end{array}\right. $
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF = FG.
∵FG = DG + DF = BE + DF,
∴EF = BE + DF.
(1)EF = BE + DF
(2)EF = BE + DF仍然成立.理由如下:延长FD到G,使DG = BE,连接AG.
∵∠B + ∠ADC = 180°,∠ADC + ∠ADG = 180°,
∴∠B = ∠ADG.在△ABE和△ADG中,$\left\{\begin{array}{l} BE=DG,\\ ∠B=∠ADG,\\ AB=AD,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE = AG,∠BAE = ∠DAG.
∵∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD−∠EAF = ∠EAF,
∴∠EAF = ∠GAF.
在△AEF和△AGF中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AG,\\ ∠EAF=∠GAF,\\ AF=AF,\end{array}\right. $
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF = FG.
∵FG = DG + DF = BE + DF,
∴EF = BE + DF.
解析：
【分析】
(1) 要探究BE、EF、FD三条线段的数量关系，可结合已知的AB=AD条件，采用补短法构造全等：延长FD到G使DG=BE，先证△ABE≌△ADG得到AE=AG和对应角相等，再结合∠EAF=60°、∠BAD=120°推导∠EAF=∠GAF，证△AEF≌△AGF，即可得到线段关系。
(2) 第二问思路与第一问一致，虽然∠ADC不是90°，但由∠B+∠ADC=180°可通过邻补角性质推出∠B=∠ADG，仍然可以用相同的辅助线构造两次全等，验证结论是否成立。
【解析】
(1) 按题中方法延长FD到点G，使DG=BE，连接AG。
∵∠B=∠ADG=90°，AB=AD，BE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，得AE=AG，∠BAE=∠DAG。
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，
又
∵AE=AG，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF。
(2) EF=BE+DF仍然成立，理由如下：
延长FD到G，使DG=BE，连接AG。
∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADG = 180°，
∴∠B = ∠ADG。
在△ABE和△ADG中，
$\{\begin{array}{l} BE=DG,\\ ∠B=∠ADG,\\ AB=AD,\end{array} $
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE = AG，∠BAE = ∠DAG。
∵∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD−∠EAF = ∠EAF，
∴∠EAF = ∠GAF。
在△AEF和△AGF中，
$\{\begin{array}{l} AE=AG,\\ ∠EAF=∠GAF,\\ AF=AF,\end{array} $
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF = FG。
∵FG = DG + DF = BE + DF，
∴EF = BE + DF。
【答案】
(1) $\boldsymbol{EF = BE + DF}$
(2) $\boldsymbol{EF = BE + DF}$仍然成立，理由见上述解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 截长补短构造全等
3. 补角的性质
【点评】
本题是构造全等解决线段和差问题的典型题型，核心思路是通过补短法将分散的短线段拼接为一条线段，再证明其与长线段相等，解题关键是结合已知等边条件构造全等，灵活运用角的和差关系推导全等所需的等角条件。
【难度系数】
0.6
(1) 要探究BE、EF、FD三条线段的数量关系，可结合已知的AB=AD条件，采用补短法构造全等：延长FD到G使DG=BE，先证△ABE≌△ADG得到AE=AG和对应角相等，再结合∠EAF=60°、∠BAD=120°推导∠EAF=∠GAF，证△AEF≌△AGF，即可得到线段关系。
(2) 第二问思路与第一问一致，虽然∠ADC不是90°，但由∠B+∠ADC=180°可通过邻补角性质推出∠B=∠ADG，仍然可以用相同的辅助线构造两次全等，验证结论是否成立。
【解析】
(1) 按题中方法延长FD到点G，使DG=BE，连接AG。
∵∠B=∠ADG=90°，AB=AD，BE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，得AE=AG，∠BAE=∠DAG。
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，
又
∵AE=AG，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF。
(2) EF=BE+DF仍然成立，理由如下：
延长FD到G，使DG=BE，连接AG。
∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADC + ∠ADG = 180°，
∴∠B = ∠ADG。
在△ABE和△ADG中，
$\{\begin{array}{l} BE=DG,\\ ∠B=∠ADG,\\ AB=AD,\end{array} $
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE = AG，∠BAE = ∠DAG。
∵∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD−∠EAF = ∠EAF，
∴∠EAF = ∠GAF。
在△AEF和△AGF中，
$\{\begin{array}{l} AE=AG,\\ ∠EAF=∠GAF,\\ AF=AF,\end{array} $
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF = FG。
∵FG = DG + DF = BE + DF，
∴EF = BE + DF。
【答案】
(1) $\boldsymbol{EF = BE + DF}$
(2) $\boldsymbol{EF = BE + DF}$仍然成立，理由见上述解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 截长补短构造全等
3. 补角的性质
【点评】
本题是构造全等解决线段和差问题的典型题型，核心思路是通过补短法将分散的短线段拼接为一条线段，再证明其与长线段相等，解题关键是结合已知等边条件构造全等，灵活运用角的和差关系推导全等所需的等角条件。
【难度系数】
0.6