1. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC交BC于点D,点E在AB边上,点F在AC边的延长线上,连接EF交BC于点M,交AD于点N,∠AEF= 2∠F,EM= FM.求证$:∠B= \frac{3}{2}∠F.$
答案：
如图,过点E作EG//AC交BC于点G,
∴∠BGE=∠BCA,∠GEM=∠F.
∵∠AEF=2∠F,
∴∠GEM+∠AEF=∠F+2∠F=3∠F,即∠AEG=3∠F.
∵AB=AC,
∴∠B=∠BCA,
∴∠BGE=∠B.
∵∠AEG=∠B+∠BGE,
∴∠AEG=2∠B,
∴3∠F=2∠B,
∴∠B=$\frac{2}{3}$∠F.
如图,过点E作EG//AC交BC于点G,
∴∠BGE=∠BCA,∠GEM=∠F.
∵∠AEF=2∠F,
∴∠GEM+∠AEF=∠F+2∠F=3∠F,即∠AEG=3∠F.
∵AB=AC,
∴∠B=∠BCA,
∴∠BGE=∠B.
∵∠AEG=∠B+∠BGE,
∴∠AEG=2∠B,
∴3∠F=2∠B,
∴∠B=$\frac{2}{3}$∠F.
解析：
【分析】
要推导∠B与∠F的数量关系，可通过添加辅助线转化角的条件：首先观察已知有EM=FM的中点特征，过点E作EG//AC，一方面可利用平行线性质将∠F转化为同顶点的∠GEM，同时得到∠BGE=∠ACB；再结合等腰△ABC中AB=AC的性质得∠B=∠ACB，进而推出∠BGE=∠B；接下来结合已知∠AEF=2∠F，可将∠AEG用含∠F的式子表示；最后利用三角形外角定理得到∠AEG与∠B的关系，联立两个表达式即可得到∠B和∠F的倍数关系。
【解析】
证明：如图，过点E作EG//AC交BC于点G，
根据平行线的性质可得：∠BGE=∠BCA，∠GEM=∠F。
∵∠AEF=2∠F，
∴∠GEM+∠AEF=∠F+2∠F=3∠F，即∠AEG=3∠F。
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠BCA，
∴∠BGE=∠B。
∵∠AEG是△BEG的外角，根据三角形外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AEG=∠B+∠BGE=2∠B，
∴3∠F=2∠B，
∴∠B=$\frac{2}{3}$∠F。
【答案】
如图,过点E作EG//AC交BC于点G,
∴∠BGE=∠BCA,∠GEM=∠F.
∵∠AEF=2∠F,
∴∠GEM+∠AEF=∠F+2∠F=3∠F,即∠AEG=3∠F.
∵AB=AC,
∴∠B=∠BCA,
∴∠BGE=∠B.
∵∠AEG=∠B+∠BGE,
∴∠AEG=2∠B,
∴3∠F=2∠B,
∴∠B=$\frac{2}{3}$∠F.
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角定理
【点评】
本题的解题关键是合理添加平行线辅助线，将分散的角的条件集中关联，结合等腰三角形性质与三角形外角定理推导角的数量关系，解题时要注意根据已知的中点、角的倍数等特征选择合适的辅助线。
【难度系数】
0.6
要推导∠B与∠F的数量关系，可通过添加辅助线转化角的条件：首先观察已知有EM=FM的中点特征，过点E作EG//AC，一方面可利用平行线性质将∠F转化为同顶点的∠GEM，同时得到∠BGE=∠ACB；再结合等腰△ABC中AB=AC的性质得∠B=∠ACB，进而推出∠BGE=∠B；接下来结合已知∠AEF=2∠F，可将∠AEG用含∠F的式子表示；最后利用三角形外角定理得到∠AEG与∠B的关系，联立两个表达式即可得到∠B和∠F的倍数关系。
【解析】
证明：如图，过点E作EG//AC交BC于点G，
根据平行线的性质可得：∠BGE=∠BCA，∠GEM=∠F。
∵∠AEF=2∠F，
∴∠GEM+∠AEF=∠F+2∠F=3∠F，即∠AEG=3∠F。
∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠BCA，
∴∠BGE=∠B。
∵∠AEG是△BEG的外角，根据三角形外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AEG=∠B+∠BGE=2∠B，
∴3∠F=2∠B，
∴∠B=$\frac{2}{3}$∠F。
【答案】
如图,过点E作EG//AC交BC于点G,
∴∠BGE=∠BCA,∠GEM=∠F.
∵∠AEF=2∠F,
∴∠GEM+∠AEF=∠F+2∠F=3∠F,即∠AEG=3∠F.
∵AB=AC,
∴∠B=∠BCA,
∴∠BGE=∠B.
∵∠AEG=∠B+∠BGE,
∴∠AEG=2∠B,
∴3∠F=2∠B,
∴∠B=$\frac{2}{3}$∠F.
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角定理
【点评】
本题的解题关键是合理添加平行线辅助线，将分散的角的条件集中关联，结合等腰三角形性质与三角形外角定理推导角的数量关系，解题时要注意根据已知的中点、角的倍数等特征选择合适的辅助线。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在四边形ABCD中,AB//DC,点E是BC的中点,AF与DC的延长线交于点F,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的数量关系,并证明你的结论.
答案：
AB=AF+CF.证明:如图,延长AE交DF的延长线于点G,
∵E是BC的中点,
∴CE=BE.
∵AB//DC,
∴∠BAE=∠G.在△AEB和△GEC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠G,\\ ∠AEB=∠GEC,\\ BE=CE,\end{array}\right.$
∴△AEB≌△GEC(AAS).
∴AB=GC.
∵AE是∠BAF的平分线,
∴∠BAG=∠FAG.
∵∠BAG=∠G,
∴∠FAG=∠G,
∴FA=FG,
∴AB=CG=FG+CF=AF+CF.
AB=AF+CF.证明:如图,延长AE交DF的延长线于点G,
∵E是BC的中点,
∴CE=BE.
∵AB//DC,
∴∠BAE=∠G.在△AEB和△GEC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠G,\\ ∠AEB=∠GEC,\\ BE=CE,\end{array}\right.$
∴△AEB≌△GEC(AAS).
∴AB=GC.
∵AE是∠BAF的平分线,
∴∠BAG=∠FAG.
∵∠BAG=∠G,
∴∠FAG=∠G,
∴FA=FG,
∴AB=CG=FG+CF=AF+CF.
解析：
【分析】
要探究AB、AF、CF的数量关系，可从题中给出的条件入手分析：首先已知E是BC中点，且AB//DC，遇到“中点+平行线”的组合时，通常可通过延长AE构造全等三角形，将AB转化为和CF、AF相关的线段；再结合AE是∠BAF的平分线，利用平行线的性质得到等角，推导出等腰三角形，完成AF的线段转化，最后通过线段和差关系即可得到三者的数量关系。
【解析】
证明：如图，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE。
∵AB//DC，
∴∠BAE=∠G。
在△AEB和△GEC中，
$\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠G,\\ ∠AEB=∠GEC,\\ BE=CE,\end{array} $
∴△AEB≌△GEC(AAS)。
∴AB=GC。
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG。
∵∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=CG=FG+CF=AF+CF。
【答案】
AB=AF+CF。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题是线段和差关系探究的典型几何题，解题核心是利用“中点+平行线”的条件构造全等三角形实现线段转化，再结合角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，梳理清楚线段间的和差关系即可完成求解。
【难度系数】
0.6
要探究AB、AF、CF的数量关系，可从题中给出的条件入手分析：首先已知E是BC中点，且AB//DC，遇到“中点+平行线”的组合时，通常可通过延长AE构造全等三角形，将AB转化为和CF、AF相关的线段；再结合AE是∠BAF的平分线，利用平行线的性质得到等角，推导出等腰三角形，完成AF的线段转化，最后通过线段和差关系即可得到三者的数量关系。
【解析】
证明：如图，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE。
∵AB//DC，
∴∠BAE=∠G。
在△AEB和△GEC中，
$\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠G,\\ ∠AEB=∠GEC,\\ BE=CE,\end{array} $
∴△AEB≌△GEC(AAS)。
∴AB=GC。
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG。
∵∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=CG=FG+CF=AF+CF。
【答案】
AB=AF+CF。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题是线段和差关系探究的典型几何题，解题核心是利用“中点+平行线”的条件构造全等三角形实现线段转化，再结合角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，梳理清楚线段间的和差关系即可完成求解。
【难度系数】
0.6
3. 如图,已知△ABC的面积为14,BP平分∠ABC,且AP⊥BP于点P,求△BPC的面积.
答案：
如图,延长AP交BC于D,
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠DBP.
∵AP⊥BP,
∴∠APB=∠DPB=90°,
∴△ABP≌△DBP(ASA),
∴AP=DP,
∴$S_{\triangle BPD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$,$S_{\triangle CPD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}$,
∴$S_{\triangle BPC}=S_{\triangle BPD}+S_{\triangle CPD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}+\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×14=7$.
如图,延长AP交BC于D,
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠DBP.
∵AP⊥BP,
∴∠APB=∠DPB=90°,
∴△ABP≌△DBP(ASA),
∴AP=DP,
∴$S_{\triangle BPD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$,$S_{\triangle CPD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}$,
∴$S_{\triangle BPC}=S_{\triangle BPD}+S_{\triangle CPD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}+\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×14=7$.
解析：
【分析】
遇到角平分线+垂直于角平分线的线段的几何模型时，通常可以延长这条垂线段，与角的另一边相交构造全等三角形。本题中BP平分∠ABC，且AP⊥BP，我们可先延长AP交BC于点D，证明△ABP≌△DBP得到P是AD中点，再利用等底同高的三角形面积关系，推导△BPC和△ABC的面积关联即可求解。
【解析】
解：延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，即P为AD的中点，
根据等底同高的三角形面积相等可得：
$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴$S_{△ BPC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
代入$S_{△ ABC}=14$，得$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}×14=7$。
【答案】
如图,延长AP交BC于D,
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠DBP.
∵AP⊥BP,
∴∠APB=∠DPB=90°,
∴△ABP≌△DBP(ASA),
∴AP=DP,
∴$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$,$S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$,
∴$S_{△ BPC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×14=7$.
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是“角平分线+垂线”构造全等的典型题型，解题核心是掌握该类模型的辅助线添加方法，通过全等转化线段关系后结合三角形面积性质即可求解，熟练掌握常见几何模型能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线+垂直于角平分线的线段的几何模型时，通常可以延长这条垂线段，与角的另一边相交构造全等三角形。本题中BP平分∠ABC，且AP⊥BP，我们可先延长AP交BC于点D，证明△ABP≌△DBP得到P是AD中点，再利用等底同高的三角形面积关系，推导△BPC和△ABC的面积关联即可求解。
【解析】
解：延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，即P为AD的中点，
根据等底同高的三角形面积相等可得：
$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴$S_{△ BPC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
代入$S_{△ ABC}=14$，得$S_{△ BPC}=\frac{1}{2}×14=7$。
【答案】
如图,延长AP交BC于D,
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠DBP.
∵AP⊥BP,
∴∠APB=∠DPB=90°,
∴△ABP≌△DBP(ASA),
∴AP=DP,
∴$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$,$S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$,
∴$S_{△ BPC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×14=7$.
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是“角平分线+垂线”构造全等的典型题型，解题核心是掌握该类模型的辅助线添加方法，通过全等转化线段关系后结合三角形面积性质即可求解，熟练掌握常见几何模型能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在△ABC中,∠A= 90°,BF交AC于点E,连接CF.∠ACB= ∠ECF,∠F= ∠AEB.若CE= 3,BC= 5,求AC的长.
答案：
如图,过B作BH//CF交CA的延长线于点H,
∴∠HBE=∠F=∠AEB=∠CEF,∠H=∠ACF=∠ACB,
∴BH=EH=BC=5.
∵CE=3,
∴CH=HE+CE=8.又
∵∠BAC=90°,
∴AC=HA=$\frac{1}{2}$CH=4.
如图,过B作BH//CF交CA的延长线于点H,
∴∠HBE=∠F=∠AEB=∠CEF,∠H=∠ACF=∠ACB,
∴BH=EH=BC=5.
∵CE=3,
∴CH=HE+CE=8.又
∵∠BAC=90°,
∴AC=HA=$\frac{1}{2}$CH=4.
解析：
【分析】
本题已知多组角相等以及CE、BC的长度，要求AC的长，核心是通过构造辅助线建立已知边和未知边的联系。解题时可过点B作BH平行于CF，利用平行线的性质转化角的相等关系，构造等腰三角形实现边的等量代换：首先由平行线的内错角相等得∠H=∠ECF，结合已知∠ACB=∠ECF可推出△HBC为等腰三角形，得到BC=BH；再由平行线的内错角相等得∠HBE=∠F，结合已知∠F=∠AEB可推出△HBE为等腰三角形，得到BH=HE，从而将BC的长度转化为HE的长度，进而求出CH的总长度，最后利用等腰三角形三线合一的性质，由BA垂直CH得到A是CH的中点，即可求出AC的长度。
【解析】
解：过点B作BH//CF，交CA的延长线于点H。
∵BH//CF，
∴∠HBE=∠F，∠H=∠ECF（两直线平行，内错角相等）。
已知∠F=∠AEB，∠ACB=∠ECF，
∴∠HBE=∠AEB，∠H=∠ACB，
由等角对等边可得：BH=EH，BH=BC=5，
∴EH=5。
∵CE=3，
∴CH=HE+CE=5+3=8。
又
∵∠BAC=90°，即BA⊥CH，△HBC为等腰三角形，
根据等腰三角形三线合一的性质，BA是CH边上的中线，
∴AC=HA=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$×8=4。
【答案】
AC的长为4。
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题侧重考查辅助线的构造能力和等腰三角形相关性质的应用，解题的关键是通过作平行线将已知的角相等关系转化为边的等量关系，是几何中构造等腰三角形解题的典型题型，能有效锻炼学生的几何逻辑思维。
【难度系数】
0.65
本题已知多组角相等以及CE、BC的长度，要求AC的长，核心是通过构造辅助线建立已知边和未知边的联系。解题时可过点B作BH平行于CF，利用平行线的性质转化角的相等关系，构造等腰三角形实现边的等量代换：首先由平行线的内错角相等得∠H=∠ECF，结合已知∠ACB=∠ECF可推出△HBC为等腰三角形，得到BC=BH；再由平行线的内错角相等得∠HBE=∠F，结合已知∠F=∠AEB可推出△HBE为等腰三角形，得到BH=HE，从而将BC的长度转化为HE的长度，进而求出CH的总长度，最后利用等腰三角形三线合一的性质，由BA垂直CH得到A是CH的中点，即可求出AC的长度。
【解析】
解：过点B作BH//CF，交CA的延长线于点H。
∵BH//CF，
∴∠HBE=∠F，∠H=∠ECF（两直线平行，内错角相等）。
已知∠F=∠AEB，∠ACB=∠ECF，
∴∠HBE=∠AEB，∠H=∠ACB，
由等角对等边可得：BH=EH，BH=BC=5，
∴EH=5。
∵CE=3，
∴CH=HE+CE=5+3=8。
又
∵∠BAC=90°，即BA⊥CH，△HBC为等腰三角形，
根据等腰三角形三线合一的性质，BA是CH边上的中线，
∴AC=HA=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$×8=4。
【答案】
AC的长为4。
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题侧重考查辅助线的构造能力和等腰三角形相关性质的应用，解题的关键是通过作平行线将已知的角相等关系转化为边的等量关系，是几何中构造等腰三角形解题的典型题型，能有效锻炼学生的几何逻辑思维。
【难度系数】
0.65