1. 如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,$AD= 2BC$,点E是AD的中点,请仅用无刻度的直尺画出$\triangle ACD$的边AC上的中线DM.
答案：
如图，连接BE交AC于点M,连接DM即可.
如图，连接BE交AC于点M,连接DM即可.
解析：
【分析】
要画出△ACD的边AC上的中线DM，首先需要找到AC的中点M。结合已知条件分析：已知AD//BC，AD=2BC，点E是AD的中点，因此AE=BC且AE//BC，可推出四边形ABCE是平行四边形。根据平行四边形对角线互相平分的性质，连接BE，BE与AC的交点就是AC的中点M，最后连接DM即可得到所求中线。
【解析】
1. 明确作图目标：作△ACD的AC边上的中线，需先找到AC的中点。
2. 由E是AD中点可得AE=$\frac{1}{2}$AD，结合AD=2BC，可知AE=BC；又AD//BC，即AE//BC，因此四边形ABCE是平行四边形。
3. 平行四边形对角线互相平分，因此连接BE，BE与AC的交点M就是AC的中点。
4. 连接DM，DM即为△ACD边AC上的中线。
【答案】
如图，连接BE交AC于点M,连接DM即可.
【知识点】
平行四边形的判定与性质，三角形中线的定义，无刻度直尺作图
【点评】
本题是典型的无刻度直尺作图题，解题核心是结合已知几何条件构造平行四边形，利用平行四边形的性质找到线段中点，既考察了基础几何概念的掌握，也锻炼了结合性质分析作图思路的能力。
【难度系数】
0.6
要画出△ACD的边AC上的中线DM，首先需要找到AC的中点M。结合已知条件分析：已知AD//BC，AD=2BC，点E是AD的中点，因此AE=BC且AE//BC，可推出四边形ABCE是平行四边形。根据平行四边形对角线互相平分的性质，连接BE，BE与AC的交点就是AC的中点M，最后连接DM即可得到所求中线。
【解析】
1. 明确作图目标：作△ACD的AC边上的中线，需先找到AC的中点。
2. 由E是AD中点可得AE=$\frac{1}{2}$AD，结合AD=2BC，可知AE=BC；又AD//BC，即AE//BC，因此四边形ABCE是平行四边形。
3. 平行四边形对角线互相平分，因此连接BE，BE与AC的交点M就是AC的中点。
4. 连接DM，DM即为△ACD边AC上的中线。
【答案】
如图，连接BE交AC于点M,连接DM即可.
【知识点】
平行四边形的判定与性质，三角形中线的定义，无刻度直尺作图
【点评】
本题是典型的无刻度直尺作图题，解题核心是结合已知几何条件构造平行四边形，利用平行四边形的性质找到线段中点，既考察了基础几何概念的掌握，也锻炼了结合性质分析作图思路的能力。
【难度系数】
0.6
2. 图①、图②、图③均是$3× 3$的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A,B,C,D均在格点上,只用无刻度的直尺,按要求分别在图①、图②、图③的网格中画出一个三角形,同时满足以下两个条件:(1)所画三角形以点D为一个顶点,另外两个顶点也在格点上;(2)所画三角形与$\triangle ABC$全等.
答案：
画法合理即可，示例如图所示.
画法合理即可，示例如图所示.
解析：
【分析】
要画出与△ABC全等且以D为顶点的三角形，首先需明确全等三角形的判定条件（如SSS、SAS等）。第一步先利用勾股定理计算出△ABC三条边的长度；第二步以点D为一个顶点，在网格中寻找另外两个格点，使得新三角形的三条边与△ABC的三边对应相等（或两边及夹角对应相等），即可得到符合要求的全等三角形。
【解析】
1. 先计算△ABC的各边长度：设每个小正方形边长为1，由勾股定理可得：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=3$。
2. 结合网格特点，以D为顶点，分别在三个图中寻找另外两个格点，使得新三角形的三边长度分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、3，根据SSS全等判定定理，所画三角形与△ABC全等。
3. 按照上述方法作图即可，画法不唯一，只要满足条件均正确。
【答案】
画法合理即可，示例如图所示.
【知识点】
全等三角形判定、勾股定理、网格作图
【点评】
本题属于网格类作图题，重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，以及利用勾股定理计算网格中线段长度的能力，同时锻炼学生的观察能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
要画出与△ABC全等且以D为顶点的三角形，首先需明确全等三角形的判定条件（如SSS、SAS等）。第一步先利用勾股定理计算出△ABC三条边的长度；第二步以点D为一个顶点，在网格中寻找另外两个格点，使得新三角形的三条边与△ABC的三边对应相等（或两边及夹角对应相等），即可得到符合要求的全等三角形。
【解析】
1. 先计算△ABC的各边长度：设每个小正方形边长为1，由勾股定理可得：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=3$。
2. 结合网格特点，以D为顶点，分别在三个图中寻找另外两个格点，使得新三角形的三边长度分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、3，根据SSS全等判定定理，所画三角形与△ABC全等。
3. 按照上述方法作图即可，画法不唯一，只要满足条件均正确。
【答案】
画法合理即可，示例如图所示.
【知识点】
全等三角形判定、勾股定理、网格作图
【点评】
本题属于网格类作图题，重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，以及利用勾股定理计算网格中线段长度的能力，同时锻炼学生的观察能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
3. 利用网格作图.
(1)在图①中找一点P,使P到AB和AC距离相等且$PB= PC$;
(2)在图②中,作出$\triangle ABC$的角平分线BD.
(1)在图①中找一点P,使P到AB和AC距离相等且$PB= PC$;
(2)在图②中,作出$\triangle ABC$的角平分线BD.
答案：
(1)如图①,点P即为所求.
(2)如图②,线段BD即为所求.
(1)如图①,点P即为所求.
(2)如图②,线段BD即为所求.
解析：
【分析】
(1) 求解点P时，先看条件：点P到AB、AC距离相等，根据角平分线的性质，可知点P一定在∠BAC的角平分线上；再看条件PB=PC，根据线段垂直平分线的性质，可知点P一定在线段BC的垂直平分线上，因此两条线的交点就是所求的点P。
(2) 作角平分线BD时，根据角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，结合网格的边长特征，找到∠ABC内部满足到AB、BC距离相等的点，连接该点与点B，交AC于D，即可得到角平分线BD。
【解析】
(1) ①作∠BAC的角平分线：图①中∠BAC为直角，沿网格对角线方向作射线，即为∠BAC的角平分线；②作线段BC的垂直平分线：先找到BC的中点，过中点作BC的垂线，即为BC的垂直平分线；③两条线的交点即为所求点P。
(2) ①利用网格特征，在∠ABC内部定位到AB、BC两边距离相等的点O；②连接BO并延长，与AC交于点D，线段BD即为△ABC的角平分线。
【答案】
(1)如图①,点P即为所求.
(2)如图②,线段BD即为所求.
【知识点】
角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质，网格作图
【点评】
本题结合网格考查基础几何作图的应用，核心是对相关几何性质的理解与运用，需要熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的性质，准确找到对应点的位置，是对基础作图能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求解点P时，先看条件：点P到AB、AC距离相等，根据角平分线的性质，可知点P一定在∠BAC的角平分线上；再看条件PB=PC，根据线段垂直平分线的性质，可知点P一定在线段BC的垂直平分线上，因此两条线的交点就是所求的点P。
(2) 作角平分线BD时，根据角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，结合网格的边长特征，找到∠ABC内部满足到AB、BC距离相等的点，连接该点与点B，交AC于D，即可得到角平分线BD。
【解析】
(1) ①作∠BAC的角平分线：图①中∠BAC为直角，沿网格对角线方向作射线，即为∠BAC的角平分线；②作线段BC的垂直平分线：先找到BC的中点，过中点作BC的垂线，即为BC的垂直平分线；③两条线的交点即为所求点P。
(2) ①利用网格特征，在∠ABC内部定位到AB、BC两边距离相等的点O；②连接BO并延长，与AC交于点D，线段BD即为△ABC的角平分线。
【答案】
(1)如图①,点P即为所求.
(2)如图②,线段BD即为所求.
【知识点】
角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质，网格作图
【点评】
本题结合网格考查基础几何作图的应用，核心是对相关几何性质的理解与运用，需要熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的性质，准确找到对应点的位置，是对基础作图能力的考查。
【难度系数】
0.7
4. (2024·陕西中考)如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作图法,求作一个等腰直角三角形ABC,使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
答案：
如图，△ABC即为所求作的三角形.(画法合理即可)
如图，△ABC即为所求作的三角形.(画法合理即可)
解析：
【分析】
要作满足条件的等腰直角三角形ABC，且B、C都在直线l上，我们可以选择直角顶点为C（在l上）来构造：首先需要保证∠ACB=90°，因此先过点A作直线l的垂线，得到垂足C；接下来要满足等腰的条件，即两条直角边相等，因此只需在直线l上截取线段CB=AC，最后连接AB即可得到符合要求的等腰直角三角形。也可以选择直角顶点为A或B，只要作图符合尺规规范、满足题意即可。
【解析】
我们以直角顶点为C为例作图：
① 用尺规过点A作直线l的垂线，垂足记为C，此时∠ACB=90°；
② 以C为圆心，AC的长度为半径画弧，交直线l于点B，此时CB=AC；
③ 连接AB，所得△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，是等腰直角三角形，且B、C都在直线l上，符合题目要求。
（注：也可选择直角顶点为A或B，作图合理即可）
【答案】
如图，△ABC即为所求作的三角形.(画法合理即可)
【知识点】
尺规作垂线，等腰直角三角形判定，尺规作等长线段
【点评】
本题是基础尺规作图题，结合了等腰直角三角形的性质，解法开放多样，主要考查学生对基本尺规作图操作的掌握，以及运用几何性质构造符合条件图形的能力。
【难度系数】
0.7
要作满足条件的等腰直角三角形ABC，且B、C都在直线l上，我们可以选择直角顶点为C（在l上）来构造：首先需要保证∠ACB=90°，因此先过点A作直线l的垂线，得到垂足C；接下来要满足等腰的条件，即两条直角边相等，因此只需在直线l上截取线段CB=AC，最后连接AB即可得到符合要求的等腰直角三角形。也可以选择直角顶点为A或B，只要作图符合尺规规范、满足题意即可。
【解析】
我们以直角顶点为C为例作图：
① 用尺规过点A作直线l的垂线，垂足记为C，此时∠ACB=90°；
② 以C为圆心，AC的长度为半径画弧，交直线l于点B，此时CB=AC；
③ 连接AB，所得△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，是等腰直角三角形，且B、C都在直线l上，符合题目要求。
（注：也可选择直角顶点为A或B，作图合理即可）
【答案】
如图，△ABC即为所求作的三角形.(画法合理即可)
【知识点】
尺规作垂线，等腰直角三角形判定，尺规作等长线段
【点评】
本题是基础尺规作图题，结合了等腰直角三角形的性质，解法开放多样，主要考查学生对基本尺规作图操作的掌握，以及运用几何性质构造符合条件图形的能力。
【难度系数】
0.7
5. (2024·青岛中考)已知:如图,四边形ABCD,E为DC边上一点.
求作:四边形内一点P,使$EP// BC$,且点P到AB,AD的距离相等.
求作:四边形内一点P,使$EP// BC$,且点P到AB,AD的距离相等.
答案：
作∠DAB的平分线AM,以E为顶点,ED为一边作∠DEN=∠C,EN交AM于P,如图,点P即为所求.
作∠DAB的平分线AM,以E为顶点,ED为一边作∠DEN=∠C,EN交AM于P,如图,点P即为所求.
解析：
【分析】
要得到符合要求的点P，需同时满足两个条件：①点P到AB、AD的距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P在∠DAB的角平分线上；②EP//BC，根据“同位角相等，两直线平行”，可通过作与∠C相等的同位角，得到平行于BC的直线。两条满足条件的线的交点即为所求点P。
【解析】
1. 利用尺规作∠DAB的角平分线AM；
2. 以E为顶点，ED为一边，作∠DEN=∠C，根据同位角相等两直线平行，可得EN//BC；
3. 射线EN与AM的交点就是所求作的点P。
【答案】
作∠DAB的平分线AM,以E为顶点,ED为一边作∠DEN=∠C,EN交AM于P,如图,点P即为所求.
【知识点】
角平分线的性质、尺规作等角、平行线的判定
【点评】
本题是尺规作图的综合考查，解题核心是将题目给出的两个条件转化为对应的作图操作，通过分别构造满足单个条件的直线，取其公共交点得到所求点，需熟练掌握基本尺规作图的方法。
【难度系数】
0.7
要得到符合要求的点P，需同时满足两个条件：①点P到AB、AD的距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P在∠DAB的角平分线上；②EP//BC，根据“同位角相等，两直线平行”，可通过作与∠C相等的同位角，得到平行于BC的直线。两条满足条件的线的交点即为所求点P。
【解析】
1. 利用尺规作∠DAB的角平分线AM；
2. 以E为顶点，ED为一边，作∠DEN=∠C，根据同位角相等两直线平行，可得EN//BC；
3. 射线EN与AM的交点就是所求作的点P。
【答案】
作∠DAB的平分线AM,以E为顶点,ED为一边作∠DEN=∠C,EN交AM于P,如图,点P即为所求.
【知识点】
角平分线的性质、尺规作等角、平行线的判定
【点评】
本题是尺规作图的综合考查，解题核心是将题目给出的两个条件转化为对应的作图操作，通过分别构造满足单个条件的直线，取其公共交点得到所求点，需熟练掌握基本尺规作图的方法。
【难度系数】
0.7