1. 如图是一个数值转换器,其工作原理如图所示. 若输入有意义的x值后,始终输不出y值,则所有会出现这种情况的x的值有 .
输入x→计算|x-2|→取算术平方根→是否为无理数 是→输出y 否→
输入x→计算|x-2|→取算术平方根→是否为无理数 是→输出y 否→
答案：1或2或3 解析:
∵算术平方根等于它本身的数是0或1,
∴当|x-2|=1或0时,可得x=1或2或3,即当x=1或2或3时,始终输不出y值.
∵算术平方根等于它本身的数是0或1,
∴当|x-2|=1或0时,可得x=1或2或3,即当x=1或2或3时,始终输不出y值.
解析：
【分析】
首先明确数值转换器的运行规则：输入x后，先计算|x-2|的结果，再对该结果取算术平方根，若算术平方根是无理数则输出y，若是有理数则返回重新进入运算流程。要始终输不出y，说明每次运算得到的算术平方根都是有理数，会进入无限循环。我们知道算术平方根等于自身的数只有0和1，这两个数的算术平方根都是有理数，因此只需令|x-2|等于0或1，解对应的绝对值方程就能得到所求的x值。
【解析】
解：
∵始终输不出y值，说明每次取算术平方根的结果都是有理数，进入无限循环。
∵算术平方根等于它本身的非负数是0和1，
∴分两种情况计算：
1. 当$|x-2|=0$时，解得$x=2$；
2. 当$|x-2|=1$时，可得$x-2=1$或$x-2=-1$，分别解得$x=3$、$x=1$。
综上，满足条件的x的值为1、2、3。
【答案】
1或2或3
【知识点】
绝对值方程求解；算术平方根的性质；无理数的概念
【点评】
本题将程序运算和实数的性质结合考查，解题核心是理解“始终输不出y”的含义，对应找到算术平方根恒为有理数的情况，需要学生熟练掌握绝对值的运算规则和算术平方根的基本性质。
【难度系数】
0.6
首先明确数值转换器的运行规则：输入x后，先计算|x-2|的结果，再对该结果取算术平方根，若算术平方根是无理数则输出y，若是有理数则返回重新进入运算流程。要始终输不出y，说明每次运算得到的算术平方根都是有理数，会进入无限循环。我们知道算术平方根等于自身的数只有0和1，这两个数的算术平方根都是有理数，因此只需令|x-2|等于0或1，解对应的绝对值方程就能得到所求的x值。
【解析】
解：
∵始终输不出y值，说明每次取算术平方根的结果都是有理数，进入无限循环。
∵算术平方根等于它本身的非负数是0和1，
∴分两种情况计算：
1. 当$|x-2|=0$时，解得$x=2$；
2. 当$|x-2|=1$时，可得$x-2=1$或$x-2=-1$，分别解得$x=3$、$x=1$。
综上，满足条件的x的值为1、2、3。
【答案】
1或2或3
【知识点】
绝对值方程求解；算术平方根的性质；无理数的概念
【点评】
本题将程序运算和实数的性质结合考查，解题核心是理解“始终输不出y”的含义，对应找到算术平方根恒为有理数的情况，需要学生熟练掌握绝对值的运算规则和算术平方根的基本性质。
【难度系数】
0.6
2. 对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”. 例如：-9,-4,-1 这三个数,$\sqrt{(-9)×(-4)} = 6$,$\sqrt{(-9)×(-1)} = 3$,$\sqrt{(-4)×(-1)} = 2$,其结果 6,3,2 都是整数,所以-1,-4,-9 这三个数称为“完美组合数”.
(1)-18,-8,-2 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
(2)若三个数-3,m,-12 是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为 12,求 m 的值.
(1)-18,-8,-2 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
(2)若三个数-3,m,-12 是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为 12,求 m 的值.
答案：
(1)-18,-8,-2这三个数是"完美组合数",理由如下:
∵$\sqrt{(-18)×(-8)}=12$,$\sqrt{(-18)×(-2)}=6$,$\sqrt{(-8)×(-2)}=4$,
∴-18,-8,-2这三个数是"完美组合数".
(2)
∵$\sqrt{(-3)×(-12)}=6$,
∴分两种情况讨论:①当$\sqrt{-3m}=12$时,$-3m=144$,
∴m=-48;②当$\sqrt{-12m}=12$时,$-12m=144$,
∴m=-12(不符合题意,舍去).综上所述,m的值是-48.
(1)-18,-8,-2这三个数是"完美组合数",理由如下:
∵$\sqrt{(-18)×(-8)}=12$,$\sqrt{(-18)×(-2)}=6$,$\sqrt{(-8)×(-2)}=4$,
∴-18,-8,-2这三个数是"完美组合数".
(2)
∵$\sqrt{(-3)×(-12)}=6$,
∴分两种情况讨论:①当$\sqrt{-3m}=12$时,$-3m=144$,
∴m=-48;②当$\sqrt{-12m}=12$时,$-12m=144$,
∴m=-12(不符合题意,舍去).综上所述,m的值是-48.
解析：
【分析】
（1）判断三个数是否为“完美组合数”，需紧扣新定义要求：三个数是互不相等的负整数，且两两乘积的算术平方根均为整数。解题时只需分别计算三个数两两乘积的算术平方根，验证所有结果是否为整数即可完成判断。
（2）首先计算已知数-3和-12的乘积的算术平方根，得结果为6≠12，因此算术平方根为12的乘积只能是-3与m的乘积、或-12与m的乘积，分两种情况列方程求解即可，最后需验证求出的m是否满足“三个数互不相等的负整数”的条件，舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) -18,-8,-2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，
$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，
三个结果均为整数，且三个数是互不相等的负整数，符合“完美组合数”的定义，因此这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算已知两个数的乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此算术平方根为12的是另外两组乘积，分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边同时平方得：$-3m=12^2=144$，解得$m=-48$，此时三个数为-3、-48、-12，是互不相等的负整数，符合要求；
② 当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边同时平方得：$-12m=12^2=144$，解得$m=-12$，此时m和-12相等，不符合“三个互不相等的负整数”的要求，舍去。
综上，m的值为-48。
【答案】
(1) 是，理由见解析；
(2) $m=-48$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 算术平方根计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题以新定义“完美组合数”为载体，考查算术平方根的相关运算，解题核心是准确理解新定义的判定规则，第二问求解时要注意分类讨论所有可能的情况，同时要对求出的解进行验证，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.7
（1）判断三个数是否为“完美组合数”，需紧扣新定义要求：三个数是互不相等的负整数，且两两乘积的算术平方根均为整数。解题时只需分别计算三个数两两乘积的算术平方根，验证所有结果是否为整数即可完成判断。
（2）首先计算已知数-3和-12的乘积的算术平方根，得结果为6≠12，因此算术平方根为12的乘积只能是-3与m的乘积、或-12与m的乘积，分两种情况列方程求解即可，最后需验证求出的m是否满足“三个数互不相等的负整数”的条件，舍去不符合要求的解。
【解析】
(1) -18,-8,-2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
分别计算两两乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-18)×(-8)}=\sqrt{144}=12$，
$\sqrt{(-18)×(-2)}=\sqrt{36}=6$，
$\sqrt{(-8)×(-2)}=\sqrt{16}=4$，
三个结果均为整数，且三个数是互不相等的负整数，符合“完美组合数”的定义，因此这三个数是“完美组合数”。
(2) 先计算已知两个数的乘积的算术平方根：
$\sqrt{(-3)×(-12)}=\sqrt{36}=6≠12$，因此算术平方根为12的是另外两组乘积，分两种情况讨论：
① 当$\sqrt{(-3)×m}=12$时，两边同时平方得：$-3m=12^2=144$，解得$m=-48$，此时三个数为-3、-48、-12，是互不相等的负整数，符合要求；
② 当$\sqrt{(-12)×m}=12$时，两边同时平方得：$-12m=12^2=144$，解得$m=-12$，此时m和-12相等，不符合“三个互不相等的负整数”的要求，舍去。
综上，m的值为-48。
【答案】
(1) 是，理由见解析；
(2) $m=-48$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 算术平方根计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题以新定义“完美组合数”为载体，考查算术平方根的相关运算，解题核心是准确理解新定义的判定规则，第二问求解时要注意分类讨论所有可能的情况，同时要对求出的解进行验证，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.7
3. 在学习了有关平方根的知识后,我们知道负数没有平方根. 比如：因为没有一个数的平方等于-1,所以-1 没有平方根. 如果现在我们规定一个新数“i”,使它满足$i^2 = -1$,那么$(-i)^2= -1$,因此-1 就有两个平方根了. 进一步,因为$(\pm2i)^2= -4$,所以-4 的平方根就是$\pm2i$. 根据上面的信息解答下列问题：
(1)-9 的平方根为 ,-3 的平方根为 ；
(2)求$i^3$,$i^4$,$i^5$,$i^6$,$i^{100}$的值.
(1)-9 的平方根为 ,-3 的平方根为 ；
(2)求$i^3$,$i^4$,$i^5$,$i^6$,$i^{100}$的值.
答案：
(1)$\pm3i$ $\pm\sqrt{3}i$
(2)$i^3=i^2\cdoti=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,$i^5=i^4\cdoti=i$,$i^6=i^5\cdoti=i^2=-1$,$i^{100}=(i^2)^{50}=(-1)^{50}=1$.
(1)$\pm3i$ $\pm\sqrt{3}i$
(2)$i^3=i^2\cdoti=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,$i^5=i^4\cdoti=i$,$i^6=i^5\cdoti=i^2=-1$,$i^{100}=(i^2)^{50}=(-1)^{50}=1$.
解析：
【分析】
这是一道新定义运算题，解题核心是抓住题目给出的规则$i^2=-1$，结合已学知识求解：
1. 求解负数的平方根时，类比题目中-4平方根的推导方法，将负数拆成“正数×(-1)”，先对正数开平方，再结合$i^2=-1$即可得到负数的平方根；
2. 求解$i$的高次幂时，利用同底数幂的乘法、幂的乘方的运算性质，把高次幂转化为含$i^2$的形式计算，还可借助幂次的循环规律简化高次幂的计算。
【解析】
(1) 推导-9的平方根：
因为$(\pm3i)^2 = (\pm3)^2 · i^2 = 9×(-1) = -9$，所以-9的平方根为$\pm3i$；
推导-3的平方根：
因为$(\pm\sqrt{3}i)^2 = (\pm\sqrt{3})^2 · i^2 = 3×(-1) = -3$，所以-3的平方根为$\pm\sqrt{3}i$。
(2) 结合$i^2=-1$和幂的运算规则计算：
$i^3 = i^2 · i = -1 × i = -i$；
$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$；
$i^5 = i^4 · i = 1 × i = i$；
$i^6 = i^5 · i = i · i = i^2 = -1$；
$i^{100}=(i^2)^{50}=(-1)^{50}=1$。
【答案】
(1)$\pm3i$；$\pm\sqrt{3}i$
(2)$i^3=-i$，$i^4=1$，$i^5=i$，$i^6=-1$，$i^{100}=1$
【知识点】
新定义运算，平方根的定义，幂的运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新规则的理解和已学知识的迁移应用能力，解题的关键是准确把握$i^2=-1$的规则，结合平方根、幂的运算性质即可顺利求解，找到$i$幂次的循环规律可快速计算高次幂的值。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算题，解题核心是抓住题目给出的规则$i^2=-1$，结合已学知识求解：
1. 求解负数的平方根时，类比题目中-4平方根的推导方法，将负数拆成“正数×(-1)”，先对正数开平方，再结合$i^2=-1$即可得到负数的平方根；
2. 求解$i$的高次幂时，利用同底数幂的乘法、幂的乘方的运算性质，把高次幂转化为含$i^2$的形式计算，还可借助幂次的循环规律简化高次幂的计算。
【解析】
(1) 推导-9的平方根：
因为$(\pm3i)^2 = (\pm3)^2 · i^2 = 9×(-1) = -9$，所以-9的平方根为$\pm3i$；
推导-3的平方根：
因为$(\pm\sqrt{3}i)^2 = (\pm\sqrt{3})^2 · i^2 = 3×(-1) = -3$，所以-3的平方根为$\pm\sqrt{3}i$。
(2) 结合$i^2=-1$和幂的运算规则计算：
$i^3 = i^2 · i = -1 × i = -i$；
$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$；
$i^5 = i^4 · i = 1 × i = i$；
$i^6 = i^5 · i = i · i = i^2 = -1$；
$i^{100}=(i^2)^{50}=(-1)^{50}=1$。
【答案】
(1)$\pm3i$；$\pm\sqrt{3}i$
(2)$i^3=-i$，$i^4=1$，$i^5=i$，$i^6=-1$，$i^{100}=1$
【知识点】
新定义运算，平方根的定义，幂的运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新规则的理解和已学知识的迁移应用能力，解题的关键是准确把握$i^2=-1$的规则，结合平方根、幂的运算性质即可顺利求解，找到$i$幂次的循环规律可快速计算高次幂的值。
【难度系数】
0.7