两边及其______分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“______”).
答案：【解析】：
本题考查三角形全等的一个基本判定条件，即“边角边”条件。根据三角形全等的判定定理，当两个三角形的两边及其夹角分别相等时，这两个三角形是全等的。题目中已经给出了“两边及其______分别相等的两个三角形全等”，需要填写的是夹角，以及对应的简写形式。
【答案】：
夹角；$SAS$
本题考查三角形全等的一个基本判定条件，即“边角边”条件。根据三角形全等的判定定理，当两个三角形的两边及其夹角分别相等时，这两个三角形是全等的。题目中已经给出了“两边及其______分别相等的两个三角形全等”，需要填写的是夹角，以及对应的简写形式。
【答案】：
夹角；$SAS$
解析：
【分析】
本题是全等三角形判定的基础概念考查题，解题时先定位考点为“边角边”判定定理，回忆该定理的具体内容：“边角边”指的是两个三角形的两组对应边以及这两组边的夹角对应相等时，两个三角形全等；其简写字母由边（Side）、角（Angle）的英文首字母按“边-角-边”的顺序组合而成，结合题干提示即可补全空缺内容。
【解析】
根据三角形全等的“边角边”判定定理可知：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，该判定定理简称为“边角边”，取边的英文首字母S、角的英文首字母A，按照两边夹一角的顺序，可简写为“SAS”，因此第一空填“夹角”，第二空填“SAS”。
【答案】
夹角；$SAS$
【知识点】
全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对全等三角形“边角边”判定定理内容和简写的掌握，是全等三角形证明的核心基础知识点，需要熟练记忆、准确区分各类全等判定定理的适用条件。
【难度系数】
0.9
本题是全等三角形判定的基础概念考查题，解题时先定位考点为“边角边”判定定理，回忆该定理的具体内容：“边角边”指的是两个三角形的两组对应边以及这两组边的夹角对应相等时，两个三角形全等；其简写字母由边（Side）、角（Angle）的英文首字母按“边-角-边”的顺序组合而成，结合题干提示即可补全空缺内容。
【解析】
根据三角形全等的“边角边”判定定理可知：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，该判定定理简称为“边角边”，取边的英文首字母S、角的英文首字母A，按照两边夹一角的顺序，可简写为“SAS”，因此第一空填“夹角”，第二空填“SAS”。
【答案】
夹角；$SAS$
【知识点】
全等三角形SAS判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对全等三角形“边角边”判定定理内容和简写的掌握，是全等三角形证明的核心基础知识点，需要熟练记忆、准确区分各类全等判定定理的适用条件。
【难度系数】
0.9
1. 如图是全等三角形的是( )
① ② ③ ④
A.①和②
B.①和③
C.②和③
D.②和④
① ② ③ ④
A.①和②
B.①和③
C.②和③
D.②和④
答案：【解析】：本题考查全等三角形的判定定理“边角边”（SAS），即两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
需要逐一分析选项中两个三角形是否满足“边角边”的条件。
选项 A：①和②中，虽然都有一个$30^{\circ}$的角和两条边，但角不是两条边的夹角，不满足“边角边”条件，所以①和②不全等。
选项 B：①和③中，$30^{\circ}$角是$8cm$和$9cm$两边的夹角，两边及其夹角对应相等，满足“边角边”条件，所以①和③全等。
选项 C：②和③中，边的长度和角的位置不满足“边角边”条件，所以②和③不全等。
选项 D：②和④中，虽然都有一个$30^{\circ}$的角和两条边，但角不是两条边的夹角，不满足“边角边”条件，所以②和④不全等。
【答案】：B
需要逐一分析选项中两个三角形是否满足“边角边”的条件。
选项 A：①和②中，虽然都有一个$30^{\circ}$的角和两条边，但角不是两条边的夹角，不满足“边角边”条件，所以①和②不全等。
选项 B：①和③中，$30^{\circ}$角是$8cm$和$9cm$两边的夹角，两边及其夹角对应相等，满足“边角边”条件，所以①和③全等。
选项 C：②和③中，边的长度和角的位置不满足“边角边”条件，所以②和③不全等。
选项 D：②和④中，虽然都有一个$30^{\circ}$的角和两条边，但角不是两条边的夹角，不满足“边角边”条件，所以②和④不全等。
【答案】：B
解析：
【分析】
要判断全等三角形，首先回忆全等三角形的“边角边（SAS）”判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。解题时首先明确每个三角形中30°角的位置，判断30°角是否为已知两条边的夹角，再逐一对比各选项中两个三角形的边、角是否满足SAS判定条件即可得到答案。
【解析】
根据全等三角形“边角边（SAS）”判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，逐一分析选项：
A. ①和②：①中30°角是8cm和9cm两边的夹角，②中30°角是8cm和5cm两边的夹角，边长不对应相等，不满足SAS条件，两个三角形不全等；
B. ①和③：两个三角形的30°角均为8cm和9cm两边的夹角，两边及其夹角都对应相等，满足SAS条件，两个三角形全等；
C. ②和③：②中30°角的两条邻边为8cm、5cm，③中30°角的两条邻边为8cm、9cm，边长不对应相等，不满足判定条件，两个三角形不全等；
D. ②和④：②中30°角是8cm和5cm两边的夹角，④中30°角不是8cm和5cm两边的夹角，不满足SAS条件，两个三角形不全等。
综上，全等的是①和③。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形SAS判定
【点评】
本题重点考查全等三角形SAS判定的适用条件，解题的关键是明确相等的角必须是两组对应相等边的夹角，注意区分“两边及夹角”和“两边及其中一边的对角”，避免错用判定定理。
【难度系数】
0.8
要判断全等三角形，首先回忆全等三角形的“边角边（SAS）”判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。解题时首先明确每个三角形中30°角的位置，判断30°角是否为已知两条边的夹角，再逐一对比各选项中两个三角形的边、角是否满足SAS判定条件即可得到答案。
【解析】
根据全等三角形“边角边（SAS）”判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，逐一分析选项：
A. ①和②：①中30°角是8cm和9cm两边的夹角，②中30°角是8cm和5cm两边的夹角，边长不对应相等，不满足SAS条件，两个三角形不全等；
B. ①和③：两个三角形的30°角均为8cm和9cm两边的夹角，两边及其夹角都对应相等，满足SAS条件，两个三角形全等；
C. ②和③：②中30°角的两条邻边为8cm、5cm，③中30°角的两条邻边为8cm、9cm，边长不对应相等，不满足判定条件，两个三角形不全等；
D. ②和④：②中30°角是8cm和5cm两边的夹角，④中30°角不是8cm和5cm两边的夹角，不满足SAS条件，两个三角形不全等。
综上，全等的是①和③。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形SAS判定
【点评】
本题重点考查全等三角形SAS判定的适用条件，解题的关键是明确相等的角必须是两组对应相等边的夹角，注意区分“两边及夹角”和“两边及其中一边的对角”，避免错用判定定理。
【难度系数】
0.8
2. 如图,点E,F在AC上,$AD= BC$,$DF= BE$,要利用“SAS”证明$\triangle ADF \cong \triangle CBE$,还需要添加的一个直接条件是______.
答案：【解析】：
本题考查全等三角形的“SAS”判定方法，即两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
已知在$\triangle ADF$和$\triangle CBE$中，$AD = BC$，$DF = BE$，要使用“SAS”判定定理，还需要这两边的夹角相等，即$\angle A = \angle C$。
【答案】：
$\angle A = \angle C$
本题考查全等三角形的“SAS”判定方法，即两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
已知在$\triangle ADF$和$\triangle CBE$中，$AD = BC$，$DF = BE$，要使用“SAS”判定定理，还需要这两边的夹角相等，即$\angle A = \angle C$。
【答案】：
$\angle A = \angle C$
3. (2024·乐山中考改编)如图,AB是$\angle CAD$的平分线,若使$\triangle ABD \cong \triangle ABC$,则应添加的一个条件是______.
答案：解：AC=AD
证明：∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB=∠DAB。
在△ABC和△ABD中，
AC=AD，
∠CAB=∠DAB，
AB=AB，
∴△ABC≌△ABD(SAS)。
或解：∠ABC=∠ABD
证明：∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB=∠DAB。
在△ABC和△ABD中，
∠CAB=∠DAB，
AB=AB，
∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD(ASA)。
或解：∠ACB=∠ADB
证明：∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB=∠DAB。
在△ABC和△ABD中，
∠ACB=∠ADB，
∠CAB=∠DAB，
AB=AB，
∴△ABC≌△ABD(AAS)。
证明：∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB=∠DAB。
在△ABC和△ABD中，
AC=AD，
∠CAB=∠DAB，
AB=AB，
∴△ABC≌△ABD(SAS)。
或解：∠ABC=∠ABD
证明：∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB=∠DAB。
在△ABC和△ABD中，
∠CAB=∠DAB，
AB=AB，
∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD(ASA)。
或解：∠ACB=∠ADB
证明：∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB=∠DAB。
在△ABC和△ABD中，
∠ACB=∠ADB，
∠CAB=∠DAB，
AB=AB，
∴△ABC≌△ABD(AAS)。
解析：
【分析】
要证明△ABD≌△ABC，首先梳理已知条件：由AB是∠CAD的平分线，可得∠CAB=∠DAB，同时两个三角形有公共边AB=AB，即已有一组角相等、一组公共边相等。接下来结合全等三角形的判定定理匹配缺失条件即可：若用SAS判定，需添加夹已知角的另一边相等；若用ASA判定，需添加公共边作为夹边的另一组角相等；若用AAS判定，需添加第三组角相等，注意不能添加BC=BD，SSA无法判定三角形全等。
【解析】
已知AB是∠CAD的平分线，因此$∠ CAB=∠ DAB$，且AB是△ABC和△ABD的公共边，即$AB=AB$，可添加的条件如下（任选其一即可）：
1. 添加$AC=AD$
在$△ ABC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases}AC=AD \\∠ CAB=∠ DAB \\AB=AB\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ABD(\mathrm{SAS})$
2. 添加$∠ ABC=∠ ABD$
在$△ ABC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases}∠ CAB=∠ DAB \\AB=AB \\∠ ABC=∠ ABD\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ABD(\mathrm{ASA})$
3. 添加$∠ ACB=∠ ADB$
在$△ ABC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases}∠ ACB=∠ ADB \\∠ CAB=∠ DAB \\AB=AB\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ABD(\mathrm{AAS})$
【答案】
$AC=AD$（或$∠ ABC=∠ ABD$或$∠ ACB=∠ ADB$，任写一个即可）
【知识点】
1. 角平分线的定义 2. 全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的开放类基础题，解题时要先梳理已有的相等条件，再结合全等判定定理补充对应缺失条件，注意避开SSA等不能判定三角形全等的错误条件。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD≌△ABC，首先梳理已知条件：由AB是∠CAD的平分线，可得∠CAB=∠DAB，同时两个三角形有公共边AB=AB，即已有一组角相等、一组公共边相等。接下来结合全等三角形的判定定理匹配缺失条件即可：若用SAS判定，需添加夹已知角的另一边相等；若用ASA判定，需添加公共边作为夹边的另一组角相等；若用AAS判定，需添加第三组角相等，注意不能添加BC=BD，SSA无法判定三角形全等。
【解析】
已知AB是∠CAD的平分线，因此$∠ CAB=∠ DAB$，且AB是△ABC和△ABD的公共边，即$AB=AB$，可添加的条件如下（任选其一即可）：
1. 添加$AC=AD$
在$△ ABC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases}AC=AD \\∠ CAB=∠ DAB \\AB=AB\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ABD(\mathrm{SAS})$
2. 添加$∠ ABC=∠ ABD$
在$△ ABC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases}∠ CAB=∠ DAB \\AB=AB \\∠ ABC=∠ ABD\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ABD(\mathrm{ASA})$
3. 添加$∠ ACB=∠ ADB$
在$△ ABC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases}∠ ACB=∠ ADB \\∠ CAB=∠ DAB \\AB=AB\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ABD(\mathrm{AAS})$
【答案】
$AC=AD$（或$∠ ABC=∠ ABD$或$∠ ACB=∠ ADB$，任写一个即可）
【知识点】
1. 角平分线的定义 2. 全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的开放类基础题，解题时要先梳理已有的相等条件，再结合全等判定定理补充对应缺失条件，注意避开SSA等不能判定三角形全等的错误条件。
【难度系数】
0.8
4. (淮安中考改编)已知:如图,点A,D,C,F在一条直线上,且$AD= CF$,$AB= DE$,$\angle BAC = \angle EDF$.求证:$\triangle ABC \cong \triangle DEF$.
答案：【解析】：
本题考查全等三角形的证明，根据题目所给条件$AD=CF$，可以得到$AC=DF$，再结合$AB=DE$，$\angle BAC=\angle EDF$，利用“边角边”定理即可证明$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
【答案】：
证明：
∵$AD = CF$，
∴$AD + DC = CF + DC$，即$AC = DF$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}AB = DE\\\angle BAC = \angle EDF\\AC = DF\end{cases}$
∴$\triangle ABC\cong\triangle DEF(SAS)$。
本题考查全等三角形的证明，根据题目所给条件$AD=CF$，可以得到$AC=DF$，再结合$AB=DE$，$\angle BAC=\angle EDF$，利用“边角边”定理即可证明$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
【答案】：
证明：
∵$AD = CF$，
∴$AD + DC = CF + DC$，即$AC = DF$，
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}AB = DE\\\angle BAC = \angle EDF\\AC = DF\end{cases}$
∴$\triangle ABC\cong\triangle DEF(SAS)$。
解析：
【分析】
要证明△ABC≌△DEF，首先梳理已知条件：已经给出一组对应边AB=DE、一组对应夹角∠BAC=∠EDF，还缺少夹这组角的另一组对应边相等的条件。结合点A,D,C,F在同一直线上，且AD=CF，给这两条相等线段同时加上公共线段DC，即可推出AC=DF，满足全等三角形判定的“边角边”定理的条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵$AD = CF$，
∴$AD + DC = CF + DC$，即$AC = DF$，
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AB = DE\\∠ BAC = ∠ EDF\\AC = DF\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DEF(SAS)$。
【答案】
证明：
∵$AD = CF$，
∴$AD + DC = CF + DC$，即$AC = DF$，
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AB = DE\\∠ BAC = ∠ EDF\\AC = DF\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DEF(SAS)$。
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 线段和差运算
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题核心是通过线段和差关系推导得到所需的对应相等边，再结合已知条件用边角边定理完成证明，要熟练掌握这类利用公共线段转化边相等的常用方法。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△DEF，首先梳理已知条件：已经给出一组对应边AB=DE、一组对应夹角∠BAC=∠EDF，还缺少夹这组角的另一组对应边相等的条件。结合点A,D,C,F在同一直线上，且AD=CF，给这两条相等线段同时加上公共线段DC，即可推出AC=DF，满足全等三角形判定的“边角边”定理的条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵$AD = CF$，
∴$AD + DC = CF + DC$，即$AC = DF$，
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AB = DE\\∠ BAC = ∠ EDF\\AC = DF\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DEF(SAS)$。
【答案】
证明：
∵$AD = CF$，
∴$AD + DC = CF + DC$，即$AC = DF$，
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AB = DE\\∠ BAC = ∠ EDF\\AC = DF\end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DEF(SAS)$。
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 线段和差运算
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题核心是通过线段和差关系推导得到所需的对应相等边，再结合已知条件用边角边定理完成证明，要熟练掌握这类利用公共线段转化边相等的常用方法。
【难度系数】
0.8
5. (2024·云南中考)如图,在$\triangle ABC和\triangle AED$中,$AB = AE$,$\angle BAE = \angle CAD$,$AC = AD$.求证:$\triangle ABC \cong \triangle AED$.
答案：【解析】：本题考查全等三角形的判定定理，通过给出的条件，利用“边角边”定理来证明两个三角形全等。
证明过程中，需要先根据已知条件$\angle BAE=\angle CAD$推导出$\angle BAC=\angle EAD$，再结合其他两个条件，利用“边角边”定理证明三角形全等。
【答案】：证明：
∵$\angle BAE=\angle CAD$，
∴$\angle BAE-\angle CAE=\angle CAD-\angle CAE$，
即：$\angle BAC=\angle EAD$，
在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，
$\begin{cases}AB=AE,\\\angle BAC=\angle EAD,\\AC=AD.\end{cases}$
∴$\triangle ABC\cong\triangle AED(SAS)$。
证明过程中，需要先根据已知条件$\angle BAE=\angle CAD$推导出$\angle BAC=\angle EAD$，再结合其他两个条件，利用“边角边”定理证明三角形全等。
【答案】：证明：
∵$\angle BAE=\angle CAD$，
∴$\angle BAE-\angle CAE=\angle CAD-\angle CAE$，
即：$\angle BAC=\angle EAD$，
在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，
$\begin{cases}AB=AE,\\\angle BAC=\angle EAD,\\AC=AD.\end{cases}$
∴$\triangle ABC\cong\triangle AED(SAS)$。
解析：
【分析】
要证明△ABC≌△AED，首先结合已知条件梳理全等判定所需要素：题目已给出两组对应边相等（AB=AE、AC=AD），若采用“边角边（SAS）”判定，只需证明两组边的夹角∠BAC与∠EAD相等即可。观察已知∠BAE=∠CAD，两个角同时减去公共角∠CAE，即可推导出两个夹角相等，满足SAS判定条件后即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $∠ BAE = ∠ CAD$，
∴ $∠ BAE - ∠ CAE = ∠ CAD - ∠ CAE$，
即 $∠ BAC = ∠ EAD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB = AE,\\∠ BAC = ∠ EAD,\\AC = AD\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS})$。
【答案】
证明：
∵ $∠ BAE = ∠ CAD$，
∴ $∠ BAE - ∠ CAE = ∠ CAD - ∠ CAE$，
即 $∠ BAC = ∠ EAD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB = AE,\\∠ BAC = ∠ EAD,\\AC = AD\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS})$。
【知识点】
全等三角形SAS判定，角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题，主要考查边角边判定定理的应用，解题核心是通过已知等角推导得到对应边的夹角相等，熟练掌握全等判定条件即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△AED，首先结合已知条件梳理全等判定所需要素：题目已给出两组对应边相等（AB=AE、AC=AD），若采用“边角边（SAS）”判定，只需证明两组边的夹角∠BAC与∠EAD相等即可。观察已知∠BAE=∠CAD，两个角同时减去公共角∠CAE，即可推导出两个夹角相等，满足SAS判定条件后即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $∠ BAE = ∠ CAD$，
∴ $∠ BAE - ∠ CAE = ∠ CAD - ∠ CAE$，
即 $∠ BAC = ∠ EAD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB = AE,\\∠ BAC = ∠ EAD,\\AC = AD\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS})$。
【答案】
证明：
∵ $∠ BAE = ∠ CAD$，
∴ $∠ BAE - ∠ CAE = ∠ CAD - ∠ CAE$，
即 $∠ BAC = ∠ EAD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB = AE,\\∠ BAC = ∠ EAD,\\AC = AD\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS})$。
【知识点】
全等三角形SAS判定，角的和差计算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题，主要考查边角边判定定理的应用，解题核心是通过已知等角推导得到对应边的夹角相等，熟练掌握全等判定条件即可快速解答。
【难度系数】
0.8