9. 求下列各式中 x 的值.
(1)$2x^2-2.88= 0$；
(2)$(x-4)^2= 4$；
(3)$(3x-1)^3= 8$；
(4)$2(x^3+2)+124= 0$.
(1)$2x^2-2.88= 0$；
(2)$(x-4)^2= 4$；
(3)$(3x-1)^3= 8$；
(4)$2(x^3+2)+124= 0$.
答案：
(1)$x=1.2$或$x=-1.2$
(2)$x=2$或$x=6$
(3)$x=1$
(4)$x=-4$
(1)$x=1.2$或$x=-1.2$
(2)$x=2$或$x=6$
(3)$x=1$
(4)$x=-4$
解析：
【分析】
这4道小题均是利用平方根、立方根的定义求解方程的题型，整体解题思路为：先通过移项、系数化为1等运算，将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负常数”或“含未知数的完全立方式=常数”的形式，再根据平方根、立方根的定义求解。注意开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解；开立方时任意实数仅对应唯一的立方根，结果唯一。
【解析】
(1) 解：移项得 $2x^2=2.88$
系数化为1得 $x^2=1.44$
根据平方根的定义，得 $x=\pm\sqrt{1.44}=\pm1.2$
即 $x=1.2$ 或 $x=-1.2$
(2) 解：根据平方根的定义，得 $x-4=\pm\sqrt{4}=\pm2$
当 $x-4=2$ 时，解得 $x=6$；当 $x-4=-2$ 时，解得 $x=2$
即 $x=2$ 或 $x=6$
(3) 解：根据立方根的定义，得 $3x-1=\sqrt[3]{8}=2$
移项得 $3x=3$，系数化为1得 $x=1$
(4) 解：移项得 $2(x^3+2)=-124$
系数化为1得 $x^3+2=-62$
移项得 $x^3=-64$
根据立方根的定义，得 $x=\sqrt[3]{-64}=-4$
【答案】
(1)$x=1.2$或$x=-1.2$
(2)$x=2$或$x=6$
(3)$x=1$
(4)$x=-4$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是平方根、立方根应用的基础题型，核心考察开方运算在解方程中的应用，解题时需注意区分开平方和开立方的差异，避免开平方时漏写负根。
【难度系数】
0.8
这4道小题均是利用平方根、立方根的定义求解方程的题型，整体解题思路为：先通过移项、系数化为1等运算，将方程变形为“含未知数的完全平方式=非负常数”或“含未知数的完全立方式=常数”的形式，再根据平方根、立方根的定义求解。注意开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解；开立方时任意实数仅对应唯一的立方根，结果唯一。
【解析】
(1) 解：移项得 $2x^2=2.88$
系数化为1得 $x^2=1.44$
根据平方根的定义，得 $x=\pm\sqrt{1.44}=\pm1.2$
即 $x=1.2$ 或 $x=-1.2$
(2) 解：根据平方根的定义，得 $x-4=\pm\sqrt{4}=\pm2$
当 $x-4=2$ 时，解得 $x=6$；当 $x-4=-2$ 时，解得 $x=2$
即 $x=2$ 或 $x=6$
(3) 解：根据立方根的定义，得 $3x-1=\sqrt[3]{8}=2$
移项得 $3x=3$，系数化为1得 $x=1$
(4) 解：移项得 $2(x^3+2)=-124$
系数化为1得 $x^3+2=-62$
移项得 $x^3=-64$
根据立方根的定义，得 $x=\sqrt[3]{-64}=-4$
【答案】
(1)$x=1.2$或$x=-1.2$
(2)$x=2$或$x=6$
(3)$x=1$
(4)$x=-4$
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是平方根、立方根应用的基础题型，核心考察开方运算在解方程中的应用，解题时需注意区分开平方和开立方的差异，避免开平方时漏写负根。
【难度系数】
0.8
10. 下列说法：①带根号的数也可以是有理数；②一个数的算术平方根一定是正数；③无理数包括正无理数、0 和负无理数；④一个不为零的数的立方根和这个数同号,0 的立方根是 0.其中正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：
【分析】
本题考查实数相关的基础概念辨析，解题时需逐一分析4个说法，结合算术平方根、无理数、立方根的定义及性质判断对错，最终统计正确说法的个数即可得出答案。
【解析】
我们逐个判断每个说法的正误：
1. 分析说法①：带根号的数如果开方能得到整数或分数，就属于有理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是有理数，因此带根号的数也可以是有理数，①正确。
2. 分析说法②：0的算术平方根是0，0既不是正数也不是负数，因此“一个数的算术平方根一定是正数”的表述错误，②错误。
3. 分析说法③：0是有理数，不属于无理数，无理数仅包括正无理数和负无理数，③错误。
4. 分析说法④：根据立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，因此一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0，④正确。
综上，正确的说法是①和④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的分类；立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握各类数的定义和性质，尤其要注意0这类特殊值的相关结论，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
本题考查实数相关的基础概念辨析，解题时需逐一分析4个说法，结合算术平方根、无理数、立方根的定义及性质判断对错，最终统计正确说法的个数即可得出答案。
【解析】
我们逐个判断每个说法的正误：
1. 分析说法①：带根号的数如果开方能得到整数或分数，就属于有理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是有理数，因此带根号的数也可以是有理数，①正确。
2. 分析说法②：0的算术平方根是0，0既不是正数也不是负数，因此“一个数的算术平方根一定是正数”的表述错误，②错误。
3. 分析说法③：0是有理数，不属于无理数，无理数仅包括正无理数和负无理数，③错误。
4. 分析说法④：根据立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，因此一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0，④正确。
综上，正确的说法是①和④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的分类；立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握各类数的定义和性质，尤其要注意0这类特殊值的相关结论，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
11. (雅安中考)已知$\sqrt{a-2}+|b-2a|= 0$,则 a+2b 的值为( )
A.4
B.6
C.8
D.10
A.4
B.6
C.8
D.10
答案：D
解析：
【分析】
解题时首先要回忆非负数的相关性质：算术平方根和绝对值的结果都是非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0。我们可以根据这个性质分别列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后，再代入代数式a+2b计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a-2}≥0$，$|b-2a|≥0$，且$\sqrt{a-2}+|b-2a|=0$
∴根据非负数的性质可列方程组：
$\begin{cases}a-2=0\\b-2a=0\end{cases}$
解第一个方程得：$a=2$
将$a=2$代入第二个方程得：$b-2×2=0$，解得$b=4$
将$a=2$，$b=4$代入$a+2b$得：
$a+2b=2+2×4=10$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质、二次根式的非负性、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查非负数性质的应用，解题关键是掌握常见非负数（算术平方根、绝对值、偶次幂）的和为0时，每个非负数都为0的规律，再通过解方程求出参数后代入代数式求值即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆非负数的相关性质：算术平方根和绝对值的结果都是非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0。我们可以根据这个性质分别列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后，再代入代数式a+2b计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a-2}≥0$，$|b-2a|≥0$，且$\sqrt{a-2}+|b-2a|=0$
∴根据非负数的性质可列方程组：
$\begin{cases}a-2=0\\b-2a=0\end{cases}$
解第一个方程得：$a=2$
将$a=2$代入第二个方程得：$b-2×2=0$，解得$b=4$
将$a=2$，$b=4$代入$a+2b$得：
$a+2b=2+2×4=10$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质、二次根式的非负性、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查非负数性质的应用，解题关键是掌握常见非负数（算术平方根、绝对值、偶次幂）的和为0时，每个非负数都为0的规律，再通过解方程求出参数后代入代数式求值即可。
【难度系数】
0.9
12. (2023·徐州中考)$\sqrt{2023}$的值介于( )
A.25 与 30 之间
B.30 与 35 之间
C.35 与 40 之间
D.40 与 45 之间
A.25 与 30 之间
B.30 与 35 之间
C.35 与 40 之间
D.40 与 45 之间
答案：D 解析：$\because 1\ 600＜2\ 023＜2\ 025$,$\therefore \sqrt{1\ 600}＜\sqrt{2\ 023}＜\sqrt{2\ 025}$,即$40＜\sqrt{2\ 023}＜45$,故选 D.
解析：
【分析】
本题考查无理数的估算，解题需结合算术平方根的性质思考：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。我们首先要找到与被开方数2023相邻的两个能开得尽方的完全平方数，再分别计算这两个完全平方数的算术平方根，就能确定$\sqrt{2023}$的取值范围，匹配到正确选项。
【解析】
先计算常见整数的平方值：
∵ $40^2=1600$，$45^2=2025$，
∴ $1600＜2023＜2025$，
根据算术平方根的性质，被开方数越大对应的算术平方根越大，可得：
$\sqrt{1600}＜\sqrt{2023}＜\sqrt{2025}$，
即 $40＜\sqrt{2023}＜45$，
因此$\sqrt{2023}$的值介于40与45之间。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，解题关键是熟练记忆常见正整数的平方值，能快速定位与被开方数相邻的两个完全平方数。
【难度系数】
0.9
本题考查无理数的估算，解题需结合算术平方根的性质思考：被开方数越大，对应的算术平方根也越大。我们首先要找到与被开方数2023相邻的两个能开得尽方的完全平方数，再分别计算这两个完全平方数的算术平方根，就能确定$\sqrt{2023}$的取值范围，匹配到正确选项。
【解析】
先计算常见整数的平方值：
∵ $40^2=1600$，$45^2=2025$，
∴ $1600＜2023＜2025$，
根据算术平方根的性质，被开方数越大对应的算术平方根越大，可得：
$\sqrt{1600}＜\sqrt{2023}＜\sqrt{2025}$，
即 $40＜\sqrt{2023}＜45$，
因此$\sqrt{2023}$的值介于40与45之间。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，解题关键是熟练记忆常见正整数的平方值，能快速定位与被开方数相邻的两个完全平方数。
【难度系数】
0.9
13. 若$a^3= a$,则 a 的值是______.
答案：0 或$\pm 1$
解析：
【分析】
遇到等式$a^3=a$时，我们可以先通过移项将等式右侧化为0，得到$a^3 - a = 0$；接下来利用因式分解方法，先提取公因式$a$，再对剩余的二次式用平方差公式分解，将原式转化为几个一次因式乘积为0的形式；最后根据“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的性质，分别令每个因式等于0，就能求出$a$的所有可能值，解题时要注意不要漏解。
【解析】
已知$a^3 = a$，移项可得：
$a^3 - a = 0$
提取公因式$a$，得：
$a(a^2 - 1) = 0$
根据平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，将$a^2-1$分解，得：
$a(a-1)(a+1) = 0$
根据乘积为0的性质，可得：
$a=0$，或$a-1=0$，或$a+1=0$
解得$a=0$、$a=1$、$a=-1$。
【答案】
0 或$\pm 1$
【知识点】
因式分解，平方差公式，零乘积性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查因式分解的应用，解题时要注意移项变号，因式分解要彻底，避免出现漏解的情况，求出结果后可以代入原式验证是否成立，降低出错概率。
【难度系数】
0.75
遇到等式$a^3=a$时，我们可以先通过移项将等式右侧化为0，得到$a^3 - a = 0$；接下来利用因式分解方法，先提取公因式$a$，再对剩余的二次式用平方差公式分解，将原式转化为几个一次因式乘积为0的形式；最后根据“若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”的性质，分别令每个因式等于0，就能求出$a$的所有可能值，解题时要注意不要漏解。
【解析】
已知$a^3 = a$，移项可得：
$a^3 - a = 0$
提取公因式$a$，得：
$a(a^2 - 1) = 0$
根据平方差公式$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，将$a^2-1$分解，得：
$a(a-1)(a+1) = 0$
根据乘积为0的性质，可得：
$a=0$，或$a-1=0$，或$a+1=0$
解得$a=0$、$a=1$、$a=-1$。
【答案】
0 或$\pm 1$
【知识点】
因式分解，平方差公式，零乘积性质
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查因式分解的应用，解题时要注意移项变号，因式分解要彻底，避免出现漏解的情况，求出结果后可以代入原式验证是否成立，降低出错概率。
【难度系数】
0.75
14. (1)某景区游客日最大接待量为 55500 人,数字 55500 用四舍五入法精确到千位可以表示为______；(用科学记数法表示)
(2)近似数$1.8×10^6$精确到______位.
(2)近似数$1.8×10^6$精确到______位.
答案：
(1)$5.6× 10^{4}$
(2)十万
(1)$5.6× 10^{4}$
(2)十万
解析：
【分析】
本题分为两小问，分别考查四舍五入取近似值结合科学记数法表示、近似数精确度的判断：
(1) 第一问需先明确精确到千位的规则：观察千位后一位即百位上的数字，用四舍五入法判断是否进位，再将得到的近似值改写为科学记数法（形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数）即可。
(2) 第二问判断科学记数法表示的近似数的精确位时，需要先把科学记数法还原为原数，再看$a$的最后一位数字对应原数的哪一位，就是精确到哪一位。
【解析】
(1) 先确定55500的数位：从右往左数，千位是第4位上的数字5，百位是第3位上的数字5。根据四舍五入规则，百位数字为5，需向千位进1，千位的5加1得6，因此精确到千位的近似值为56000。将56000改写为科学记数法：$56000=5.6×10^4$。
(2) 先将$1.8×10^6$还原为原数：$1.8×10^6=1800000$。观察$a=1.8$的末位数字是8，对应原数1800000中的数位是十万位，因此该近似数精确到十万位。
【答案】
(1)$5.6× 10^{4}$；(2)十万
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 四舍五入法
3. 科学记数法
【点评】
本题是近似数相关的基础题型，重点需要注意的是用科学记数法表示的近似数判断精确位时，不能直接看$a$的小数位，必须还原为原数后再对应判断，避免出现判断为十分位的错误。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，分别考查四舍五入取近似值结合科学记数法表示、近似数精确度的判断：
(1) 第一问需先明确精确到千位的规则：观察千位后一位即百位上的数字，用四舍五入法判断是否进位，再将得到的近似值改写为科学记数法（形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数）即可。
(2) 第二问判断科学记数法表示的近似数的精确位时，需要先把科学记数法还原为原数，再看$a$的最后一位数字对应原数的哪一位，就是精确到哪一位。
【解析】
(1) 先确定55500的数位：从右往左数，千位是第4位上的数字5，百位是第3位上的数字5。根据四舍五入规则，百位数字为5，需向千位进1，千位的5加1得6，因此精确到千位的近似值为56000。将56000改写为科学记数法：$56000=5.6×10^4$。
(2) 先将$1.8×10^6$还原为原数：$1.8×10^6=1800000$。观察$a=1.8$的末位数字是8，对应原数1800000中的数位是十万位，因此该近似数精确到十万位。
【答案】
(1)$5.6× 10^{4}$；(2)十万
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 四舍五入法
3. 科学记数法
【点评】
本题是近似数相关的基础题型，重点需要注意的是用科学记数法表示的近似数判断精确位时，不能直接看$a$的小数位，必须还原为原数后再对应判断，避免出现判断为十分位的错误。
【难度系数】
0.7
15. 把正方形的四个角折起来成为如图中阴影的小正方形,四个顶点都落在点 M 处,以原点为圆心,阴影小正方形的边长为半径作圆,交数轴于点 B,E,再分别以数-1 和 1 所表示的点为圆心,阴影小正方形的边长为半径作圆,与数轴的交点为 A,D,C,F,则表示数$1-\sqrt{2}和数\sqrt{2}+1$的点分别是______.(填相应的字母,注意顺序)
答案：C,F
解析：
【分析】
解题首先需要求出阴影小正方形的边长：观察数轴可知大正方形的边长为2（数轴上-1到1的距离为2，即大正方形的边长），将正方形四个角折叠到中心M时，折起的部分是直角边为1的等腰直角三角形，其斜边就是阴影小正方形的边长，可通过勾股定理计算得到边长为√2。接下来分别分析两个所求数的位置：1-√2是小于0的数，约为-0.414，位于-1和0之间；√2+1是大于1的数，约为2.414，位于1右侧。再结合“圆上的点到圆心的距离等于半径”的性质，判断两个数对应的数轴上的点即可。
【解析】
1. 求阴影小正方形的边长：
由图可知大正方形的边长为 $1 - (-1) = 2$，折叠后形成的等腰直角三角形的直角边长为 $2÷2=1$，根据勾股定理，阴影小正方形的边长 $r = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 判断表示$1-\sqrt{2}$的点：
$1-\sqrt{2}$是以表示数1的点为圆心，$r=\sqrt{2}$为半径，向左与数轴的交点，计算得$1-\sqrt{2}\approx-0.414$，位于数轴上-1和0之间，对应点C。
3. 判断表示$\sqrt{2}+1$的点：
$\sqrt{2}+1$是以表示数1的点为圆心，$r=\sqrt{2}$为半径，向右与数轴的交点，计算得$\sqrt{2}+1\approx2.414$，位于数轴上1的右侧，对应点F。
【答案】
C,F
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的基本性质
【点评】
本题综合考查了折叠的性质、勾股定理的应用以及实数和数轴的对应关系，解题的核心是先求出阴影正方形的边长，再结合圆的半径相等的性质计算对应点表示的数，结合数轴位置即可快速判断结果。
【难度系数】
0.65
解题首先需要求出阴影小正方形的边长：观察数轴可知大正方形的边长为2（数轴上-1到1的距离为2，即大正方形的边长），将正方形四个角折叠到中心M时，折起的部分是直角边为1的等腰直角三角形，其斜边就是阴影小正方形的边长，可通过勾股定理计算得到边长为√2。接下来分别分析两个所求数的位置：1-√2是小于0的数，约为-0.414，位于-1和0之间；√2+1是大于1的数，约为2.414，位于1右侧。再结合“圆上的点到圆心的距离等于半径”的性质，判断两个数对应的数轴上的点即可。
【解析】
1. 求阴影小正方形的边长：
由图可知大正方形的边长为 $1 - (-1) = 2$，折叠后形成的等腰直角三角形的直角边长为 $2÷2=1$，根据勾股定理，阴影小正方形的边长 $r = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
2. 判断表示$1-\sqrt{2}$的点：
$1-\sqrt{2}$是以表示数1的点为圆心，$r=\sqrt{2}$为半径，向左与数轴的交点，计算得$1-\sqrt{2}\approx-0.414$，位于数轴上-1和0之间，对应点C。
3. 判断表示$\sqrt{2}+1$的点：
$\sqrt{2}+1$是以表示数1的点为圆心，$r=\sqrt{2}$为半径，向右与数轴的交点，计算得$\sqrt{2}+1\approx2.414$，位于数轴上1的右侧，对应点F。
【答案】
C,F
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的基本性质
【点评】
本题综合考查了折叠的性质、勾股定理的应用以及实数和数轴的对应关系，解题的核心是先求出阴影正方形的边长，再结合圆的半径相等的性质计算对应点表示的数，结合数轴位置即可快速判断结果。
【难度系数】
0.65