16. 已知$y= \sqrt{x-5}+\sqrt{5-x}+3$,求$3x+2y$的算术平方根.
答案：由题意得$x=5$,$y=3$,故$3x+2y=21$,其算术平方根为$\sqrt{21}$.
解析：
【分析】
要计算$3x+2y$的算术平方根，首先需要求出$x$和$y$的值。观察已知的$y$的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，因此可以列出关于$x$的不等式组，求解得到$x$的取值，再代入表达式求出$y$的值，最后代入$3x+2y$计算后求其算术平方根即可。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{x-5}$和$\sqrt{5-x}$有意义，被开方数需满足非负条件，即：
$\begin{cases}x-5≥0 \\5-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-5≥0$得$x≥5$，解不等式$5-x≥0$得$x≤5$，因此$x=5$。
将$x=5$代入$y=\sqrt{x-5}+\sqrt{5-x}+3$中，得$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+3=3$。
所以$3x+2y=3×5 + 2×3=15+6=21$。
根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是其正的平方根，因此21的算术平方根为$\sqrt{21}$。
【答案】
$\sqrt{21}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；算术平方根的定义
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题的核心是抓住二次根式被开方数非负的性质，先确定未知参数$x$的取值，再逐步推导计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
要计算$3x+2y$的算术平方根，首先需要求出$x$和$y$的值。观察已知的$y$的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，因此可以列出关于$x$的不等式组，求解得到$x$的取值，再代入表达式求出$y$的值，最后代入$3x+2y$计算后求其算术平方根即可。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{x-5}$和$\sqrt{5-x}$有意义，被开方数需满足非负条件，即：
$\begin{cases}x-5≥0 \\5-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-5≥0$得$x≥5$，解不等式$5-x≥0$得$x≤5$，因此$x=5$。
将$x=5$代入$y=\sqrt{x-5}+\sqrt{5-x}+3$中，得$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+3=3$。
所以$3x+2y=3×5 + 2×3=15+6=21$。
根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是其正的平方根，因此21的算术平方根为$\sqrt{21}$。
【答案】
$\sqrt{21}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；算术平方根的定义
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题的核心是抓住二次根式被开方数非负的性质，先确定未知参数$x$的取值，再逐步推导计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
17. 已知 5a+2 的立方根是 3,3a+b-1 的算术平方根是 4,c 是$\sqrt{13}$的整数部分.
(1)求 a,b,c 的值；
(2)求$3a-b+c$的平方根.
(1)求 a,b,c 的值；
(2)求$3a-b+c$的平方根.
答案：
(1)$\because 5a+2$的立方根是 3,$3a+b-1$的算术平方根是 4,$\therefore \begin{cases} 5a+2=27, \\ 3a+b-1=16, \end{cases}$$\therefore \begin{cases} a=5, \\ b=2. \end{cases}$$\because c$是$\sqrt{13}$的整数部分,$\therefore c=3$.
(2)将$a=5$,$b=2$,$c=3$代入得$3a-b+c=16$,$\therefore 3a-b+c$的平方根是$\pm 4$.
(1)$\because 5a+2$的立方根是 3,$3a+b-1$的算术平方根是 4,$\therefore \begin{cases} 5a+2=27, \\ 3a+b-1=16, \end{cases}$$\therefore \begin{cases} a=5, \\ b=2. \end{cases}$$\because c$是$\sqrt{13}$的整数部分,$\therefore c=3$.
(2)将$a=5$,$b=2$,$c=3$代入得$3a-b+c=16$,$\therefore 3a-b+c$的平方根是$\pm 4$.
解析：
【分析】
本题解题思路清晰，可分两步推进：
（1）求a、b、c的值：①根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，据此列方程可求出a的值；②根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根是4，则这个数等于4的平方，将求得的a代入即可列方程求出b的值；③估算$\sqrt{13}$的范围，因为$3^2=9$，$4^2=16$，可得$3＜\sqrt{13}＜4$，即可得到$\sqrt{13}$的整数部分c的值。
（2）求$3a-b+c$的平方根：先将a、b、c的值代入代数式算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出最终结果。
【解析】
（1）$\because 5a+2$的立方根是3，$3a+b-1$的算术平方根是4，
$\therefore \begin{cases} 5a+2=3^3=27, \\ 3a+b-1=4^2=16, \end{cases}$
解第一个方程得：$5a=25$，即$a=5$，
将$a=5$代入第二个方程得：$15+b-1=16$，解得$b=2$。
$\because c$是$\sqrt{13}$的整数部分，且$9＜13＜16$，
$\therefore 3＜\sqrt{13}＜4$，即$c=3$。
（2）将$a=5$，$b=2$，$c=3$代入$3a-b+c$得：
$3×5-2+3=16$，
$\because (\pm4)^2=16$，
$\therefore 3a-b+c$的平方根是$\pm4$。
【答案】
（1）$a=5$，$b=2$，$c=3$；
（2）$\pm4$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于根式相关的基础题型，核心考查对各类根式概念的掌握，做题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，求正数的平方根时不要遗漏负的结果；无理数估算可通过对比相邻整数的平方确定范围，进而得到整数部分。
【难度系数】
0.8
本题解题思路清晰，可分两步推进：
（1）求a、b、c的值：①根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，据此列方程可求出a的值；②根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根是4，则这个数等于4的平方，将求得的a代入即可列方程求出b的值；③估算$\sqrt{13}$的范围，因为$3^2=9$，$4^2=16$，可得$3＜\sqrt{13}＜4$，即可得到$\sqrt{13}$的整数部分c的值。
（2）求$3a-b+c$的平方根：先将a、b、c的值代入代数式算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出最终结果。
【解析】
（1）$\because 5a+2$的立方根是3，$3a+b-1$的算术平方根是4，
$\therefore \begin{cases} 5a+2=3^3=27, \\ 3a+b-1=4^2=16, \end{cases}$
解第一个方程得：$5a=25$，即$a=5$，
将$a=5$代入第二个方程得：$15+b-1=16$，解得$b=2$。
$\because c$是$\sqrt{13}$的整数部分，且$9＜13＜16$，
$\therefore 3＜\sqrt{13}＜4$，即$c=3$。
（2）将$a=5$，$b=2$，$c=3$代入$3a-b+c$得：
$3×5-2+3=16$，
$\because (\pm4)^2=16$，
$\therefore 3a-b+c$的平方根是$\pm4$。
【答案】
（1）$a=5$，$b=2$，$c=3$；
（2）$\pm4$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于根式相关的基础题型，核心考查对各类根式概念的掌握，做题时要注意区分算术平方根和平方根的差异，求正数的平方根时不要遗漏负的结果；无理数估算可通过对比相邻整数的平方确定范围，进而得到整数部分。
【难度系数】
0.8
18. 对于实数 a,我们规定：用符号$[\sqrt{a}]表示不大于\sqrt{a}$的最大整数,称$[\sqrt{a}]$为 a 的根整数,例如：$[\sqrt{9}]= 3$,$[\sqrt{10}]= 3$.
(1)仿照以上方法计算：$[\sqrt{4}]= $______；$[\sqrt{26}]= $______.
(2)若$[\sqrt{x}]= 1$,写出满足题意的 x 的整数值：______.
如果我们对 a 连续求根整数,直到结果为 1 为止.例如：对 10 连续求根整数 2 次：$[\sqrt{10}]= 3→[\sqrt{3}]= 1$,这时候结果为 1.
(3)对 100 连续求根整数,______次之后结果为 1.
(4)求只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的最大正整数.
(1)仿照以上方法计算：$[\sqrt{4}]= $______；$[\sqrt{26}]= $______.
(2)若$[\sqrt{x}]= 1$,写出满足题意的 x 的整数值：______.
如果我们对 a 连续求根整数,直到结果为 1 为止.例如：对 10 连续求根整数 2 次：$[\sqrt{10}]= 3→[\sqrt{3}]= 1$,这时候结果为 1.
(3)对 100 连续求根整数,______次之后结果为 1.
(4)求只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的最大正整数.
答案：
(1)2 5
(2)1,2,3
(3)3
(4)$\because [\sqrt{255}]=15$,$[\sqrt{15}]=3$,$[\sqrt{3}]=1$,$\therefore$对 255 只需进行 3 次连续求根整数运算后变为 1.$\because [\sqrt{256}]=16$,$[\sqrt{16}]=4$,$[\sqrt{4}]=2$,$[\sqrt{2}]=1$,$\therefore$对 256 需进行 4 次连续求根整数运算后变为 1,$\therefore$只需进行 3 次连续求根整数运算后变为 1 的所有正整数中,最大的是 255.
(1)2 5
(2)1,2,3
(3)3
(4)$\because [\sqrt{255}]=15$,$[\sqrt{15}]=3$,$[\sqrt{3}]=1$,$\therefore$对 255 只需进行 3 次连续求根整数运算后变为 1.$\because [\sqrt{256}]=16$,$[\sqrt{16}]=4$,$[\sqrt{4}]=2$,$[\sqrt{2}]=1$,$\therefore$对 256 需进行 4 次连续求根整数运算后变为 1,$\therefore$只需进行 3 次连续求根整数运算后变为 1 的所有正整数中,最大的是 255.
解析：
【分析】
本题是新定义类题型，核心是理解“根整数”$[\sqrt{a}]$的含义：即不大于$\sqrt{a}$的最大整数，本质是对$\sqrt{a}$向下取整。解题思路如下：
(1) 先确定被开方数对应的算术平方根的范围，再取不大于它的最大整数即可；
(2) 由$[\sqrt{x}]=1$反推$\sqrt{x}$的取值范围是$1≤\sqrt{x}＜2$，两边平方得到$x$的范围，再取整数解；
(3) 按照规则对100连续求根整数，直到结果为1，统计运算次数；
(4) 反向推导：要经过3次运算得1，先确定第3次运算前的数的范围，再依次倒推第2次、第1次运算前的数的范围，找到最大正整数后验证边界值即可。
【解析】
(1) $\because\sqrt{4}=2$，不大于2的最大整数是2，$\therefore[\sqrt{4}]=2$；
$\because5^2=25$，$6^2=36$，$25＜26＜36$，$\therefore5＜\sqrt{26}＜6$，不大于$\sqrt{26}$的最大整数是5，即$[\sqrt{26}]=5$。
(2) 若$[\sqrt{x}]=1$，则$1≤\sqrt{x}＜2$，两边平方得$1≤ x＜4$，$\therefore$满足题意的$x$的整数值为1,2,3。
(3) 对100连续求根整数：
第1次：$[\sqrt{100}]=10$，
第2次：$[\sqrt{10}]=3$，
第3次：$[\sqrt{3}]=1$，
$\therefore$3次之后结果为1。
(4) 反向推导：
若第3次运算后结果为1，则第3次运算前的数满足$[\sqrt{a}]=1$，即$1≤ a＜4$；
则第2次运算的结果要小于4，即第2次运算前的数$b$满足$[\sqrt{b}]＜4$，即$b＜4^2=16$；
则第1次运算的结果要小于16，即第1次运算前的数$c$满足$[\sqrt{c}]＜16$，即$c＜16^2=256$。
验证：$\because[\sqrt{255}]=15$，$[\sqrt{15}]=3$，$[\sqrt{3}]=1$，$\therefore$255经过3次运算得1；
$\because[\sqrt{256}]=16$，$[\sqrt{16}]=4$，$[\sqrt{4}]=2$，$[\sqrt{2}]=1$，$\therefore$256需要4次运算得1，
$\therefore$满足条件的最大正整数是255。
【答案】
(1) $2$；$5$
(2) $1,2,3$
(3) $3$
(4) $255$
【知识点】
新定义运算，无理数估算，算术平方根性质
【点评】
本题以新定义“根整数”为背景，考查对新概念的理解能力和无理数大小估算的能力，解题的关键是准确把握根整数的取值规则，反向推导最大正整数时要注意验证边界值，避免多算或者漏算运算次数。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类题型，核心是理解“根整数”$[\sqrt{a}]$的含义：即不大于$\sqrt{a}$的最大整数，本质是对$\sqrt{a}$向下取整。解题思路如下：
(1) 先确定被开方数对应的算术平方根的范围，再取不大于它的最大整数即可；
(2) 由$[\sqrt{x}]=1$反推$\sqrt{x}$的取值范围是$1≤\sqrt{x}＜2$，两边平方得到$x$的范围，再取整数解；
(3) 按照规则对100连续求根整数，直到结果为1，统计运算次数；
(4) 反向推导：要经过3次运算得1，先确定第3次运算前的数的范围，再依次倒推第2次、第1次运算前的数的范围，找到最大正整数后验证边界值即可。
【解析】
(1) $\because\sqrt{4}=2$，不大于2的最大整数是2，$\therefore[\sqrt{4}]=2$；
$\because5^2=25$，$6^2=36$，$25＜26＜36$，$\therefore5＜\sqrt{26}＜6$，不大于$\sqrt{26}$的最大整数是5，即$[\sqrt{26}]=5$。
(2) 若$[\sqrt{x}]=1$，则$1≤\sqrt{x}＜2$，两边平方得$1≤ x＜4$，$\therefore$满足题意的$x$的整数值为1,2,3。
(3) 对100连续求根整数：
第1次：$[\sqrt{100}]=10$，
第2次：$[\sqrt{10}]=3$，
第3次：$[\sqrt{3}]=1$，
$\therefore$3次之后结果为1。
(4) 反向推导：
若第3次运算后结果为1，则第3次运算前的数满足$[\sqrt{a}]=1$，即$1≤ a＜4$；
则第2次运算的结果要小于4，即第2次运算前的数$b$满足$[\sqrt{b}]＜4$，即$b＜4^2=16$；
则第1次运算的结果要小于16，即第1次运算前的数$c$满足$[\sqrt{c}]＜16$，即$c＜16^2=256$。
验证：$\because[\sqrt{255}]=15$，$[\sqrt{15}]=3$，$[\sqrt{3}]=1$，$\therefore$255经过3次运算得1；
$\because[\sqrt{256}]=16$，$[\sqrt{16}]=4$，$[\sqrt{4}]=2$，$[\sqrt{2}]=1$，$\therefore$256需要4次运算得1，
$\therefore$满足条件的最大正整数是255。
【答案】
(1) $2$；$5$
(2) $1,2,3$
(3) $3$
(4) $255$
【知识点】
新定义运算，无理数估算，算术平方根性质
【点评】
本题以新定义“根整数”为背景，考查对新概念的理解能力和无理数大小估算的能力，解题的关键是准确把握根整数的取值规则，反向推导最大正整数时要注意验证边界值，避免多算或者漏算运算次数。
【难度系数】
0.6