1. 勾股定理:直角三角形______的平方和等于______的平方.
答案：两条直角边 斜边
解析：
【分析】
本题考查勾股定理的基础定义，解题时先回忆直角三角形的边的分类：夹直角的两条边为直角边，直角所对的边为斜边，再对应勾股定理描述的三边平方关系，直接填充空缺内容即可。
【解析】
根据勾股定理的标准内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此第一个空缺处填“两条直角边”，第二个空缺处填“斜边”。
【答案】
两条直角边 斜边
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对勾股定理核心内容的掌握，熟练记忆定理内容即可快速得分。
【难度系数】
0.95
本题考查勾股定理的基础定义，解题时先回忆直角三角形的边的分类：夹直角的两条边为直角边，直角所对的边为斜边，再对应勾股定理描述的三边平方关系，直接填充空缺内容即可。
【解析】
根据勾股定理的标准内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此第一个空缺处填“两条直角边”，第二个空缺处填“斜边”。
【答案】
两条直角边 斜边
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对勾股定理核心内容的掌握，熟练记忆定理内容即可快速得分。
【难度系数】
0.95
2. 我国古代把直角三角形较短的直角边称为“______”,较长的直角边称为“______”,斜边称为“______”.
答案：勾 股 弦
解析：
【分析】
这是一道基础概念识记类题目，考查我国古代对直角三角形各边的专属称谓，属于勾股定理相关的入门常识。解题时只需回忆对应概念，按照较短直角边、较长直角边、斜边的顺序匹配对应名称即可。
【解析】
根据我国古代对直角三角形各边的传统称谓规定：较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，按要求依次填入对应内容即可。
【答案】
勾 股 弦
【知识点】
1. 勾股定理基础概念
2. 直角三角形相关常识
【点评】
本题属于基础概念记忆类考点，难度很低，只要平时注重教材基础常识的积累，就能快速正确作答。
【难度系数】
0.9
这是一道基础概念识记类题目，考查我国古代对直角三角形各边的专属称谓，属于勾股定理相关的入门常识。解题时只需回忆对应概念，按照较短直角边、较长直角边、斜边的顺序匹配对应名称即可。
【解析】
根据我国古代对直角三角形各边的传统称谓规定：较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，按要求依次填入对应内容即可。
【答案】
勾 股 弦
【知识点】
1. 勾股定理基础概念
2. 直角三角形相关常识
【点评】
本题属于基础概念记忆类考点，难度很低，只要平时注重教材基础常识的积累，就能快速正确作答。
【难度系数】
0.9
1. 在△ABC中,∠A= 90°,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,则下列结论错误的是 ( )
A.$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
B.$b^{2}+c^{2}= a^{2}$
C.$a^{2}-b^{2}= c^{2}$
D.$a^{2}-c^{2}= b^{2}$
A.$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
B.$b^{2}+c^{2}= a^{2}$
C.$a^{2}-b^{2}= c^{2}$
D.$a^{2}-c^{2}= b^{2}$
答案：A
解析：
【分析】
要判断选项的正误，首先需明确勾股定理的内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题第一步先根据直角顶点确定斜边：题目中∠A=90°，所以∠A的对边a是斜边，b、c是两条直角边，再结合勾股定理及变形逐一验证选项即可。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠A=90°，∠A的对边为a
∴ 斜边为a，b、c为两条直角边
根据勾股定理可得：$b^2 + c^2 = a^2$
对该式变形可得：$a^2 - b^2 = c^2$，$a^2 - c^2 = b^2$
逐一核对选项：
B、C、D选项均符合上述结论，表述正确；
A选项$a^2+b^2=c^2$不符合勾股定理，表述错误。
本题要求选择错误的结论，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、勾股定理变形
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，解题核心是先根据直角的位置确定斜边，再结合勾股定理判断，易错点是忽略斜边的判定，直接死记通用公式选错答案。
【难度系数】
0.9
要判断选项的正误，首先需明确勾股定理的内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题第一步先根据直角顶点确定斜边：题目中∠A=90°，所以∠A的对边a是斜边，b、c是两条直角边，再结合勾股定理及变形逐一验证选项即可。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠A=90°，∠A的对边为a
∴ 斜边为a，b、c为两条直角边
根据勾股定理可得：$b^2 + c^2 = a^2$
对该式变形可得：$a^2 - b^2 = c^2$，$a^2 - c^2 = b^2$
逐一核对选项：
B、C、D选项均符合上述结论，表述正确；
A选项$a^2+b^2=c^2$不符合勾股定理，表述错误。
本题要求选择错误的结论，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、勾股定理变形
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，解题核心是先根据直角的位置确定斜边，再结合勾股定理判断，易错点是忽略斜边的判定，直接死记通用公式选错答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为 ( )
A.4
B.5
C.6
D.25
A.4
B.5
C.6
D.25
答案：B
解析：
【分析】
要计算网格中格点A、B之间的线段长度，我们可以构造以AB为斜边的直角三角形，先通过数网格得到两条直角边的长度，再利用勾股定理计算斜边AB的长度，这是求解网格中格点线段长度的常用思路。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，将AB作为直角三角形的斜边构造直角三角形，观察网格可得：
该直角三角形的两条直角边长度分别为3、4，
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；格点线段长度计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是合理构造直角三角形，准确找到两条直角边的长度，是勾股定理相关的常见基础考题。
【难度系数】
0.8
要计算网格中格点A、B之间的线段长度，我们可以构造以AB为斜边的直角三角形，先通过数网格得到两条直角边的长度，再利用勾股定理计算斜边AB的长度，这是求解网格中格点线段长度的常用思路。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，将AB作为直角三角形的斜边构造直角三角形，观察网格可得：
该直角三角形的两条直角边长度分别为3、4，
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；格点线段长度计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是合理构造直角三角形，准确找到两条直角边的长度，是勾股定理相关的常见基础考题。
【难度系数】
0.8
3. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,其中阴影部分的面积是______.
答案：25
解析：
【分析】
解题时首先观察图形结构：1. 先看右侧直角三角形，已知斜边长13、一条直角边长12，可通过勾股定理求出另一条直角边的平方，这条直角边就是中间正方形的边长；2. 左侧两个阴影正方形的边长恰好是左侧小直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，这两条直角边的平方和等于斜边（即中间正方形的边长）的平方，而正方形面积等于边长的平方，因此阴影部分总面积等于中间正方形的面积，也就是刚才求出的直角边的平方。
【解析】
首先对右侧直角三角形运用勾股定理，设其未知直角边的长度为$ a $：
根据勾股定理可得：$ a^2 + 12^2 = 13^2 $
计算得：$ a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 $
观察左侧图形，设两个阴影正方形的边长分别为$ b $、$ c $，可知$ b $、$ c $是左侧直角三角形的两条直角边，$ a $是该直角三角形的斜边，根据勾股定理：$ b^2 + c^2 = a^2 $
阴影部分的面积为两个正方形面积之和，即$ S_{\mathrm{阴影}} = b^2 + c^2 = a^2 = 25 $
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题核心是灵活运用勾股定理，无需分别计算两个阴影正方形的面积，将面积和转化为对应直角三角形斜边的平方即可快速求解，避免了不必要的计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形结构：1. 先看右侧直角三角形，已知斜边长13、一条直角边长12，可通过勾股定理求出另一条直角边的平方，这条直角边就是中间正方形的边长；2. 左侧两个阴影正方形的边长恰好是左侧小直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，这两条直角边的平方和等于斜边（即中间正方形的边长）的平方，而正方形面积等于边长的平方，因此阴影部分总面积等于中间正方形的面积，也就是刚才求出的直角边的平方。
【解析】
首先对右侧直角三角形运用勾股定理，设其未知直角边的长度为$ a $：
根据勾股定理可得：$ a^2 + 12^2 = 13^2 $
计算得：$ a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 $
观察左侧图形，设两个阴影正方形的边长分别为$ b $、$ c $，可知$ b $、$ c $是左侧直角三角形的两条直角边，$ a $是该直角三角形的斜边，根据勾股定理：$ b^2 + c^2 = a^2 $
阴影部分的面积为两个正方形面积之和，即$ S_{\mathrm{阴影}} = b^2 + c^2 = a^2 = 25 $
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题核心是灵活运用勾股定理，无需分别计算两个阴影正方形的面积，将面积和转化为对应直角三角形斜边的平方即可快速求解，避免了不必要的计算。
【难度系数】
0.7
4. 已知直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形的第三边长为______.
答案：5或√7
解析：
【分析】
已知直角三角形两条边长求第三边，首先想到用勾股定理求解，但题目未明确说明已知的3和4是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：由于斜边是直角三角形中最长的边，因此长度为3的边不可能是斜边，仅需分两种情况讨论：①3和4均为直角边；②长度为4的边是斜边，分别计算后再验证结果是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
本题分两种情况计算：
1. 当长为3和4的边均为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边长 = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5；
2. 当长为4的边为斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理：
第三边长 = √(4² - 3²) = √(16-9) = √7；
经检验，两种情况的结果均满足三角形三边关系，均成立。
【答案】
5或√7
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是默认3和4都是直角边，仅算出5而漏解√7，解题时若题干未明确直角三角形的边是直角边还是斜边，一定要先分类讨论，再结合三角形三边关系验证结果的合理性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
已知直角三角形两条边长求第三边，首先想到用勾股定理求解，但题目未明确说明已知的3和4是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：由于斜边是直角三角形中最长的边，因此长度为3的边不可能是斜边，仅需分两种情况讨论：①3和4均为直角边；②长度为4的边是斜边，分别计算后再验证结果是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
本题分两种情况计算：
1. 当长为3和4的边均为直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边长 = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5；
2. 当长为4的边为斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理：
第三边长 = √(4² - 3²) = √(16-9) = √7；
经检验，两种情况的结果均满足三角形三边关系，均成立。
【答案】
5或√7
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题的易错点是默认3和4都是直角边，仅算出5而漏解√7，解题时若题干未明确直角三角形的边是直角边还是斜边，一定要先分类讨论，再结合三角形三边关系验证结果的合理性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在数轴上作出表示$-\sqrt{13}$的点E.(不写作法,保留作图痕迹)
答案：
如图所示.
如图所示.
解析：
【分析】
要在数轴上找到表示$-\sqrt{13}$的点，首先需要得到长度为$\sqrt{13}$的线段：根据勾股定理，直角边长度分别为3和2的直角三角形，斜边长为$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。我们先在数轴正半轴构造出这条长度为$\sqrt{13}$的线段，再以原点为圆心、该线段长为半径画弧，弧与数轴负半轴的交点就是表示$-\sqrt{13}$的点。
【解析】
1. 由勾股定理可得$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，因此直角边长度为3和2的直角三角形的斜边长为$\sqrt{13}$；
2. 在数轴正半轴找到表示3的点，过该点作数轴的垂线，在垂线上向上截取长度为2的线段，连接原点与该线段的上端点，所得线段的长度就是$\sqrt{13}$；
3. 以原点为圆心，以上述斜边长度为半径画弧，弧与数轴负半轴的交点即为表示$-\sqrt{13}$的点E。
【答案】
如图所示.
【知识点】
勾股定理；数轴表示实数；尺规作图
【点评】
本题考查利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法，解题核心是将无理数对应的长度转化为直角三角形的斜边长度，再通过圆规截取等长线段得到数轴上的对应点，需要熟练掌握勾股定理的应用和基础尺规作图操作。
【难度系数】
0.7
要在数轴上找到表示$-\sqrt{13}$的点，首先需要得到长度为$\sqrt{13}$的线段：根据勾股定理，直角边长度分别为3和2的直角三角形，斜边长为$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。我们先在数轴正半轴构造出这条长度为$\sqrt{13}$的线段，再以原点为圆心、该线段长为半径画弧，弧与数轴负半轴的交点就是表示$-\sqrt{13}$的点。
【解析】
1. 由勾股定理可得$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，因此直角边长度为3和2的直角三角形的斜边长为$\sqrt{13}$；
2. 在数轴正半轴找到表示3的点，过该点作数轴的垂线，在垂线上向上截取长度为2的线段，连接原点与该线段的上端点，所得线段的长度就是$\sqrt{13}$；
3. 以原点为圆心，以上述斜边长度为半径画弧，弧与数轴负半轴的交点即为表示$-\sqrt{13}$的点E。
【答案】
如图所示.
【知识点】
勾股定理；数轴表示实数；尺规作图
【点评】
本题考查利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法，解题核心是将无理数对应的长度转化为直角三角形的斜边长度，再通过圆规截取等长线段得到数轴上的对应点，需要熟练掌握勾股定理的应用和基础尺规作图操作。
【难度系数】
0.7
6. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,若AB-AC= 8,BC= 12,则AB的长是 ( )
A.8
B.10
C.13
D.15
A.8
B.10
C.13
D.15
答案：C
解析：
【分析】
本题为直角三角形边长求解问题，首先明确在∠C=90°的Rt△ABC中，AB是斜边，AC、BC是两条直角边。已知BC的长度，以及AB和AC的差，我们可以通过设未知数的方法，将AB、AC用含同一未知数的式子表示，再代入勾股定理列方程，即可求出AB的长度。
【解析】
解：设AB的长为$ x $，
∵ $ AB - AC = 8 $，
∴ $ AC = x - 8 $，
在Rt△ABC中，$ ∠ C = 90° $，根据勾股定理可得：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，
将$ AC = x - 8 $、$ BC = 12 $、$ AB = x $代入上式得：
$ (x - 8)^2 + 12^2 = x^2 $，
展开计算得：$ x^2 - 16x + 64 + 144 = x^2 $，
移项合并同类项得：$ 16x = 208 $，
解得：$ x = 13 $，
即AB的长为13。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解几何题
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，将几何中的边长数量关系转化为方程求解是解题的核心，这类考法十分常见，需要熟练掌握直角三角形三边的对应关系。
【难度系数】
0.75
本题为直角三角形边长求解问题，首先明确在∠C=90°的Rt△ABC中，AB是斜边，AC、BC是两条直角边。已知BC的长度，以及AB和AC的差，我们可以通过设未知数的方法，将AB、AC用含同一未知数的式子表示，再代入勾股定理列方程，即可求出AB的长度。
【解析】
解：设AB的长为$ x $，
∵ $ AB - AC = 8 $，
∴ $ AC = x - 8 $，
在Rt△ABC中，$ ∠ C = 90° $，根据勾股定理可得：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $，
将$ AC = x - 8 $、$ BC = 12 $、$ AB = x $代入上式得：
$ (x - 8)^2 + 12^2 = x^2 $，
展开计算得：$ x^2 - 16x + 64 + 144 = x^2 $，
移项合并同类项得：$ 16x = 208 $，
解得：$ x = 13 $，
即AB的长为13。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；列方程解几何题
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，将几何中的边长数量关系转化为方程求解是解题的核心，这类考法十分常见，需要熟练掌握直角三角形三边的对应关系。
【难度系数】
0.75
7. 如图,直线AO⊥OB,垂足为O,线段AO= 1,BO= $\sqrt{5}$,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交直线AO于点C,则OC的长为 ( )
A.2
B.$\sqrt{6}-1$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$
A.2
B.$\sqrt{6}-1$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$
答案：B
解析：
【分析】
首先根据AO⊥OB可知△AOB是直角三角形，可优先用勾股定理计算AB的长度；再根据圆的性质，同圆的半径相等，得到AC=AB；最后结合线段的和差关系，用AC的长度减去AO的长度即可求出OC的长。
【解析】
解：
∵ AO⊥OB，
∴ ∠AOB=90°，即△AOB为直角三角形。
在Rt△AOB中，AO=1，BO=√5，由勾股定理得：
AB = √(AO² + BO²) = √(1² + (√5)²) = √(1 + 5) = √6。
∵ 以点A为圆心，AB的长为半径画弧交直线AO于点C，
∴ AC = AB = √6（同圆的所有半径长度相等）。
∴ OC = AC - AO = √6 - 1。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；同圆半径相等；线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，结合了圆的基本性质，解题的核心是先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再通过半径相等完成线段长度的转化，最后计算线段差得到结果，属于基础类常考题。
【难度系数】
0.8
首先根据AO⊥OB可知△AOB是直角三角形，可优先用勾股定理计算AB的长度；再根据圆的性质，同圆的半径相等，得到AC=AB；最后结合线段的和差关系，用AC的长度减去AO的长度即可求出OC的长。
【解析】
解：
∵ AO⊥OB，
∴ ∠AOB=90°，即△AOB为直角三角形。
在Rt△AOB中，AO=1，BO=√5，由勾股定理得：
AB = √(AO² + BO²) = √(1² + (√5)²) = √(1 + 5) = √6。
∵ 以点A为圆心，AB的长为半径画弧交直线AO于点C，
∴ AC = AB = √6（同圆的所有半径长度相等）。
∴ OC = AC - AO = √6 - 1。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；同圆半径相等；线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，结合了圆的基本性质，解题的核心是先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再通过半径相等完成线段长度的转化，最后计算线段差得到结果，属于基础类常考题。
【难度系数】
0.8