5. 下列选项中的图形,不能证明勾股定理的是( )
答案：B
解析：
【分析】
要判断图形能否证明勾股定理，核心思路是面积法：对同一个图形，用两种不同方式计算面积，得到含a、b、c的等式，若化简后可推出$a^2+b^2=c^2$，即可证明勾股定理，否则不能。我们逐一分析每个选项的面积表达式即可得出结论。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：为赵爽弦图。大正方形边长为c，面积为$c^2$；同时大正方形面积=4个全等直角三角形的面积+中间小正方形的面积，4个直角三角形总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，中间小正方形边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$，因此有：
$c^2=2ab+(b-a)^2$，展开右边得$2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$，即$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理，不符合题意。
选项B：对该图形用面积法列式，化简后无法得到$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理，符合题意。
选项C：为总统证法的梯形模型。梯形上底为a，下底为b，高为$a+b$，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$；同时梯形面积=2个小直角三角形面积+中间等腰直角三角形面积，即$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。联立等式：
$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，两边乘2化简得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理，不符合题意。
选项D：通过分割图形，用两种方式表示边长为$a+b$的大正方形面积，列式化简后同样可得到$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的证明；面积法
【点评】
本题主要考查勾股定理的证明思路，掌握“面积法”的核心，熟悉常见的勾股定理证明模型是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断图形能否证明勾股定理，核心思路是面积法：对同一个图形，用两种不同方式计算面积，得到含a、b、c的等式，若化简后可推出$a^2+b^2=c^2$，即可证明勾股定理，否则不能。我们逐一分析每个选项的面积表达式即可得出结论。
【解析】
我们逐个验证选项：
选项A：为赵爽弦图。大正方形边长为c，面积为$c^2$；同时大正方形面积=4个全等直角三角形的面积+中间小正方形的面积，4个直角三角形总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，中间小正方形边长为$b-a$，面积为$(b-a)^2$，因此有：
$c^2=2ab+(b-a)^2$，展开右边得$2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$，即$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理，不符合题意。
选项B：对该图形用面积法列式，化简后无法得到$a^2+b^2=c^2$，不能证明勾股定理，符合题意。
选项C：为总统证法的梯形模型。梯形上底为a，下底为b，高为$a+b$，面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$；同时梯形面积=2个小直角三角形面积+中间等腰直角三角形面积，即$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。联立等式：
$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，两边乘2化简得$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理，不符合题意。
选项D：通过分割图形，用两种方式表示边长为$a+b$的大正方形面积，列式化简后同样可得到$a^2+b^2=c^2$，可以证明勾股定理，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的证明；面积法
【点评】
本题主要考查勾股定理的证明思路，掌握“面积法”的核心，熟悉常见的勾股定理证明模型是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. (2024·南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m＞n).若小正方形面积为5,$(m+n)^2= 21$,则大正方形面积为______.
答案：13
解析：
【分析】
首先观察赵爽弦图的构成：小正方形的边长等于直角三角形两条直角边的差$m-n$，因此小正方形面积可表示为$(m-n)^2$；大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积等于两条直角边的平方和$m^2+n^2$。结合题目给出的$(m+n)^2=21$，利用完全平方公式分别展开两个式子，消去交叉项$mn$即可求出$m^2+n^2$的值，也就是大正方形的面积。
【解析】
解：由题意可知，小正方形的边长为$m-n$，因此小正方形的面积为：
$(m-n)^2=5$
展开得：$m^2 - 2mn + n^2 = 5$ ①
已知$(m+n)^2=21$，展开得：
$m^2 + 2mn + n^2 = 21 \quad ②$
将①+②，可得：
$2m^2 + 2n^2 = 26$
等式两边同时除以2，得：
$m^2 + n^2 =13$
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，其面积等于斜边的平方，即$m^2 +n^2$，因此大正方形面积为13。
【答案】
13
【知识点】
完全平方公式；勾股定理；面积和差计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将几何面积关系与代数公式结合考查，解题的核心是找准各图形边长与直角三角形直角边的关联，灵活运用完全平方公式的变形求解，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先观察赵爽弦图的构成：小正方形的边长等于直角三角形两条直角边的差$m-n$，因此小正方形面积可表示为$(m-n)^2$；大正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积等于两条直角边的平方和$m^2+n^2$。结合题目给出的$(m+n)^2=21$，利用完全平方公式分别展开两个式子，消去交叉项$mn$即可求出$m^2+n^2$的值，也就是大正方形的面积。
【解析】
解：由题意可知，小正方形的边长为$m-n$，因此小正方形的面积为：
$(m-n)^2=5$
展开得：$m^2 - 2mn + n^2 = 5$ ①
已知$(m+n)^2=21$，展开得：
$m^2 + 2mn + n^2 = 21 \quad ②$
将①+②，可得：
$2m^2 + 2n^2 = 26$
等式两边同时除以2，得：
$m^2 + n^2 =13$
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，其面积等于斜边的平方，即$m^2 +n^2$，因此大正方形面积为13。
【答案】
13
【知识点】
完全平方公式；勾股定理；面积和差计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，将几何面积关系与代数公式结合考查，解题的核心是找准各图形边长与直角三角形直角边的关联，灵活运用完全平方公式的变形求解，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图所示的方格纸中,有一个由10个相同的小正方形组成的钢板原料.现用该钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠、无缝隙的正方形工件(不计加工中的损耗),请给出一种裁剪方法,画出拼接后的正方形工件示意图.(正方形用ABCD标注)
答案：
正方形ABCD如图所示.(合理即可)
正方形ABCD如图所示.(合理即可)
解析：
【分析】
要解决这个剪拼问题，首先需要确定拼接后正方形的边长：原钢板由10个相同的小正方形组成，设每个小正方形的边长为1，那么原钢板的总面积为10，因此焊接后的无重叠无缝隙正方形的面积也为10，可计算出其边长为√10。结合勾股定理可知，直角边长度分别为1和3的直角三角形的斜边长为√(1²+3²)=√10，刚好对应新正方形的边长。接下来只需要将原钢板裁剪出符合要求的直角三角形和匹配的剩余图形，将直角三角形的斜边作为新正方形的边，剩余图形填充中间区域，即可完成拼接。
【解析】
1. 设每个小正方形的边长为1，原钢板总面积=10×1×1=10，因此焊接后正方形的面积也为10，计算可得正方形边长为√10。
2. 根据勾股定理，直角边为1、3的直角三角形的斜边长为√10，刚好匹配新正方形的边长。
3. 裁剪方法：将原钢板裁剪为4个全等的直角边为1、3的直角三角形，以及1个边长为2的小正方形（裁剪方式不唯一，合理即可）。
4. 拼接方法：将4个直角三角形的斜边作为新正方形的四条边，斜边朝外，4个直角顶点分别对应新正方形的4个顶点，中间空缺区域刚好可放入边长为2的小正方形，即可得到拼接后的正方形ABCD。
【答案】
正方形ABCD如图所示.(合理即可)
【知识点】
勾股定理的应用，图形的剪拼，正方形的性质
【点评】
本题将勾股定理和图形剪拼相结合，既需要通过面积计算确定新正方形的边长，也需要结合勾股定理找到对应长度的线段，对学生的逻辑推理能力和空间想象能力有一定的考察。
【难度系数】
0.6
要解决这个剪拼问题，首先需要确定拼接后正方形的边长：原钢板由10个相同的小正方形组成，设每个小正方形的边长为1，那么原钢板的总面积为10，因此焊接后的无重叠无缝隙正方形的面积也为10，可计算出其边长为√10。结合勾股定理可知，直角边长度分别为1和3的直角三角形的斜边长为√(1²+3²)=√10，刚好对应新正方形的边长。接下来只需要将原钢板裁剪出符合要求的直角三角形和匹配的剩余图形，将直角三角形的斜边作为新正方形的边，剩余图形填充中间区域，即可完成拼接。
【解析】
1. 设每个小正方形的边长为1，原钢板总面积=10×1×1=10，因此焊接后正方形的面积也为10，计算可得正方形边长为√10。
2. 根据勾股定理，直角边为1、3的直角三角形的斜边长为√10，刚好匹配新正方形的边长。
3. 裁剪方法：将原钢板裁剪为4个全等的直角边为1、3的直角三角形，以及1个边长为2的小正方形（裁剪方式不唯一，合理即可）。
4. 拼接方法：将4个直角三角形的斜边作为新正方形的四条边，斜边朝外，4个直角顶点分别对应新正方形的4个顶点，中间空缺区域刚好可放入边长为2的小正方形，即可得到拼接后的正方形ABCD。
【答案】
正方形ABCD如图所示.(合理即可)
【知识点】
勾股定理的应用，图形的剪拼，正方形的性质
【点评】
本题将勾股定理和图形剪拼相结合，既需要通过面积计算确定新正方形的边长，也需要结合勾股定理找到对应长度的线段，对学生的逻辑推理能力和空间想象能力有一定的考察。
【难度系数】
0.6
8. 几何直观·推理能力 如图,将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,直角三角形ABC中,$\angle ACB= 90^\circ$,$BC= a$,$AC= b$,$AB= c$,正方形IECF中,$IE= EC= CF= FI= x$.
小明发现了一种求正方形边长的方法:由题意可得$BD= BE= a-x$,$AD= AF= b-x$.因为$AB= BD+AD$,所以$a-x+b-x= c$,解得$x= \frac{a+b-c}{2}$.
小亮也发现了另一种求正方形边长的方法:利用$S_{\triangle ABC}= S_{\triangle AIB}+S_{\triangle AIC}+S_{\triangle BIC}$可以得到x与a,b,c的关系.
(1)请根据小亮的思路完成他的求解过程;
(2)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.
小明发现了一种求正方形边长的方法:由题意可得$BD= BE= a-x$,$AD= AF= b-x$.因为$AB= BD+AD$,所以$a-x+b-x= c$,解得$x= \frac{a+b-c}{2}$.
小亮也发现了另一种求正方形边长的方法:利用$S_{\triangle ABC}= S_{\triangle AIB}+S_{\triangle AIC}+S_{\triangle BIC}$可以得到x与a,b,c的关系.
(1)请根据小亮的思路完成他的求解过程;
(2)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.
答案：
(1)$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABI}+S_{\triangle AIC}+S_{\triangle BIC},\therefore \frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}cx+\frac {1}{2}ax+\frac {1}{2}bx,\therefore x=\frac {ab}{a+b+c}.$
(2)根据小明和小亮得到的结论有$x=\frac {a+b-c}{2}=\frac {ab}{a+b+c}.$即$2ab=(a+b+c)(a+b-c)$,化简得$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
(1)$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABI}+S_{\triangle AIC}+S_{\triangle BIC},\therefore \frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}cx+\frac {1}{2}ax+\frac {1}{2}bx,\therefore x=\frac {ab}{a+b+c}.$
(2)根据小明和小亮得到的结论有$x=\frac {a+b-c}{2}=\frac {ab}{a+b+c}.$即$2ab=(a+b+c)(a+b-c)$,化简得$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
解析：
【分析】
(1) 小亮采用面积法求解正方形边长：首先明确直角三角形ABC的总面积等于分割得到的三个小三角形△ABI、△AIC、△BIC的面积之和，由于点I到△ABC三边的距离均等于正方形的边长x，分别写出各三角形的面积表达式，代入面积和相等的等式后化简即可求出x；
(2) 验证勾股定理时，将小明和小亮得到的两个x的表达式联立得到等式，通过去分母、整式乘法展开、移项整理，最终即可推导出$a^2+b^2=c^2$，完成勾股定理的验证。
【解析】
(1) 由题意可得面积关系$S_{△ ABC}=S_{△ ABI}+S_{△ AIC}+S_{△ BIC}$，
直角三角形ABC的面积为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab$，
三个小三角形的高均为正方形边长x，底分别为$AB=c$、$AC=b$、$BC=a$，因此三个小三角形的面积分别为$\frac{1}{2}cx$、$\frac{1}{2}bx$、$\frac{1}{2}ax$，
代入面积等式得：$\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}cx+\frac {1}{2}ax+\frac {1}{2}bx$，
等式两边同时乘2，得$ab=x(a+b+c)$，
解得$x=\frac{ab}{a+b+c}$。
(2) 联立小明和小亮得到的x的表达式，得$\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$，
交叉相乘去分母得$2ab=(a+b+c)(a+b-c)$，
将右侧用平方差公式变形：$(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2 - c^2$，
因此$2ab=(a+b)^2 - c^2$，
展开右侧得$2ab=a^2+2ab+b^2 - c^2$，
移项化简后得$a^2+b^2=c^2$，即验证了勾股定理。
【答案】
(1)$x=\frac{ab}{a+b+c}$
(2) 化简后可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【知识点】
1. 三角形面积公式
2. 面积法
3. 勾股定理的证明
【点评】
本题通过两种不同的思路求解正方形边长，引导学生自主推导勾股定理，既考查了面积法的灵活应用，也锻炼了整式运算和几何推理能力，能帮助学生深刻理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 小亮采用面积法求解正方形边长：首先明确直角三角形ABC的总面积等于分割得到的三个小三角形△ABI、△AIC、△BIC的面积之和，由于点I到△ABC三边的距离均等于正方形的边长x，分别写出各三角形的面积表达式，代入面积和相等的等式后化简即可求出x；
(2) 验证勾股定理时，将小明和小亮得到的两个x的表达式联立得到等式，通过去分母、整式乘法展开、移项整理，最终即可推导出$a^2+b^2=c^2$，完成勾股定理的验证。
【解析】
(1) 由题意可得面积关系$S_{△ ABC}=S_{△ ABI}+S_{△ AIC}+S_{△ BIC}$，
直角三角形ABC的面积为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab$，
三个小三角形的高均为正方形边长x，底分别为$AB=c$、$AC=b$、$BC=a$，因此三个小三角形的面积分别为$\frac{1}{2}cx$、$\frac{1}{2}bx$、$\frac{1}{2}ax$，
代入面积等式得：$\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}cx+\frac {1}{2}ax+\frac {1}{2}bx$，
等式两边同时乘2，得$ab=x(a+b+c)$，
解得$x=\frac{ab}{a+b+c}$。
(2) 联立小明和小亮得到的x的表达式，得$\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}$，
交叉相乘去分母得$2ab=(a+b+c)(a+b-c)$，
将右侧用平方差公式变形：$(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2 - c^2$，
因此$2ab=(a+b)^2 - c^2$，
展开右侧得$2ab=a^2+2ab+b^2 - c^2$，
移项化简后得$a^2+b^2=c^2$，即验证了勾股定理。
【答案】
(1)$x=\frac{ab}{a+b+c}$
(2) 化简后可得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理得证。
【知识点】
1. 三角形面积公式
2. 面积法
3. 勾股定理的证明
【点评】
本题通过两种不同的思路求解正方形边长，引导学生自主推导勾股定理，既考查了面积法的灵活应用，也锻炼了整式运算和几何推理能力，能帮助学生深刻理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7