1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c,且$______= c^2,$那么这个三角形是直角三角形.
答案：$a^{2}+b^{2}$
解析：
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的基础识记，解题时先回忆相关定理内容：勾股定理是直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是将勾股定理的条件和结论互换，即若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形。题目中等号右侧为$c^2$，默认c为最长边，因此左侧为另外两边a、b的平方和。
【解析】
根据勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长分别为$a,b,c$，且$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，因此横线处填写$a^2 + b^2$。
【答案】
$a^{2}+b^{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要牢记教材中勾股定理逆定理的内容就能快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理逆定理的基础识记，解题时先回忆相关定理内容：勾股定理是直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是将勾股定理的条件和结论互换，即若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，该三角形为直角三角形。题目中等号右侧为$c^2$，默认c为最长边，因此左侧为另外两边a、b的平方和。
【解析】
根据勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长分别为$a,b,c$，且$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，因此横线处填写$a^2 + b^2$。
【答案】
$a^{2}+b^{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要牢记教材中勾股定理逆定理的内容就能快速作答。
【难度系数】
0.9
2. (1)满足关系$a^2+b^2= c^2$的3个______a,b,c,称为勾股数；
(2)常见的勾股数：①3,4,5；②5,12,______；③6,______,10；④7,24,______；⑤8,______,17；⑥9,40,41.
(2)常见的勾股数：①3,4,5；②5,12,______；③6,______,10；④7,24,______；⑤8,______,17；⑥9,40,41.
答案：（1）正整数 （2）②13 ③8 ④25 ⑤15
解析：
【分析】
本题考察勾股数的相关基础知识，解题思路如下：
1. 第(1)问直接回忆勾股数的定义即可，需注意勾股数的核心前提是三个数都为正整数，仅满足平方和关系的非正整数不属于勾股数。
2. 第(2)问利用勾股定理计算未知项：先判断已知两个数中较大的数是否为斜边，若给出的数均为直角边，则用两直角边的平方和开平方求斜边；若给出的数包含斜边，则用斜边平方减去已知直角边平方再开平方求另一条直角边，最终结果需为正整数。
【解析】
(1) 根据勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的3个正整数$a,b,c$，称为勾股数，因此此处填正整数。
(2) 分别计算各未知项：
② 5和12为直角边，斜边为$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$；
③ 10为斜边，未知直角边为$\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$；
④ 7和24为直角边，斜边为$\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$；
⑤ 17为斜边，未知直角边为$\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
（1）正整数 （2）②13 ③8 ④25 ⑤15
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的计算；常见勾股数
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对勾股数定义的理解和勾股定理的简单运算，熟练记忆常见勾股数可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
本题考察勾股数的相关基础知识，解题思路如下：
1. 第(1)问直接回忆勾股数的定义即可，需注意勾股数的核心前提是三个数都为正整数，仅满足平方和关系的非正整数不属于勾股数。
2. 第(2)问利用勾股定理计算未知项：先判断已知两个数中较大的数是否为斜边，若给出的数均为直角边，则用两直角边的平方和开平方求斜边；若给出的数包含斜边，则用斜边平方减去已知直角边平方再开平方求另一条直角边，最终结果需为正整数。
【解析】
(1) 根据勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的3个正整数$a,b,c$，称为勾股数，因此此处填正整数。
(2) 分别计算各未知项：
② 5和12为直角边，斜边为$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$；
③ 10为斜边，未知直角边为$\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$；
④ 7和24为直角边，斜边为$\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$；
⑤ 17为斜边，未知直角边为$\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
【答案】
（1）正整数 （2）②13 ③8 ④25 ⑤15
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的计算；常见勾股数
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对勾股数定义的理解和勾股定理的简单运算，熟练记忆常见勾股数可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
1. 下列各组数中,是勾股数的一组为( )
A.2,2,$\sqrt{5}$
B.1,$\sqrt{3}$,2
C.4,5,6
D.6,8,10
A.2,2,$\sqrt{5}$
B.1,$\sqrt{3}$,2
C.4,5,6
D.6,8,10
答案：D
解析：
【分析】
判断勾股数需紧扣勾股数的两个核心判定条件：①三个数都必须是正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先通过“正整数”这一前提快速排除错误选项，再对剩余选项验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
根据勾股数的定义逐一分析选项：
选项A中含有$\sqrt{5}$，不是正整数，不符合勾股数要求，排除；
选项B中含有$\sqrt{3}$，不是正整数，不符合勾股数要求，排除；
选项C：$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足平方和关系，不是勾股数，排除；
选项D：$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，即$6^2+8^2=10^2$，且三个数都是正整数，符合勾股数的定义。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理的逆定理
【点评】
本题核心考查勾股数的概念，易错点是容易忽略“正整数”这个前置条件，仅验证平方和关系导致误选，解题时要先判断数的类型再验证数量关系，可有效提升正确率。
【难度系数】
0.8
判断勾股数需紧扣勾股数的两个核心判定条件：①三个数都必须是正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先通过“正整数”这一前提快速排除错误选项，再对剩余选项验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
根据勾股数的定义逐一分析选项：
选项A中含有$\sqrt{5}$，不是正整数，不符合勾股数要求，排除；
选项B中含有$\sqrt{3}$，不是正整数，不符合勾股数要求，排除；
选项C：$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足平方和关系，不是勾股数，排除；
选项D：$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，即$6^2+8^2=10^2$，且三个数都是正整数，符合勾股数的定义。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理的逆定理
【点评】
本题核心考查勾股数的概念，易错点是容易忽略“正整数”这个前置条件，仅验证平方和关系导致误选，解题时要先判断数的类型再验证数量关系，可有效提升正确率。
【难度系数】
0.8
2. 下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.AB:BC:AC= 3:4:5
B.AB:BC:AC= 1:2:$\sqrt{3}$
C.∠A-∠B= ∠C
D.∠A:∠B:∠C= 3:4:5
A.AB:BC:AC= 3:4:5
B.AB:BC:AC= 1:2:$\sqrt{3}$
C.∠A-∠B= ∠C
D.∠A:∠B:∠C= 3:4:5
答案：D
解析：
【分析】
本题考查直角三角形的判定，共有两类判定思路：一是利用勾股定理的逆定理，验证三角形较短两边的平方和是否等于最长边的平方；二是利用三角形内角和为180°，推导三角形中是否存在90°的内角。解题时只需逐一验证每个选项是否满足上述两类判定条件即可。
【解析】
我们对每个选项分别分析：
A选项：设AB=3k，BC=4k，AC=5k（k＞0），则$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股定理的逆定理，可判断△ABC是直角三角形，不符合题意。
B选项：设AB=k，BC=2k，AC=$\sqrt{3}k$（k＞0），则$k^2+(\sqrt{3}k)^2=k^2+3k^2=4k^2=(2k)^2$，满足勾股定理的逆定理，可判断△ABC是直角三角形，不符合题意。
C选项：由∠A-∠B=∠C可得∠A=∠B+∠C，结合三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，代入得$2∠A=180°$，解得∠A=90°，可判断△ABC是直角三角形，不符合题意。
D选项：设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，结合三角形内角和为180°，得$3x+4x+5x=180°$，解得x=15°，因此三个角分别为45°、60°、75°，不存在直角，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，考查直角三角形的两种常见判定方法，解题时需注意区分边的比例和角的比例对应的不同判定思路，逐一验证即可得出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，共有两类判定思路：一是利用勾股定理的逆定理，验证三角形较短两边的平方和是否等于最长边的平方；二是利用三角形内角和为180°，推导三角形中是否存在90°的内角。解题时只需逐一验证每个选项是否满足上述两类判定条件即可。
【解析】
我们对每个选项分别分析：
A选项：设AB=3k，BC=4k，AC=5k（k＞0），则$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股定理的逆定理，可判断△ABC是直角三角形，不符合题意。
B选项：设AB=k，BC=2k，AC=$\sqrt{3}k$（k＞0），则$k^2+(\sqrt{3}k)^2=k^2+3k^2=4k^2=(2k)^2$，满足勾股定理的逆定理，可判断△ABC是直角三角形，不符合题意。
C选项：由∠A-∠B=∠C可得∠A=∠B+∠C，结合三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，代入得$2∠A=180°$，解得∠A=90°，可判断△ABC是直角三角形，不符合题意。
D选项：设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，结合三角形内角和为180°，得$3x+4x+5x=180°$，解得x=15°，因此三个角分别为45°、60°、75°，不存在直角，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，考查直角三角形的两种常见判定方法，解题时需注意区分边的比例和角的比例对应的不同判定思路，逐一验证即可得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 在△ABC中,AB= c,AC= b,BC= a,当a,b,c满足______时,∠B= 90°.
答案：$a^{2}+c^{2}=b^{2}$
解析：
【分析】
要确定∠B=90°时三边的关系，首先明确直角所对的边为斜边：∠B的对边是AC，长度为b，因此b是斜边，另外两条边AB=c、BC=a是直角边。再结合勾股定理的逆定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应代入三边即可得到关系式。
【解析】
在△ABC中，若∠B=90°，则∠B为直角，其所对的边AC为斜边，即斜边长度为b，AB=c、BC=a为两条直角边。
根据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则最长边所对的角为直角。
因此当两条直角边的平方和等于斜边的平方时，∠B=90°，即$a^2 + c^2 = b^2$。
【答案】
$a^{2}+c^{2}=b^{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形边角对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握勾股定理逆定理的内容，解题的关键是准确识别直角对应的斜边，避免混淆三边的对应位置。
【难度系数】
0.8
要确定∠B=90°时三边的关系，首先明确直角所对的边为斜边：∠B的对边是AC，长度为b，因此b是斜边，另外两条边AB=c、BC=a是直角边。再结合勾股定理的逆定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应代入三边即可得到关系式。
【解析】
在△ABC中，若∠B=90°，则∠B为直角，其所对的边AC为斜边，即斜边长度为b，AB=c、BC=a为两条直角边。
根据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则最长边所对的角为直角。
因此当两条直角边的平方和等于斜边的平方时，∠B=90°，即$a^2 + c^2 = b^2$。
【答案】
$a^{2}+c^{2}=b^{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形边角对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握勾股定理逆定理的内容，解题的关键是准确识别直角对应的斜边，避免混淆三边的对应位置。
【难度系数】
0.8
4. 在△ABC中,若三边长分别为9,12,15,则最长边上的中线长为______.
答案：7.5
解析：
【分析】
拿到题目后，首先观察给出的三边长，可先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算两条较短边的平方和，再和最长边的平方比较，若相等则说明该三角形是直角三角形，且最长边为斜边。确定三角形为直角三角形后，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可直接求出最长边上的中线长。
【解析】
第一步：判断△ABC的形状
计算各边的平方：
$9^2 = 81$，$12^2 = 144$，$15^2 = 225$
因为 $81 + 144 = 225$，即 $9^2 + 12^2 = 15^2$
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且最长边15为直角三角形的斜边。
第二步：求最长边上的中线长
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
所以最长边（斜边）上的中线长为：$15 ÷ 2 = 7.5$
【答案】
7.5
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形的相关性质进行计算，熟练掌握基础定理和性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
拿到题目后，首先观察给出的三边长，可先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状：先计算两条较短边的平方和，再和最长边的平方比较，若相等则说明该三角形是直角三角形，且最长边为斜边。确定三角形为直角三角形后，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可直接求出最长边上的中线长。
【解析】
第一步：判断△ABC的形状
计算各边的平方：
$9^2 = 81$，$12^2 = 144$，$15^2 = 225$
因为 $81 + 144 = 225$，即 $9^2 + 12^2 = 15^2$
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且最长边15为直角三角形的斜边。
第二步：求最长边上的中线长
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
所以最长边（斜边）上的中线长为：$15 ÷ 2 = 7.5$
【答案】
7.5
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形的相关性质进行计算，熟练掌握基础定理和性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
5. 如图,BD为△ABC的中线,AB= 10,AD= 6,BD= 8,△ABC的周长是______.
答案：32
解析：
【分析】
解题时先从已知△ABD的三边长入手，先利用勾股定理的逆定理判断△ABD的形状，得到BD与AC的位置关系；再结合BD是△ABC的中线，可推出BD垂直平分AC，进而得到BC的长度，同时求出AC的长度，最后将三边相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
解：在△ABD中，AB=10，AD=6，BD=8，
∵$AD^2+BD^2=6^2+8^2=36+64=100$，$AB^2=10^2=100$，
∴$AD^2+BD^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。
∵BD是△ABC的中线，
∴D是AC的中点，$AC=2AD=2×6=12$，且BD垂直平分AC，
∴$BC=AB=10$。
∴△ABC的周长为$AB+BC+AC=10+10+12=32$。
【答案】
32
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形中线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理得到BD与AC的垂直关系，再结合中线的性质求出其余边的长度，考查了学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知△ABD的三边长入手，先利用勾股定理的逆定理判断△ABD的形状，得到BD与AC的位置关系；再结合BD是△ABC的中线，可推出BD垂直平分AC，进而得到BC的长度，同时求出AC的长度，最后将三边相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
解：在△ABD中，AB=10，AD=6，BD=8，
∵$AD^2+BD^2=6^2+8^2=36+64=100$，$AB^2=10^2=100$，
∴$AD^2+BD^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。
∵BD是△ABC的中线，
∴D是AC的中点，$AC=2AD=2×6=12$，且BD垂直平分AC，
∴$BC=AB=10$。
∴△ABC的周长为$AB+BC+AC=10+10+12=32$。
【答案】
32
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形中线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理得到BD与AC的垂直关系，再结合中线的性质求出其余边的长度，考查了学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图,四边形ABCD中,AB= BC= 1,CD= $\sqrt{3}$,AD= 1,且∠B= 90°.求：
(1)∠BAD的度数；
(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号).
(1)∠BAD的度数；
(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号).
答案：（1）连接 AC，
∵ $AB=BC=1$，$\angle B=90^{\circ}$，
∴ $AC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$．又
∵ $AD=1$，$DC=\sqrt{3}$，
∴ $(\sqrt{3})^{2}=1^{2}+(\sqrt{2})^{2}$，即 $CD^{2}=AD^{2}+AC^{2}$，
∴ $\angle DAC=90^{\circ}$．
∵ $AB=BC=1$，$\angle B=90^{\circ}$，
∴ $\angle BAC=\angle BCA=45^{\circ}$，
∴ $\angle BAD=135^{\circ}$．
（2）由（1）可知△ABC 和△ADC 是直角三角形，
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=1×1×\frac{1}{2}+1×\sqrt{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵ $AB=BC=1$，$\angle B=90^{\circ}$，
∴ $AC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$．又
∵ $AD=1$，$DC=\sqrt{3}$，
∴ $(\sqrt{3})^{2}=1^{2}+(\sqrt{2})^{2}$，即 $CD^{2}=AD^{2}+AC^{2}$，
∴ $\angle DAC=90^{\circ}$．
∵ $AB=BC=1$，$\angle B=90^{\circ}$，
∴ $\angle BAC=\angle BCA=45^{\circ}$，
∴ $\angle BAD=135^{\circ}$．
（2）由（1）可知△ABC 和△ADC 是直角三角形，
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=1×1×\frac{1}{2}+1×\sqrt{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解析：
【分析】
要求∠BAD的度数和四边形ABCD的面积，首先观察到∠B为直角，且AB=BC=1，我们可以通过连接AC的辅助线，将四边形拆分为两个三角形求解：第一步先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，同时得到∠BAC的度数；第二步结合已知的AD、CD长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，得到∠DAC的度数，两角相加即可得∠BAD的度数。面积则直接拆分后分别计算两个直角三角形的面积，求和即可。
【解析】
(1) 连接AC，
∵ $AB=BC=1$，$∠ B=90°$，
∴ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，且$∠ BAC=∠ BCA=45°$。
又
∵ $AD=1$，$CD=\sqrt{3}$，
∴ $AD^2+AC^2=1^2+(\sqrt{2})^2=3$，$CD^2=(\sqrt{3})^2=3$，即$CD^2=AD^2+AC^2$，
∴ $△ ACD$是直角三角形，且$∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC+∠ DAC=45°+90°=135°$。
(2) 四边形ABCD的面积为$△ ABC$和$△ ADC$的面积之和：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× AC=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{135°}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$（或$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$）
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、割补法求面积
【点评】
本题通过作辅助线将四边形转化为两个三角形求解，结合勾股定理计算边长、勾股定理的逆定理判断直角三角形，进而得到所求角度和面积，解题核心是合理构造辅助线，将不规则图形转化为规则的直角三角形计算。
【难度系数】
0.7
要求∠BAD的度数和四边形ABCD的面积，首先观察到∠B为直角，且AB=BC=1，我们可以通过连接AC的辅助线，将四边形拆分为两个三角形求解：第一步先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，同时得到∠BAC的度数；第二步结合已知的AD、CD长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，得到∠DAC的度数，两角相加即可得∠BAD的度数。面积则直接拆分后分别计算两个直角三角形的面积，求和即可。
【解析】
(1) 连接AC，
∵ $AB=BC=1$，$∠ B=90°$，
∴ 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，且$∠ BAC=∠ BCA=45°$。
又
∵ $AD=1$，$CD=\sqrt{3}$，
∴ $AD^2+AC^2=1^2+(\sqrt{2})^2=3$，$CD^2=(\sqrt{3})^2=3$，即$CD^2=AD^2+AC^2$，
∴ $△ ACD$是直角三角形，且$∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC+∠ DAC=45°+90°=135°$。
(2) 四边形ABCD的面积为$△ ABC$和$△ ADC$的面积之和：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× AC=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{135°}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$（或$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$）
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、割补法求面积
【点评】
本题通过作辅助线将四边形转化为两个三角形求解，结合勾股定理计算边长、勾股定理的逆定理判断直角三角形，进而得到所求角度和面积，解题核心是合理构造辅助线，将不规则图形转化为规则的直角三角形计算。
【难度系数】
0.7
7. 若△ABC的三边a,b,c满足$(a-b)^2+|a^2+b^2-c^2|= 0$,则关于△ABC的形状描述最准确的是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案：C
解析：
【分析】
解题时首先观察到等式左侧是平方与绝对值的和，二者均为非负数，结合非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，可得到两个关于三角形三边的关系式。再分别根据这两个关系式判断三角形的属性，最后结合两个属性确定最准确的形状即可。
【解析】
∵ 平方和绝对值都具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$\vert a^2+b^2-c^2\vert≥0$，且$(a-b)^2+\vert a^2+b^2-c^2\vert=0$
∴ 可得：
1. $a-b=0$，即$a=b$，说明△ABC有两条边相等，是等腰三角形；
2. $a^2+b^2-c^2=0$，即$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，说明△ABC是直角三角形。
综上，△ABC同时满足等腰和直角两个特征，是等腰直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形形状判定的基础综合题，解题的核心是先利用非负数的性质得到三边的关系，再结合三角形的判定定理综合判断，注意不要仅根据一个边的关系就下结论，避免漏看条件选错答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到等式左侧是平方与绝对值的和，二者均为非负数，结合非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，可得到两个关于三角形三边的关系式。再分别根据这两个关系式判断三角形的属性，最后结合两个属性确定最准确的形状即可。
【解析】
∵ 平方和绝对值都具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$\vert a^2+b^2-c^2\vert≥0$，且$(a-b)^2+\vert a^2+b^2-c^2\vert=0$
∴ 可得：
1. $a-b=0$，即$a=b$，说明△ABC有两条边相等，是等腰三角形；
2. $a^2+b^2-c^2=0$，即$a^2+b^2=c^2$，根据勾股定理的逆定理，说明△ABC是直角三角形。
综上，△ABC同时满足等腰和直角两个特征，是等腰直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形形状判定的基础综合题，解题的核心是先利用非负数的性质得到三边的关系，再结合三角形的判定定理综合判断，注意不要仅根据一个边的关系就下结论，避免漏看条件选错答案。
【难度系数】
0.7
8. 在单位长度为1的正方形网格中,下面的三角形是直角三角形的是( )
A
B
C D
A
B
C D
答案：C
解析：
【分析】
要判断网格中的三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出四个选项中三角形三边的平方，再验证是否满足逆定理的条件即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各选项三角形三边的平方：
A选项：三边的平方分别为$1^2+2^2=5$，$1^2+2^2=5$，$3^2=9$，因为$5+5=10≠9$，不是直角三角形；
B选项：三边的平方分别为$1^2+2^2=5$，$1^2+3^2=10$，$1^2+4^2=17$，因为$5+10=15≠17$，不是直角三角形；
C选项：三边的平方分别为$1^2+3^2=10$，$1^2+3^2=10$，$2^2+4^2=20$，因为$10+10=20$，满足勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D选项：三边的平方分别为$1^2+2^2=5$，$1^2+3^2=10$，$2^2+3^2=13$，因为$5+10=15≠13$，不是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，解题关键是准确计算三角形各边的平方，再结合逆定理判断，计算时注意不要数错网格的边长差。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出四个选项中三角形三边的平方，再验证是否满足逆定理的条件即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各选项三角形三边的平方：
A选项：三边的平方分别为$1^2+2^2=5$，$1^2+2^2=5$，$3^2=9$，因为$5+5=10≠9$，不是直角三角形；
B选项：三边的平方分别为$1^2+2^2=5$，$1^2+3^2=10$，$1^2+4^2=17$，因为$5+10=15≠17$，不是直角三角形；
C选项：三边的平方分别为$1^2+3^2=10$，$1^2+3^2=10$，$2^2+4^2=20$，因为$10+10=20$，满足勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D选项：三边的平方分别为$1^2+2^2=5$，$1^2+3^2=10$，$2^2+3^2=13$，因为$5+10=15≠13$，不是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，解题关键是准确计算三角形各边的平方，再结合逆定理判断，计算时注意不要数错网格的边长差。
【难度系数】
0.7