1. 在勾股定理的简单应用中,我们可以将直角三角形的三边a,b,c(最长边)的关系______看成一个方程,这样就把解决实际问题转化为解决数学问题.
答案：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
解析：
【分析】
首先回忆勾股定理的基本内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，斜边是直角三角形的最长边。题目中明确c是最长边，因此c对应斜边，a、b对应两条直角边，按照勾股定理的表述就能写出三边的关系式，这个关系式本身是含未知数的等式，符合方程的特征，因此可以将其作为方程解决实际问题。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边（即最长边）的平方。题中给出c为最长边，即斜边，a、b为两条直角边，因此三边关系为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【答案】
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
【知识点】
勾股定理；方程思想
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对勾股定理内容的掌握，明确直角三角形中最长边对应斜边是解题的关键，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先回忆勾股定理的基本内容：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，斜边是直角三角形的最长边。题目中明确c是最长边，因此c对应斜边，a、b对应两条直角边，按照勾股定理的表述就能写出三边的关系式，这个关系式本身是含未知数的等式，符合方程的特征，因此可以将其作为方程解决实际问题。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边（即最长边）的平方。题中给出c为最长边，即斜边，a、b为两条直角边，因此三边关系为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【答案】
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
【知识点】
勾股定理；方程思想
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对勾股定理内容的掌握，明确直角三角形中最长边对应斜边是解题的关键，难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 在运用勾股定理及其逆定理解决实际问题的过程中,我们可以把有关斜三角形、四边形等图形的问题转化为______的问题求解.
答案：直角三角形
解析：
【分析】
解题时首先要明确勾股定理及其逆定理的适用条件：二者仅针对直角三角形成立，只能用于直角三角形的边长计算、直角判定等问题。当遇到斜三角形、四边形等不满足直角三角形特征的图形问题时，核心思路是通过作辅助线（如作高、连接对角线等）构造出直角三角形，把原问题转化为直角三角形的相关问题，就可以运用勾股定理及其逆定理求解，因此横线处对应的内容为直角三角形。
【解析】
勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系，其逆定理是判定直角三角形的重要依据，二者的适用对象均为直角三角形。在解决斜三角形、四边形等其他图形的实际问题时，通常借助辅助线将原图形问题转化为直角三角形的问题，再运用勾股定理及其逆定理进行计算或证明，因此横线处应填直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
1.勾股定理 2.勾股定理的逆定理 3.转化思想
【点评】
本题考查勾股定理相关应用的基本解题思路，侧重对数学思想方法和定理适用范围的理解，属于基础概念类题型，熟练掌握勾股定理的适用前提即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确勾股定理及其逆定理的适用条件：二者仅针对直角三角形成立，只能用于直角三角形的边长计算、直角判定等问题。当遇到斜三角形、四边形等不满足直角三角形特征的图形问题时，核心思路是通过作辅助线（如作高、连接对角线等）构造出直角三角形，把原问题转化为直角三角形的相关问题，就可以运用勾股定理及其逆定理求解，因此横线处对应的内容为直角三角形。
【解析】
勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系，其逆定理是判定直角三角形的重要依据，二者的适用对象均为直角三角形。在解决斜三角形、四边形等其他图形的实际问题时，通常借助辅助线将原图形问题转化为直角三角形的问题，再运用勾股定理及其逆定理进行计算或证明，因此横线处应填直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
1.勾股定理 2.勾股定理的逆定理 3.转化思想
【点评】
本题考查勾股定理相关应用的基本解题思路，侧重对数学思想方法和定理适用范围的理解，属于基础概念类题型，熟练掌握勾股定理的适用前提即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 如图,校园内有两棵树,相距8米,一棵树高13米,另一棵树高7米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞( )
A.8米
B.9米
C.10米
D.11米
A.8米
B.9米
C.10米
D.11米
答案：C
解析：
【分析】
要解决小鸟最短飞行距离的问题，首先明确两点之间线段最短，因此小鸟的最短飞行路径是两棵树顶端的连线。我们可以通过作辅助线构造直角三角形：过较矮树的顶端向较高的树作垂线，得到直角三角形，该三角形的两条直角边分别为两棵树的高度差、两棵树的水平距离，最后用勾股定理求出斜边长，就是小鸟至少要飞行的距离。
【解析】
解：先计算两棵树的高度差：$13 - 7 = 6\ \mathrm{m}$
已知两棵树的水平距离为$8\ \mathrm{m}$，小鸟最短飞行距离为直角三角形的斜边长，根据勾股定理：
$\mathrm{斜边长}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$
因此小鸟至少要飞10m。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；两点之间线段最短
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题核心是将实际场景转化为直角三角形数学模型，准确找到直角边长度后即可利用勾股定理计算求解，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
要解决小鸟最短飞行距离的问题，首先明确两点之间线段最短，因此小鸟的最短飞行路径是两棵树顶端的连线。我们可以通过作辅助线构造直角三角形：过较矮树的顶端向较高的树作垂线，得到直角三角形，该三角形的两条直角边分别为两棵树的高度差、两棵树的水平距离，最后用勾股定理求出斜边长，就是小鸟至少要飞行的距离。
【解析】
解：先计算两棵树的高度差：$13 - 7 = 6\ \mathrm{m}$
已知两棵树的水平距离为$8\ \mathrm{m}$，小鸟最短飞行距离为直角三角形的斜边长，根据勾股定理：
$\mathrm{斜边长}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$
因此小鸟至少要飞10m。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；两点之间线段最短
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题核心是将实际场景转化为直角三角形数学模型，准确找到直角边长度后即可利用勾股定理计算求解，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
2. 如图,长为8 cm的橡皮筋放置在桌面上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3 cm到D,则橡皮筋被拉长了______cm.
答案：2
解析：
【分析】
首先明确题目所求为橡皮筋拉长的长度，即拉升后AD与BD的总长度和原长AB的差值。首先根据C是AB中点求出AC的长度，结合DC垂直AB可知△ACD是直角三角形，利用勾股定理可求出AD的长度，由对称性可知BD和AD长度相等，进而求出拉升后橡皮筋的总长度，最后和原长作差就能得到拉长的长度。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，AB=8cm，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=4\mathrm{cm}$，
由题意可知$DC⊥ AB$，即$∠ ACD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$，
同理可得$BD=5\mathrm{cm}$，
∴拉升后橡皮筋的总长度为$AD+BD=5+5=10\mathrm{cm}$，
∴橡皮筋被拉长的长度为$10-8=2\mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，线段中点的定义
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题关键是结合图形找到直角三角形，利用已知条件求出直角边长度，再通过勾股定理计算斜边长度，最后作差得到结果，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
首先明确题目所求为橡皮筋拉长的长度，即拉升后AD与BD的总长度和原长AB的差值。首先根据C是AB中点求出AC的长度，结合DC垂直AB可知△ACD是直角三角形，利用勾股定理可求出AD的长度，由对称性可知BD和AD长度相等，进而求出拉升后橡皮筋的总长度，最后和原长作差就能得到拉长的长度。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，AB=8cm，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=4\mathrm{cm}$，
由题意可知$DC⊥ AB$，即$∠ ACD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$，
同理可得$BD=5\mathrm{cm}$，
∴拉升后橡皮筋的总长度为$AD+BD=5+5=10\mathrm{cm}$，
∴橡皮筋被拉长的长度为$10-8=2\mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，线段中点的定义
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题关键是结合图形找到直角三角形，利用已知条件求出直角边长度，再通过勾股定理计算斜边长度，最后作差得到结果，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
3. 如图是一段楼梯,高BC是6米,斜边AC是10米,若在楼梯上铺地毯,则至少需要地毯______米.
答案：14
解析：
【分析】
要计算楼梯上铺地毯的最短长度，可利用平移的思路分析：将每级台阶的水平边向下平移到AB边，所有水平边的总长度恰好等于AB的长度；将每级台阶的竖直边向右平移到BC边，所有竖直边的总长度恰好等于BC的长度，因此地毯总长度为AB与BC的长度之和。已知BC长度，我们只需先在直角三角形ABC中用勾股定理求出AB的长度，再求和即可得到结果。
【解析】
解：由图可知△ABC是直角三角形，∠B=90°。
根据勾股定理，在Rt△ABC中：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入已知BC=6m，AC=10m，得：
$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8(m)$
结合平移的性质，地毯的总长度=水平边长总和+竖直边长总和=AB+BC=8+6=14(m)
【答案】
14
【知识点】
勾股定理，平移的性质
【点评】
本题结合生活实际考查平移思想和勾股定理的应用，解题核心是通过平移将分散的台阶长度转化为直角三角形两条直角边的长度，无需逐段计算台阶尺寸，大大降低了计算难度。
【难度系数】
0.7
要计算楼梯上铺地毯的最短长度，可利用平移的思路分析：将每级台阶的水平边向下平移到AB边，所有水平边的总长度恰好等于AB的长度；将每级台阶的竖直边向右平移到BC边，所有竖直边的总长度恰好等于BC的长度，因此地毯总长度为AB与BC的长度之和。已知BC长度，我们只需先在直角三角形ABC中用勾股定理求出AB的长度，再求和即可得到结果。
【解析】
解：由图可知△ABC是直角三角形，∠B=90°。
根据勾股定理，在Rt△ABC中：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入已知BC=6m，AC=10m，得：
$AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8(m)$
结合平移的性质，地毯的总长度=水平边长总和+竖直边长总和=AB+BC=8+6=14(m)
【答案】
14
【知识点】
勾股定理，平移的性质
【点评】
本题结合生活实际考查平移思想和勾股定理的应用，解题核心是通过平移将分散的台阶长度转化为直角三角形两条直角边的长度，无需逐段计算台阶尺寸，大大降低了计算难度。
【难度系数】
0.7
4. 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响.如图,有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶,已知点C为一所学校,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为150 m和200 m,AB= 250 m,拖拉机周围130 m以内为受噪声影响区域.学校C会受噪声影响吗?为什么?
答案：学校 C 会受噪声影响.理由:过点 C 作 $CD \perp AB$ 于点 D,
∵ $AC=150\ m,BC=200\ m,AB=250\ m,\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,
∴ $\triangle ABC$ 是直角三角形.
∴ $AC \cdot BC=CD \cdot AB$,即 $150 × 200=250 × CD,\therefore CD=120\ m.\because$ 拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域,
∴ 学校 C 会受噪声影响.
∵ $AC=150\ m,BC=200\ m,AB=250\ m,\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$,
∴ $\triangle ABC$ 是直角三角形.
∴ $AC \cdot BC=CD \cdot AB$,即 $150 × 200=250 × CD,\therefore CD=120\ m.\because$ 拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域,
∴ 学校 C 会受噪声影响.
解析：
【分析】
要判断学校C是否受噪声影响，本质是判断点C到直线AB的最短距离（即点C到AB的垂线段长度）是否小于等于130m，若小于等于则受影响。首先观察△ABC的三边长，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若为直角三角形，就可以利用“直角三角形的面积可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用底乘高的一半计算”这一性质，求出AB边上的高CD的长度，最后将CD的长度和130m比较即可得出结论。
【解析】
解：过点C作$CD ⊥ AB$于点D，CD即为点C到直线AB的最短距离。
已知$AC=150\ \mathrm{m}$，$BC=200\ \mathrm{m}$，$AB=250\ \mathrm{m}$，
计算得：$AC^2 + BC^2 = 150^2 + 200^2 = 22500 + 40000 = 62500$，
$AB^2 = 250^2 = 62500$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
直角三角形的面积可表示为$\frac{1}{2}AC · BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB · CD$，因此：
$AC · BC = AB · CD$，
代入数值得：$150 × 200 = 250 × CD$，
解得$CD = \frac{150 × 200}{250} = 120\ \mathrm{m}$。
$\because 120\ \mathrm{m} ＜ 130\ \mathrm{m}$，即点C到AB的最短距离小于噪声影响范围的半径，
$\therefore$学校C会受噪声影响。
【答案】
学校C会受噪声影响。理由：过点C作$CD ⊥ AB$于点D，
∵ $AC=150\ m,BC=200\ m,AB=250\ m,\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
∴ $△ ABC$ 是直角三角形。
∴ $AC · BC=CD · AB$,即 $150 × 200=250 × CD,\therefore CD=120\ m.\because$ 拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域，
∴ 学校 C 会受噪声影响。
【知识点】
勾股定理逆定理，点到直线的距离，直角三角形面积计算
【点评】
本题将实际生活中的噪声影响问题转化为几何计算问题，既考查了勾股定理逆定理的应用，也考查了利用面积法求直角三角形高的技巧，解题的关键是明确“点到直线的最短距离是垂线段的长度”，解题思路清晰，实用性较强。
【难度系数】
0.8
要判断学校C是否受噪声影响，本质是判断点C到直线AB的最短距离（即点C到AB的垂线段长度）是否小于等于130m，若小于等于则受影响。首先观察△ABC的三边长，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若为直角三角形，就可以利用“直角三角形的面积可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用底乘高的一半计算”这一性质，求出AB边上的高CD的长度，最后将CD的长度和130m比较即可得出结论。
【解析】
解：过点C作$CD ⊥ AB$于点D，CD即为点C到直线AB的最短距离。
已知$AC=150\ \mathrm{m}$，$BC=200\ \mathrm{m}$，$AB=250\ \mathrm{m}$，
计算得：$AC^2 + BC^2 = 150^2 + 200^2 = 22500 + 40000 = 62500$，
$AB^2 = 250^2 = 62500$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
直角三角形的面积可表示为$\frac{1}{2}AC · BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB · CD$，因此：
$AC · BC = AB · CD$，
代入数值得：$150 × 200 = 250 × CD$，
解得$CD = \frac{150 × 200}{250} = 120\ \mathrm{m}$。
$\because 120\ \mathrm{m} ＜ 130\ \mathrm{m}$，即点C到AB的最短距离小于噪声影响范围的半径，
$\therefore$学校C会受噪声影响。
【答案】
学校C会受噪声影响。理由：过点C作$CD ⊥ AB$于点D，
∵ $AC=150\ m,BC=200\ m,AB=250\ m,\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
∴ $△ ABC$ 是直角三角形。
∴ $AC · BC=CD · AB$,即 $150 × 200=250 × CD,\therefore CD=120\ m.\because$ 拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域，
∴ 学校 C 会受噪声影响。
【知识点】
勾股定理逆定理，点到直线的距离，直角三角形面积计算
【点评】
本题将实际生活中的噪声影响问题转化为几何计算问题，既考查了勾股定理逆定理的应用，也考查了利用面积法求直角三角形高的技巧，解题的关键是明确“点到直线的最短距离是垂线段的长度”，解题思路清晰，实用性较强。
【难度系数】
0.8
5. 如图①所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地高4.5 m的墙上,任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时,灯就会自动发光.若一个身高1.5 m的学生走到D处,灯恰好自动发光(如图②),则BD的长为( )
A.4 m
B.3 m
C.5 m
D.7 m
A.4 m
B.3 m
C.5 m
D.7 m
答案：A
解析：
【分析】
解题时首先通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的计算问题。第一步，过点C作CE垂直AB于E，得到矩形CDBE，可知CE=BD、BE等于学生身高；第二步，计算出A到E的竖直距离AE；第三步，利用灯的感应距离等于斜边AC的长度，结合勾股定理计算直角边CE的长度，即可得到BD的长。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形CDBE是矩形，
∴CE=BD，BE=CD=1.5 m，
∴AE=AB - BE=4.5 - 1.5=3(m)。
由题意可知AC=5 m，在Rt△ACE中，根据勾股定理：
$CE^2 + AE^2 = AC^2$
代入数值可得：$CE=\sqrt{AC^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4(m)$
∴BD=CE=4 m
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的典型应用题，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，把实际中的长度关系对应到几何图形的边长中，再利用勾股定理计算未知边长，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
解题时首先通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的计算问题。第一步，过点C作CE垂直AB于E，得到矩形CDBE，可知CE=BD、BE等于学生身高；第二步，计算出A到E的竖直距离AE；第三步，利用灯的感应距离等于斜边AC的长度，结合勾股定理计算直角边CE的长度，即可得到BD的长。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴四边形CDBE是矩形，
∴CE=BD，BE=CD=1.5 m，
∴AE=AB - BE=4.5 - 1.5=3(m)。
由题意可知AC=5 m，在Rt△ACE中，根据勾股定理：
$CE^2 + AE^2 = AC^2$
代入数值可得：$CE=\sqrt{AC^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4(m)$
∴BD=CE=4 m
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的典型应用题，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，把实际中的长度关系对应到几何图形的边长中，再利用勾股定理计算未知边长，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7