【分析】
解决本题首先要回忆折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。第一步先分析两次折叠得到的相等边和相等角：第一次折叠B到D，可得AD=AB=2，∠B=∠ADB；第二次折叠C到D，可得DE=CE，∠C=∠CDE。再结合原△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，可知∠B+∠C=90°，由此可推导出∠ADE=90°，得到Rt△ADE。最后设AE的长为未知数，用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
由折叠的性质可得：
第一次折叠：$AD=AB=2$，$∠ B=∠ ADB$；
第二次折叠：$DE=CE$，$∠ C=∠ CDE$。
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，
∴$∠ B+∠ C=90°$，
∴$∠ ADB+∠ CDE=∠ B+∠ C=90°$，
∴$∠ ADE=180°-(∠ ADB+∠ CDE)=90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
设$AE=x$，已知$AC=3$，则$CE=AC-AE=3-x$，
∴$DE=CE=3-x$。
在$Rt△ ADE$中，根据勾股定理：$AD^2+DE^2=AE^2$，
代入数值可得：$2^2+(3-x)^2=x^2$，
展开计算：$4+9-6x+x^2=x^2$，
化简得：$13-6x=0$，
解得：$x=\frac{13}{6}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.折叠的性质
2.勾股定理
3.直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠类问题与勾股定理结合的常见题型，解题的关键是利用折叠的性质转化边和角的关系，构造出直角三角形后通过设未知数列方程求解，很好地考查了转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解这道题，首先观察到BD是∠ABC的角平分线，且△ABC为直角三角形、∠C=90°，首先联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作DE⊥AB于E，得到CD=DE；接下来先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度，再通过HL判定证明Rt△BCD和Rt△BED全等，得到BE=BC，进而求出AE的长度；最后设CD=DE=x，用含x的式子表示AD，在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解x，即可算出AD的长度。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E。
∵∠C=90°，
∴CD⊥BC。
∵BD是∠ABC的平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质得CD=DE。
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}CD=ED\\ BD=BD\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE=6。
在Rt△ABC中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∴AE=AB-BE=10-6=4。
设CD=DE=x，则AD=AC-CD=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得$AE^2+DE^2=AD^2$，
即$4^2+x^2=(8-x)^2$，
展开化简得16x=48，解得x=3，
∴AD=8-x=8-3=5。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线性质与勾股定理结合的典型应用题型，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形转化相等线段，再结合方程思想利用勾股定理列方程求解，能有效考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65

【分析】
首先根据题中的尺规作图方法，判断出MN是AC的垂直平分线，回忆垂直平分线的性质可得AD=DC、AC=2AE；再结合已知BD=DC，可推出BD=AD=DC，利用等边对等角得到角的关系，结合三角形内角和定理推导∠BAC为直角，最后在直角三角形中用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，MN是AC的垂直平分线，
∴ AE=EC=4，AC=2AE=8，且AD=DC，
∵ BD=DC，AD=5，
∴ BD=AD=DC=5，
∴ BC=BD+DC=5+5=10，
∵ AD=BD，
∴ ∠B=∠BAD，
∵ AD=DC，
∴ ∠C=∠DAC，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
即∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=180°，
代入∠B=∠BAD、∠C=∠DAC，得2∠BAD+2∠DAC=180°，
∴ ∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、几何基本性质的应用，解题的关键是先通过作图特征得到垂直平分线，再逐步推导得到直角三角形，结合勾股定理计算边长，能较好地考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）求等腰三角形的面积，已知底边长，只需求出底边上的高即可。根据等腰三角形“三线合一”的性质，作底边BC的高AD，可直接得到BD的长度，再利用勾股定理求出高AD的长度，代入三角形面积公式即可算出面积。
（2）PA与腰垂直需分两种情况讨论：①PA⊥AC；②PA⊥AB。两种情况都可以通过勾股定理分别表示出AP²，建立关于线段长度的方程，解出对应BP的长度，再结合P的运动速度即可求出运动时间t，最后要验证结果是否符合P的运动范围。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥BC于点D。
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴AD是底边BC的中线，即$BD=\frac{1}{2}BC=4\mathrm{cm}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=AB^2$，
代入数值得$AD^2+4^2=5^2$，解得$AD=3\mathrm{cm}$。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}×8×3=12\mathrm{cm}^2$。
(2) 设点P的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$BP=t\ \mathrm{cm}$（$0≤ t≤8$），分两种情况讨论：
①当PA⊥AC时：
在Rt△APD中，$AP^2=PD^2+AD^2$；在Rt△APC中，$AP^2=PC^2-AC^2$。
联立得$PD^2+AD^2=PC^2-AC^2$，设$PD=x\ \mathrm{cm}$，则$PC=PD+DC=(x+4)\mathrm{cm}$，代入数值：
$x^2+3^2=(x+4)^2-5^2$
展开化简得$8x=18$，解得$x=2.25$。
此时$BP=BD-PD=4-2.25=1.75\mathrm{cm}$，
∴$t=1.75÷1=1.75\mathrm{s}$。
②当PA⊥AB时：
同理根据勾股定理可得$PD=2.25\mathrm{cm}$，此时$BP=BD+PD=4+2.25=6.25\mathrm{cm}$，
∴$t=6.25÷1=6.25\mathrm{s}$。
经检验，1.75和6.25都在P的运动时长范围内，均符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{12\mathrm{cm}^2}$
(2) $\boxed{1.75\mathrm{s}}$或$\boxed{6.25\mathrm{s}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形与勾股定理结合的典型综合题，解题的易错点是忽略“PA与腰垂直”包含两种情况，出现漏解。通过勾股定理建立等量关系列方程求解，体现了几何问题中代数方法的运用思路。
【难度系数】
0.6

【分析】
要计算长方体表面两点的最短路径，需先将立体图形中包含两点的相邻面展开到同一平面，依据“两点之间线段最短”，路径长度即为展开平面中两点的线段长度。本题共有3种不同的面展开方式，需对每种情况用勾股定理计算路径长度，再比较大小得到最短路径。
【解析】
将长方体的面展开，分三种情况计算$AB'$的长度：
1. 把包含A的正面（面$ACC'A'$）和包含$B'$的右侧面（面$BCC'B'$）展开到同一平面，此时构成的直角三角形两条直角边长分别为$AC+BC=2+1=3\mathrm{cm}$、$AA'=4\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB'^2=3^2+4^2=9+16=25$，即$AB'=5\mathrm{cm}$；
2. 把包含A的正面（面$ACC'A'$）和包含$B'$的上面（面$A'B'C'D'$）展开到同一平面，此时构成的直角三角形两条直角边长分别为$AC=2\mathrm{cm}$、$AA'+BC=4+1=5\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB'^2=2^2+5^2=4+25=29$，即$AB'=\sqrt{29}\mathrm{cm}$；
3. 把包含A的左面（面$ADD'A'$）和包含$B'$的上面（面$A'B'C'D'$）展开到同一平面，此时构成的直角三角形两条直角边长分别为$BC=1\mathrm{cm}$、$AA'+AC=4+2=6\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB'^2=1^2+6^2=1+36=37$，即$AB'=\sqrt{37}\mathrm{cm}$。
因为$25＜29＜37$，所以第一种情况对应的路径最短。
【答案】
沿正面和右侧面展开的路线爬行最近，最短路程是5cm。
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理；立体图形表面展开
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的应用，解题关键是将立体图形的表面转化为平面图形，注意要枚举所有可能的面展开情况，分别计算后再比较得到最短路径，避免漏算情况导致结果错误。
【难度系数】
0.65