6. 如图,在平面直角坐标系中,点C(m,m)在第一象限,点B,A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,∠ACB= 90°,则OA+OB等于 ( )
A.m
B.2m
C.3m
D.4m
A.m
B.2m
C.3m
D.4m
答案：B
解析：
【分析】
已知点C的横、纵坐标均为m，说明点C到x轴、y轴的距离相等，我们可以通过过点C向两条坐标轴作垂线，构造正方形和全等三角形，将OA、OB转化为与已知m相关的线段，进而求出OA+OB的和。解题步骤如下：首先作辅助线得到正方形OECF，再证明△CEA和△CFB全等，得到对应边相等，最后对OA+OB进行变形代入即可求解。
【解析】
过点C作$CE⊥ y$轴于点E，$CF⊥ x$轴于点F，则$∠ CEA=∠ CFB=90°$。
$\because$点$C(m,m)$，$\therefore CE=CF=m$。
又$\because ∠ EOF=90°$，$\therefore$四边形OECF是正方形，$\therefore OE=OF=m$，$∠ ECF=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ECA + ∠ ACF = ∠ FCB + ∠ ACF = 90°$，即$∠ ECA=∠ FCB$。
在$△ CEA$和$△ CFB$中：
$\begin{cases}∠ CEA=∠ CFB \\CE=CF \\∠ ECA=∠ FCB\end{cases}$
$\therefore △ CEA≌△ CFB(\mathrm{ASA})$，$\therefore EA=FB$。
$\begin{aligned}\therefore OA+OB&=(OE-EA)+(OF+FB) \\&=OE - EA + OF + EA \\&=OE+OF \\&=m+m=2m\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 正方形的性质
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中线段和的典型题型，解题核心是利用点横纵坐标相等的特点作垂线构造全等三角形，完成线段的等量代换，该方法是解决坐标系中几何类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
已知点C的横、纵坐标均为m，说明点C到x轴、y轴的距离相等，我们可以通过过点C向两条坐标轴作垂线，构造正方形和全等三角形，将OA、OB转化为与已知m相关的线段，进而求出OA+OB的和。解题步骤如下：首先作辅助线得到正方形OECF，再证明△CEA和△CFB全等，得到对应边相等，最后对OA+OB进行变形代入即可求解。
【解析】
过点C作$CE⊥ y$轴于点E，$CF⊥ x$轴于点F，则$∠ CEA=∠ CFB=90°$。
$\because$点$C(m,m)$，$\therefore CE=CF=m$。
又$\because ∠ EOF=90°$，$\therefore$四边形OECF是正方形，$\therefore OE=OF=m$，$∠ ECF=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ECA + ∠ ACF = ∠ FCB + ∠ ACF = 90°$，即$∠ ECA=∠ FCB$。
在$△ CEA$和$△ CFB$中：
$\begin{cases}∠ CEA=∠ CFB \\CE=CF \\∠ ECA=∠ FCB\end{cases}$
$\therefore △ CEA≌△ CFB(\mathrm{ASA})$，$\therefore EA=FB$。
$\begin{aligned}\therefore OA+OB&=(OE-EA)+(OF+FB) \\&=OE - EA + OF + EA \\&=OE+OF \\&=m+m=2m\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 正方形的性质
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中线段和的典型题型，解题核心是利用点横纵坐标相等的特点作垂线构造全等三角形，完成线段的等量代换，该方法是解决坐标系中几何类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
7. 已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B在y轴上且$AB= \sqrt{5},$则点B的坐标为______.
答案：(0,1)或(0,-1)
解析：
【分析】
解题思路如下：①先确定点B的坐标特征：y轴上的点横坐标恒为0，因此可设点B的坐标为(0,y)，仅需求出y的值即可；②已知点A坐标和AB的长度，由于点A在x轴、点B在y轴，原点O与A、B构成直角三角形AOB，可利用勾股定理列等式，也可直接用两点间距离公式列方程；③解方程求y时，注意平方等于1的数有1和-1两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵点B在y轴上，
∴设点B的坐标为(0, y)。
已知点A坐标为(2,0)，AB=√5，在Rt△AOB中，OA=2，OB=|y|，∠AOB=90°，根据勾股定理可得：
$OA^2 + OB^2 = AB^2$
代入数值：$2^2 + |y|^2 = (\sqrt{5})^2$
计算得：$4 + y^2 = 5$
整理得：$y^2 = 1$
解得：$y=1$或$y=-1$
∴点B的坐标为(0,1)或(0,-1)。
【答案】
(0,1)或(0,-1)
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征、勾股定理的应用、平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对坐标轴上点的坐标特点的掌握，解题时需注意y轴上的点可分布在正半轴和负半轴，避免因忽略负数解导致漏解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：①先确定点B的坐标特征：y轴上的点横坐标恒为0，因此可设点B的坐标为(0,y)，仅需求出y的值即可；②已知点A坐标和AB的长度，由于点A在x轴、点B在y轴，原点O与A、B构成直角三角形AOB，可利用勾股定理列等式，也可直接用两点间距离公式列方程；③解方程求y时，注意平方等于1的数有1和-1两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵点B在y轴上，
∴设点B的坐标为(0, y)。
已知点A坐标为(2,0)，AB=√5，在Rt△AOB中，OA=2，OB=|y|，∠AOB=90°，根据勾股定理可得：
$OA^2 + OB^2 = AB^2$
代入数值：$2^2 + |y|^2 = (\sqrt{5})^2$
计算得：$4 + y^2 = 5$
整理得：$y^2 = 1$
解得：$y=1$或$y=-1$
∴点B的坐标为(0,1)或(0,-1)。
【答案】
(0,1)或(0,-1)
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征、勾股定理的应用、平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对坐标轴上点的坐标特点的掌握，解题时需注意y轴上的点可分布在正半轴和负半轴，避免因忽略负数解导致漏解。
【难度系数】
0.8
8. 在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标满足x-2y+3= 0,则我们称点P为"健康点"；若点Q(x,y)的坐标满足x+y-6= 0,则我们称点Q为"快乐点",若点A既是"健康点"又是"快乐点",则点A的坐标为______.
答案：(3,3)
解析：
【分析】
要确定同时是“健康点”和“快乐点”的点A的坐标，首先明确点的坐标需同时满足两个定义对应的方程：健康点满足$x-2y+3=0$，快乐点满足$x+y-6=0$，因此只需将两个方程联立组成二元一次方程组，求解得到的x、y值就是点A的横、纵坐标。
【解析】
根据题意，点A的坐标同时满足以下两个方程：
$\begin{cases}x - 2y + 3 = 0 ① \\x + y - 6 = 0 ②\end{cases}$
用②$-$①消去x，得：
$(x+y-6)-(x-2y+3)=0$
化简得$3y - 9 = 0$，解得$y=3$。
将$y=3$代入②式，得$x + 3 - 6 = 0$，解得$x=3$。
因此点A的坐标为$(3,3)$。
【答案】
$(3,3)$
【知识点】
二元一次方程组解法，点与方程的关系，新定义理解
【点评】
本题是新定义类基础题，解题的核心是读懂新定义的内涵，将点满足的条件转化为对应的方程组求解，侧重考察对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
要确定同时是“健康点”和“快乐点”的点A的坐标，首先明确点的坐标需同时满足两个定义对应的方程：健康点满足$x-2y+3=0$，快乐点满足$x+y-6=0$，因此只需将两个方程联立组成二元一次方程组，求解得到的x、y值就是点A的横、纵坐标。
【解析】
根据题意，点A的坐标同时满足以下两个方程：
$\begin{cases}x - 2y + 3 = 0 ① \\x + y - 6 = 0 ②\end{cases}$
用②$-$①消去x，得：
$(x+y-6)-(x-2y+3)=0$
化简得$3y - 9 = 0$，解得$y=3$。
将$y=3$代入②式，得$x + 3 - 6 = 0$，解得$x=3$。
因此点A的坐标为$(3,3)$。
【答案】
$(3,3)$
【知识点】
二元一次方程组解法，点与方程的关系，新定义理解
【点评】
本题是新定义类基础题，解题的核心是读懂新定义的内涵，将点满足的条件转化为对应的方程组求解，侧重考察对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
9. 在平面直角坐标系中,我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫作点P(x,y)的勾股值,记为「P」,即「P」= |x|+|y|.
(1)求点A(-1,3)的勾股值「A」；
(2)若点B在第二象限且满足「B」= 4,试写出一些满足条件的点B,并在平面直角坐标系中,然后按照横坐标从小到大的顺序用光滑的线将它们连起来.
(1)求点A(-1,3)的勾股值「A」；
(2)若点B在第二象限且满足「B」= 4,试写出一些满足条件的点B,并在平面直角坐标系中,然后按照横坐标从小到大的顺序用光滑的线将它们连起来.
答案：
(1)$[A]=|-1|+|3|=4$.
(2)设$B(x,y)$,由$[B]=4$且在第二象限知,$-x+y=4(x＜0,y＞0)$.满足条件的点
B有$(-0.5,3.5)$、$(-1,3)$、$(-1.5,2.5)$、$(-2,2)$、$(-2.5,1.5)$、$(-3,1)$……
点B及其连线如图所示.
(1)$[A]=|-1|+|3|=4$.
(2)设$B(x,y)$,由$[B]=4$且在第二象限知,$-x+y=4(x＜0,y＞0)$.满足条件的点
B有$(-0.5,3.5)$、$(-1,3)$、$(-1.5,2.5)$、$(-2,2)$、$(-2.5,1.5)$、$(-3,1)$……
点B及其连线如图所示.
解析：
【分析】
(1) 第一问属于新定义直接套用题型，解题思路是直接按照题目给出的“勾股值”计算规则，将点A的横、纵坐标分别取绝对值后求和，即可得到结果。
(2) 第二问首先明确第二象限点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，据此可将绝对值化简，结合「B」=4的条件得到横、纵坐标的数量关系；之后在x＜0、y＞0的取值范围内取若干组对应坐标即可得到符合要求的点B，最后按横坐标从小到大的顺序连线，得到第二象限内的一段线段。
【解析】
(1) 根据题中定义「P」=|x|+|y|，将点A(-1,3)代入公式计算：
$\lceil A \rceil=|-1|+|3|=1+3=4$
(2) 设点B坐标为$(x,y)$：
① 因为点B在第二象限，所以$x＜0$，$y＞0$，因此$|x|=-x$，$|y|=y$；
② 结合$\lceil B \rceil=4$的条件，可得：$-x+y=4（x＜0,y＞0）$，即$y=x+4$，其中$x$的取值范围为$-4＜x＜0$；
③ 在上述范围内取x值，对应得到y值，即可得到符合条件的点B，例如$(-0.5,3.5)$、$(-1,3)$、$(-1.5,2.5)$、$(-2,2)$、$(-2.5,1.5)$、$(-3,1)$等；
④ 将这些点按照横坐标从小到大的顺序用光滑的线连接即可。
【答案】
(1)$\lceil A \rceil=|-1|+|3|=4$。
(2)设$B(x,y)$,由$\lceil B \rceil=4$且在第二象限知,$-x+y=4(x＜0,y＞0)$。满足条件的点
B有$(-0.5,3.5)$、$(-1,3)$、$(-1.5,2.5)$、$(-2,2)$、$(-2.5,1.5)$、$(-3,1)$……
点B及其连线如图所示。
【知识点】
新定义运算，象限坐标特征，绝对值化简
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系的基础知识点，难度较低，解题关键是准确理解“勾股值”的运算规则，结合象限坐标特征正确化简绝对值，第二问取点时要注意符合第二象限的坐标符号限制，连线为第二象限内的线段。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问属于新定义直接套用题型，解题思路是直接按照题目给出的“勾股值”计算规则，将点A的横、纵坐标分别取绝对值后求和，即可得到结果。
(2) 第二问首先明确第二象限点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，据此可将绝对值化简，结合「B」=4的条件得到横、纵坐标的数量关系；之后在x＜0、y＞0的取值范围内取若干组对应坐标即可得到符合要求的点B，最后按横坐标从小到大的顺序连线，得到第二象限内的一段线段。
【解析】
(1) 根据题中定义「P」=|x|+|y|，将点A(-1,3)代入公式计算：
$\lceil A \rceil=|-1|+|3|=1+3=4$
(2) 设点B坐标为$(x,y)$：
① 因为点B在第二象限，所以$x＜0$，$y＞0$，因此$|x|=-x$，$|y|=y$；
② 结合$\lceil B \rceil=4$的条件，可得：$-x+y=4（x＜0,y＞0）$，即$y=x+4$，其中$x$的取值范围为$-4＜x＜0$；
③ 在上述范围内取x值，对应得到y值，即可得到符合条件的点B，例如$(-0.5,3.5)$、$(-1,3)$、$(-1.5,2.5)$、$(-2,2)$、$(-2.5,1.5)$、$(-3,1)$等；
④ 将这些点按照横坐标从小到大的顺序用光滑的线连接即可。
【答案】
(1)$\lceil A \rceil=|-1|+|3|=4$。
(2)设$B(x,y)$,由$\lceil B \rceil=4$且在第二象限知,$-x+y=4(x＜0,y＞0)$。满足条件的点
B有$(-0.5,3.5)$、$(-1,3)$、$(-1.5,2.5)$、$(-2,2)$、$(-2.5,1.5)$、$(-3,1)$……
点B及其连线如图所示。
【知识点】
新定义运算，象限坐标特征，绝对值化简
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系的基础知识点，难度较低，解题关键是准确理解“勾股值”的运算规则，结合象限坐标特征正确化简绝对值，第二问取点时要注意符合第二象限的坐标符号限制，连线为第二象限内的线段。
【难度系数】
0.8
10. (创新意识·运算能力)在平面直角坐标系中,如果两个点的横坐标、纵坐标都是整数,且这两个点的横坐标与纵坐标的积相等,我们就称这两个点互为等积点.如:点P(2,3)与点Q(3,2)互为等积点.求以点M(-1,3)和它的所有等积点为顶点的凸多边形的面积.
答案：
根据互为等积点的定义得出点$M(-1,3)$的等积点为$A(1,-3)$,$B(-3,1)$,$C(3,-1)$,如图,故以 A,B,C,M 为顶点的四边形的面积$S=S_{正方形DEFG}-S_{\triangle BDM}-S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACF}-S_{\triangle CEM}=6×6-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×4=16$.
根据互为等积点的定义得出点$M(-1,3)$的等积点为$A(1,-3)$,$B(-3,1)$,$C(3,-1)$,如图,故以 A,B,C,M 为顶点的四边形的面积$S=S_{正方形DEFG}-S_{\triangle BDM}-S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACF}-S_{\triangle CEM}=6×6-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×4=16$.
解析：
【分析】
首先理解“等积点”的定义：横、纵坐标均为整数，且横纵坐标的乘积相等的两个点互为等积点。解题第一步先计算点M(-1,3)的横纵坐标乘积，再找出所有乘积等于该值、坐标为整数且不与M重合的点，得到全部等积点；第二步观察这些点与M构成的凸多边形，选用割补法计算面积，即在外围补一个大正方形，减去四周多余的直角三角形面积，该方法简化了坐标系内多边形面积的计算过程，符合八年级学段的解题方法要求。
【解析】
1. 求点M的等积点：
先计算点M(-1,3)的横纵坐标乘积：$(-1) × 3=-3$。
根据等积点定义，寻找所有横、纵坐标为整数且乘积为-3的点，整数乘积为-3的整数对有$(-1,3)$（即点M本身，排除）、$(1,-3)$、$(-3,1)$、$(3,-1)$，因此点M的等积点为$A(1,-3)$、$B(-3,1)$、$C(3,-1)$。
2. 计算凸多边形面积：
采用割补法，作外围正方形DEFG，其横坐标范围为-3~3，纵坐标范围为-3~3，边长为$3-(-3)=6$，因此正方形面积为$6 × 6=36$。
再减去四周四个直角三角形的面积：
$S_{△ BDM}=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$，$S_{△ CEM}=\frac{1}{2} × 4 × 4=8$，$S_{△ ACF}=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$，$S_{△ ABG}=\frac{1}{2} × 4 × 4=8$。
最终凸多边形面积$S=36-2-8-2-8=16$。
【答案】
根据互为等积点的定义得出点$M(-1,3)$的等积点为$A(1,-3)$,$B(-3,1)$,$C(3,-1)$,如图,故以 A,B,C,M 为顶点的四边形的面积$S=S_{正方形DEFG}-S_{△ BDM}-S_{△ ABC}-S_{△ ACF}-S_{△ CEM}=6×6-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×4=16$.
【知识点】
新定义问题，坐标与图形性质，割补法求面积
【点评】
本题结合新定义考查信息提取能力和运算能力，解题核心是正确理解等积点的含义，准确找出所有符合条件的点，再选用合适的方法计算多边形面积，能有效锻炼数形结合思维和创新意识。
【难度系数】
0.7
首先理解“等积点”的定义：横、纵坐标均为整数，且横纵坐标的乘积相等的两个点互为等积点。解题第一步先计算点M(-1,3)的横纵坐标乘积，再找出所有乘积等于该值、坐标为整数且不与M重合的点，得到全部等积点；第二步观察这些点与M构成的凸多边形，选用割补法计算面积，即在外围补一个大正方形，减去四周多余的直角三角形面积，该方法简化了坐标系内多边形面积的计算过程，符合八年级学段的解题方法要求。
【解析】
1. 求点M的等积点：
先计算点M(-1,3)的横纵坐标乘积：$(-1) × 3=-3$。
根据等积点定义，寻找所有横、纵坐标为整数且乘积为-3的点，整数乘积为-3的整数对有$(-1,3)$（即点M本身，排除）、$(1,-3)$、$(-3,1)$、$(3,-1)$，因此点M的等积点为$A(1,-3)$、$B(-3,1)$、$C(3,-1)$。
2. 计算凸多边形面积：
采用割补法，作外围正方形DEFG，其横坐标范围为-3~3，纵坐标范围为-3~3，边长为$3-(-3)=6$，因此正方形面积为$6 × 6=36$。
再减去四周四个直角三角形的面积：
$S_{△ BDM}=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$，$S_{△ CEM}=\frac{1}{2} × 4 × 4=8$，$S_{△ ACF}=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$，$S_{△ ABG}=\frac{1}{2} × 4 × 4=8$。
最终凸多边形面积$S=36-2-8-2-8=16$。
【答案】
根据互为等积点的定义得出点$M(-1,3)$的等积点为$A(1,-3)$,$B(-3,1)$,$C(3,-1)$,如图,故以 A,B,C,M 为顶点的四边形的面积$S=S_{正方形DEFG}-S_{△ BDM}-S_{△ ABC}-S_{△ ACF}-S_{△ CEM}=6×6-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×4=16$.
【知识点】
新定义问题，坐标与图形性质，割补法求面积
【点评】
本题结合新定义考查信息提取能力和运算能力，解题核心是正确理解等积点的含义，准确找出所有符合条件的点，再选用合适的方法计算多边形面积，能有效锻炼数形结合思维和创新意识。
【难度系数】
0.7