| | 某城市一条主干道有3个连续路口A,B,C,相邻路口间距均为500米.现需设置“绿波带”交通信号灯,要求车辆以匀速50千米/时行驶时能连续通过绿灯.已知信号灯周期为60秒,绿灯时间为30秒(即绿灯在第0,60,120,…秒亮起,持续30秒). |
| 建立坐标系与计算行驶时间 | 1. 以路口A为原点,道路方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,标出路口B,C的位置.2. 不考虑红绿灯,计算车辆从A出发后到达B,C的时间(单位:秒). |
| 绿灯时间匹配分析 | 3. 若路口A的绿灯在t= 0秒时亮起,计算车辆到达B,C的时间是否在B,C路口的绿灯时间段内(假设B,C绿灯起始时间与A相同).4. 如果无法匹配,说明如何调整B,C绿灯的起始时间(提前或延后多少秒),才能使车辆连续通过绿灯. |
| 速度变化的影响 | 5. 若路口A的绿灯在t= 0秒时亮起(B,C绿灯起始时间与A相同),将车辆速度提升至60千米/时,重新计算车辆到达B,C的时间,并分析是否需要调整绿灯起始时间. |
| 建立坐标系与计算行驶时间 | 1. 以路口A为原点,道路方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,标出路口B,C的位置.2. 不考虑红绿灯,计算车辆从A出发后到达B,C的时间(单位:秒). |
| 绿灯时间匹配分析 | 3. 若路口A的绿灯在t= 0秒时亮起,计算车辆到达B,C的时间是否在B,C路口的绿灯时间段内(假设B,C绿灯起始时间与A相同).4. 如果无法匹配,说明如何调整B,C绿灯的起始时间(提前或延后多少秒),才能使车辆连续通过绿灯. |
| 速度变化的影响 | 5. 若路口A的绿灯在t= 0秒时亮起(B,C绿灯起始时间与A相同),将车辆速度提升至60千米/时,重新计算车辆到达B,C的时间,并分析是否需要调整绿灯起始时间. |
答案：
1. 如图.
2. 50 千米/时$=\frac {50×1000}{3600}$米/秒$=\frac {125}{9}$米/秒.
到达 B 时间:$t_{B}=500÷\frac {125}{9}=36$(秒).
到达 C 时间:$t_{C}=1000÷\frac {125}{9}=72$(秒).
3. 由题意知 B,C 绿灯起始时间与 A 相同(即绿灯在$t=0,60,120,\cdots$秒亮起,持续 30 秒).
车辆在 36 秒时到达 B,
∵ B 的绿灯时间段为 0 - 30 秒和 60 - 90 秒,36 秒不在绿灯时间段内.同理,车辆在 B 处等到 60 秒通行,在 96 秒时到达 C,
∵ C 的绿灯时间段为 60 - 90 秒和 120 - 150 秒,96 秒不在绿灯时间段内.
4. 答案不唯一,如:让 B 的绿灯比 A 延后 10 秒亮起(即 B 绿灯在$t=10,70,130,\cdots$秒亮起),这样车辆到达 B 时(36 秒)正好在 B 的绿灯时间段(10 - 40 秒)内.
让 C 的绿灯比 A 延后 10 秒亮起(即 C 绿灯在$t=10,70,130,\cdots$秒亮起),这样车辆到达 C 时(72 秒)正好在 C 的绿灯时间段(70 - 100 秒)内.
5. 60 千米/时$=\frac {60×1000}{3600}$米/秒$=\frac {50}{3}$米/秒.
到达 B 时间:$t_{B}=500÷\frac {50}{3}=30$(秒).
到达 C 时间:$t_{C}=1000÷\frac {50}{3}=60$(秒).
分析:如果 B,C 绿灯起始时间与 A 相同($t=0,60,120,\cdots$秒亮起),车辆到达 B(30 秒)正好在绿灯末尾(0 - 30 秒),到达 C(60 秒)正好在下一个绿灯开始(60 - 90 秒),因此可以连续通过.
速度提高后,原绿灯起始时间仍适用,无需调整.
1. 如图.
2. 50 千米/时$=\frac {50×1000}{3600}$米/秒$=\frac {125}{9}$米/秒.
到达 B 时间:$t_{B}=500÷\frac {125}{9}=36$(秒).
到达 C 时间:$t_{C}=1000÷\frac {125}{9}=72$(秒).
3. 由题意知 B,C 绿灯起始时间与 A 相同(即绿灯在$t=0,60,120,\cdots$秒亮起,持续 30 秒).
车辆在 36 秒时到达 B,
∵ B 的绿灯时间段为 0 - 30 秒和 60 - 90 秒,36 秒不在绿灯时间段内.同理,车辆在 B 处等到 60 秒通行,在 96 秒时到达 C,
∵ C 的绿灯时间段为 60 - 90 秒和 120 - 150 秒,96 秒不在绿灯时间段内.
4. 答案不唯一,如:让 B 的绿灯比 A 延后 10 秒亮起(即 B 绿灯在$t=10,70,130,\cdots$秒亮起),这样车辆到达 B 时(36 秒)正好在 B 的绿灯时间段(10 - 40 秒)内.
让 C 的绿灯比 A 延后 10 秒亮起(即 C 绿灯在$t=10,70,130,\cdots$秒亮起),这样车辆到达 C 时(72 秒)正好在 C 的绿灯时间段(70 - 100 秒)内.
5. 60 千米/时$=\frac {60×1000}{3600}$米/秒$=\frac {50}{3}$米/秒.
到达 B 时间:$t_{B}=500÷\frac {50}{3}=30$(秒).
到达 C 时间:$t_{C}=1000÷\frac {50}{3}=60$(秒).
分析:如果 B,C 绿灯起始时间与 A 相同($t=0,60,120,\cdots$秒亮起),车辆到达 B(30 秒)正好在绿灯末尾(0 - 30 秒),到达 C(60 秒)正好在下一个绿灯开始(60 - 90 秒),因此可以连续通过.
速度提高后,原绿灯起始时间仍适用,无需调整.
解析：
【分析】
解题时先按题目要求建立坐标系标注路口位置，首先统一单位，将速度单位从千米/时换算为米/秒，再利用“时间=路程÷速度”分别计算车辆到达B、C路口的时间；接下来根据绿灯的亮起规律（每60秒为一个周期，每个周期内前30秒为绿灯），判断到达时间是否落在绿灯时间段内；若不匹配，调整绿灯起始时间，使得到达时间落在调整后的绿灯区间内即可；最后更换行驶速度后重复上述计算和判断步骤，分析是否需要调整绿灯时间。
【解析】
1. 以路口A为原点，道路方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，相邻路口间距500米，因此B点坐标为$\boldsymbol{(500,0)}$，C点坐标为$\boldsymbol{(1000,0)}$，标注如图。
2. 先换算速度单位：$50\mathrm{千米/时}=\frac{50×1000}{3600}\mathrm{米/秒}=\frac{125}{9}\mathrm{米/秒}$。
根据行程公式$t=\frac{s}{v}$，
到达B的时间：$t_B=500÷\frac{125}{9}=36$（秒）；
到达C的时间：$t_C=1000÷\frac{125}{9}=72$（秒）。
3. 已知B、C绿灯起始时间与A相同，绿灯时间段为$[60k,60k+30]$（$k$为非负整数）：
车辆36秒到达B，不在B的绿灯区间$[0,30]$、$[60,90]$内，需等待到60秒才能通行；
若B处等待到60秒再通行，到达C的时间为$60+36=96$秒，不在C的绿灯区间$[60,90]$、$[120,150]$内，因此两个路口都无法匹配绿灯时间。
4. 要让车辆连续通过绿灯，需使到达B、C的时间落在对应路口的绿灯区间内：
设B路口绿灯延后$t_0$秒亮起，绿灯区间为$[t_0+60k,t_0+60k+30]$，要求$36\in[t_0,t_0+30]$，解得$6≤ t_0≤36$，可取$t_0=10$，即B绿灯比A延后10秒亮起，此时36秒在$[10,40]$的绿灯区间内；
同理C路口到达时间为72秒，要求$72\in[t_0+60,t_0+90]$，解得$-18≤ t_0≤12$，取$t_0=10$也满足要求，此时72秒在$[70,100]$的绿灯区间内，因此可将B、C绿灯均比A延后10秒（答案不唯一，合理即可）。
5. 先换算速度单位：$60\mathrm{千米/时}=\frac{60×1000}{3600}\mathrm{米/秒}=\frac{50}{3}\mathrm{米/秒}$。
到达B的时间：$t_B=500÷\frac{50}{3}=30$（秒）；
到达C的时间：$t_C=1000÷\frac{50}{3}=60$（秒）。
此时30秒刚好在B的绿灯区间$[0,30]$的末尾，60秒刚好在C的绿灯区间$[60,90]$的起始，车辆可连续通过，无需调整绿灯起始时间。
【答案】
1. 如图.
2. 50 千米/时$=\frac {50×1000}{3600}$米/秒$=\frac {125}{9}$米/秒.
到达 B 时间:$t_{B}=500÷\frac {125}{9}=36$(秒).
到达 C 时间:$t_{C}=1000÷\frac {125}{9}=72$(秒).
3. 由题意知 B,C 绿灯起始时间与 A 相同(即绿灯在$t=0,60,120,···$秒亮起,持续 30 秒).
车辆在 36 秒时到达 B,
∵ B 的绿灯时间段为 0 - 30 秒和 60 - 90 秒,36 秒不在绿灯时间段内.同理,车辆在 B 处等到 60 秒通行,在 96 秒时到达 C,
∵ C 的绿灯时间段为 60 - 90 秒和 120 - 150 秒,96 秒不在绿灯时间段内.
4. 答案不唯一,如:让 B 的绿灯比 A 延后 10 秒亮起(即 B 绿灯在$t=10,70,130,···$秒亮起),这样车辆到达 B 时(36 秒)正好在 B 的绿灯时间段(10 - 40 秒)内.
让 C 的绿灯比 A 延后 10 秒亮起(即 C 绿灯在$t=10,70,130,···$秒亮起),这样车辆到达 C 时(72 秒)正好在 C 的绿灯时间段(70 - 100 秒)内.
5. 60 千米/时$=\frac {60×1000}{3600}$米/秒$=\frac {50}{3}$米/秒.
到达 B 时间:$t_{B}=500÷\frac {50}{3}=30$(秒).
到达 C 时间:$t_{C}=1000÷\frac {50}{3}=60$(秒).
分析:如果 B,C 绿灯起始时间与 A 相同($t=0,60,120,···$秒亮起),车辆到达 B(30 秒)正好在绿灯末尾(0 - 30 秒),到达 C(60 秒)正好在下一个绿灯开始(60 - 90 秒),因此可以连续通过.
速度提高后,原绿灯起始时间仍适用,无需调整.
【知识点】
单位换算，行程公式，区间判断
【点评】
本题结合交通“绿波带”的实际场景，将数学计算和生活应用融合，既考察了基础的单位换算、行程计算能力，也锻炼了学生结合实际需求设计方案的应用意识。
【难度系数】
0.7
解题时先按题目要求建立坐标系标注路口位置，首先统一单位，将速度单位从千米/时换算为米/秒，再利用“时间=路程÷速度”分别计算车辆到达B、C路口的时间；接下来根据绿灯的亮起规律（每60秒为一个周期，每个周期内前30秒为绿灯），判断到达时间是否落在绿灯时间段内；若不匹配，调整绿灯起始时间，使得到达时间落在调整后的绿灯区间内即可；最后更换行驶速度后重复上述计算和判断步骤，分析是否需要调整绿灯时间。
【解析】
1. 以路口A为原点，道路方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，相邻路口间距500米，因此B点坐标为$\boldsymbol{(500,0)}$，C点坐标为$\boldsymbol{(1000,0)}$，标注如图。
2. 先换算速度单位：$50\mathrm{千米/时}=\frac{50×1000}{3600}\mathrm{米/秒}=\frac{125}{9}\mathrm{米/秒}$。
根据行程公式$t=\frac{s}{v}$，
到达B的时间：$t_B=500÷\frac{125}{9}=36$（秒）；
到达C的时间：$t_C=1000÷\frac{125}{9}=72$（秒）。
3. 已知B、C绿灯起始时间与A相同，绿灯时间段为$[60k,60k+30]$（$k$为非负整数）：
车辆36秒到达B，不在B的绿灯区间$[0,30]$、$[60,90]$内，需等待到60秒才能通行；
若B处等待到60秒再通行，到达C的时间为$60+36=96$秒，不在C的绿灯区间$[60,90]$、$[120,150]$内，因此两个路口都无法匹配绿灯时间。
4. 要让车辆连续通过绿灯，需使到达B、C的时间落在对应路口的绿灯区间内：
设B路口绿灯延后$t_0$秒亮起，绿灯区间为$[t_0+60k,t_0+60k+30]$，要求$36\in[t_0,t_0+30]$，解得$6≤ t_0≤36$，可取$t_0=10$，即B绿灯比A延后10秒亮起，此时36秒在$[10,40]$的绿灯区间内；
同理C路口到达时间为72秒，要求$72\in[t_0+60,t_0+90]$，解得$-18≤ t_0≤12$，取$t_0=10$也满足要求，此时72秒在$[70,100]$的绿灯区间内，因此可将B、C绿灯均比A延后10秒（答案不唯一，合理即可）。
5. 先换算速度单位：$60\mathrm{千米/时}=\frac{60×1000}{3600}\mathrm{米/秒}=\frac{50}{3}\mathrm{米/秒}$。
到达B的时间：$t_B=500÷\frac{50}{3}=30$（秒）；
到达C的时间：$t_C=1000÷\frac{50}{3}=60$（秒）。
此时30秒刚好在B的绿灯区间$[0,30]$的末尾，60秒刚好在C的绿灯区间$[60,90]$的起始，车辆可连续通过，无需调整绿灯起始时间。
【答案】
1. 如图.
2. 50 千米/时$=\frac {50×1000}{3600}$米/秒$=\frac {125}{9}$米/秒.
到达 B 时间:$t_{B}=500÷\frac {125}{9}=36$(秒).
到达 C 时间:$t_{C}=1000÷\frac {125}{9}=72$(秒).
3. 由题意知 B,C 绿灯起始时间与 A 相同(即绿灯在$t=0,60,120,···$秒亮起,持续 30 秒).
车辆在 36 秒时到达 B,
∵ B 的绿灯时间段为 0 - 30 秒和 60 - 90 秒,36 秒不在绿灯时间段内.同理,车辆在 B 处等到 60 秒通行,在 96 秒时到达 C,
∵ C 的绿灯时间段为 60 - 90 秒和 120 - 150 秒,96 秒不在绿灯时间段内.
4. 答案不唯一,如:让 B 的绿灯比 A 延后 10 秒亮起(即 B 绿灯在$t=10,70,130,···$秒亮起),这样车辆到达 B 时(36 秒)正好在 B 的绿灯时间段(10 - 40 秒)内.
让 C 的绿灯比 A 延后 10 秒亮起(即 C 绿灯在$t=10,70,130,···$秒亮起),这样车辆到达 C 时(72 秒)正好在 C 的绿灯时间段(70 - 100 秒)内.
5. 60 千米/时$=\frac {60×1000}{3600}$米/秒$=\frac {50}{3}$米/秒.
到达 B 时间:$t_{B}=500÷\frac {50}{3}=30$(秒).
到达 C 时间:$t_{C}=1000÷\frac {50}{3}=60$(秒).
分析:如果 B,C 绿灯起始时间与 A 相同($t=0,60,120,···$秒亮起),车辆到达 B(30 秒)正好在绿灯末尾(0 - 30 秒),到达 C(60 秒)正好在下一个绿灯开始(60 - 90 秒),因此可以连续通过.
速度提高后,原绿灯起始时间仍适用,无需调整.
【知识点】
单位换算，行程公式，区间判断
【点评】
本题结合交通“绿波带”的实际场景，将数学计算和生活应用融合，既考察了基础的单位换算、行程计算能力，也锻炼了学生结合实际需求设计方案的应用意识。
【难度系数】
0.7