10. 「2025 北京昌平二模」在平面直角坐标系$ xOy $中，反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0) $的图象经过点$ (1,2) $，$ (x_{1},y_{1}) $，$ (x_{2},y_{2}) $. 若$ x_{1} ＜ x_{2} ＜ 0 $，则$ y_{1} \_\_\_\_\_\_ y_{2} $(填“＞”“=”或“＜”).
答案：10. 答案 ＞
解析 将点 $ (1,2) $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $，得 $ k = 2 ＞ 0 $，$ \therefore $ 在每一象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小. $ \because $ 点 $ (x_1,y_1) $ 和点 $ (x_2,y_2) $ 在反比例函数的图象上，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $，$ \therefore y_1 ＞ y_2 $.
解析 将点 $ (1,2) $ 代入 $ y = \frac{k}{x} $，得 $ k = 2 ＞ 0 $，$ \therefore $ 在每一象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小. $ \because $ 点 $ (x_1,y_1) $ 和点 $ (x_2,y_2) $ 在反比例函数的图象上，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $，$ \therefore y_1 ＞ y_2 $.
11. 跨 物理 密度「2025 湖北咸宁咸安模拟」数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度. 密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度$ h $(单位：cm)是液体的密度$ \rho $(单位：$ \mathrm{g/cm}^{3} $)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1$ \mathrm{g/cm}^{3} $的水中时，$ h = 20 $，当密度计悬浮在另一种液体中时，$ h = 25 $，则该液体的密度$ \rho $为
0.8
$ \mathrm{g/cm}^{3} $.答案：11. 答案 0.8
解析 设 $ h $ 关于 $ \rho $ 的函数解析式为 $ h = \frac{k}{\rho} $（$ k ≠ 0 $），把 $ \rho = 1 $，$ h = 20 $ 代入解析式，得 $ k = 1 × 20 = 20 $，$ \therefore h $ 关于 $ \rho $ 的函数解析式为 $ h = \frac{20}{\rho} $，把 $ h = 25 $ 代入 $ h = \frac{20}{\rho} $，得 $ 25 = \frac{20}{\rho} $，解得 $ \rho = 0.8 $，即该液体的密度 $ \rho $ 为 $ 0.8 \, \mathrm{g/cm}^3 $.
解析 设 $ h $ 关于 $ \rho $ 的函数解析式为 $ h = \frac{k}{\rho} $（$ k ≠ 0 $），把 $ \rho = 1 $，$ h = 20 $ 代入解析式，得 $ k = 1 × 20 = 20 $，$ \therefore h $ 关于 $ \rho $ 的函数解析式为 $ h = \frac{20}{\rho} $，把 $ h = 25 $ 代入 $ h = \frac{20}{\rho} $，得 $ 25 = \frac{20}{\rho} $，解得 $ \rho = 0.8 $，即该液体的密度 $ \rho $ 为 $ 0.8 \, \mathrm{g/cm}^3 $.
12. 「2025 湖南郴州期末」如图，点$ B $是反比例函数$ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $的图象上一点，矩形$ OABC $的周长是16，正方形$ BCGH $和正方形$ OCDF $的面积之和为56，则该反比例函数的解析式是
$ y = \frac{4}{x} $（$ x ＞ 0 $）
.答案：12. 答案 $ y = \frac{4}{x} $（$ x ＞ 0 $）
解析 设点 $ B $ 的坐标为 $ (a,b) $，$ \because $ 点 $ B $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ x ＞ 0 $）的图象上一点，且在第一象限，四边形 $ OABC $ 为矩形，$ \therefore a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ BC = OA = a $，$ OC = AB = b $. $ \because $ 矩形 $ OABC $ 的周长是 $ 16 $，$ \therefore 2(a + b) = 16 $，即 $ a + b = 8 $. $ \because $ 正方形 $ BCGH $ 和正方形 $ OCDF $ 的面积之和为 $ 56 $，$ \therefore a^2 + b^2 = 56 $，$ \because a + b = 8 $，$ \therefore (a + b)^2 = 64 $，即 $ a^2 + b^2 + 2ab = 64 $，将 $ a^2 + b^2 = 56 $ 代入，得 $ ab = 4 $，$ \therefore k = ab = 4 $，$ \therefore $ 该反比例函数的解析式为 $ y = \frac{4}{x} $（$ x ＞ 0 $）.
解析 设点 $ B $ 的坐标为 $ (a,b) $，$ \because $ 点 $ B $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ x ＞ 0 $）的图象上一点，且在第一象限，四边形 $ OABC $ 为矩形，$ \therefore a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ BC = OA = a $，$ OC = AB = b $. $ \because $ 矩形 $ OABC $ 的周长是 $ 16 $，$ \therefore 2(a + b) = 16 $，即 $ a + b = 8 $. $ \because $ 正方形 $ BCGH $ 和正方形 $ OCDF $ 的面积之和为 $ 56 $，$ \therefore a^2 + b^2 = 56 $，$ \because a + b = 8 $，$ \therefore (a + b)^2 = 64 $，即 $ a^2 + b^2 + 2ab = 64 $，将 $ a^2 + b^2 = 56 $ 代入，得 $ ab = 4 $，$ \therefore k = ab = 4 $，$ \therefore $ 该反比例函数的解析式为 $ y = \frac{4}{x} $（$ x ＞ 0 $）.
三、解答题（共 40 分）
13. 「2025 河北邢台期末」（10 分）已知反比例函数$ y = \frac{2k + 1}{x} $.
（1）若该函数图象在第二、四象限，求$ k $的取值范围.
（2）当$ k $取什么值时，函数图象在每个象限内$ y $随$ x $的增大而减小？
13. 「2025 河北邢台期末」（10 分）已知反比例函数$ y = \frac{2k + 1}{x} $.
（1）若该函数图象在第二、四象限，求$ k $的取值范围.
（2）当$ k $取什么值时，函数图象在每个象限内$ y $随$ x $的增大而减小？
答案：13. 解析 （1）$ \because $ 反比例函数的图象在第二、四象限，$ \therefore 2k + 1 ＜ 0 $，解得 $ k ＜ -\frac{1}{2} $.
（2）$ \because $ 反比例函数的图象在每个象限内 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，$ \therefore 2k + 1 ＞ 0 $，$ \therefore k ＞ -\frac{1}{2} $.
（2）$ \because $ 反比例函数的图象在每个象限内 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，$ \therefore 2k + 1 ＞ 0 $，$ \therefore k ＞ -\frac{1}{2} $.
14. 「2025 江苏泰州兴化一模」（14 分）某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量$ y $（毫克/百毫升）与时间$ x $（小时）的关系可近似用如图所示的图象表示. 国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“饮酒后驾驶”，不能驾车上路.
（1）求图中线段$ OA $所在直线的函数解析式.
（2）当$ x ≥ 3 $时，$ y $与$ x $成反比例关系. 假设某人晚上$ 19:00 $饮用100毫升低度白酒，那么此人第二天早上$ 9:00 $能否驾车出行？请说明理由.
（1）求图中线段$ OA $所在直线的函数解析式.
（2）当$ x ≥ 3 $时，$ y $与$ x $成反比例关系. 假设某人晚上$ 19:00 $饮用100毫升低度白酒，那么此人第二天早上$ 9:00 $能否驾车出行？请说明理由.
答案：14. 解析 （1）设线段 $ OA $ 所在直线的解析式为 $ y = k_1x $（$ k_1 ≠ 0 $），将点 $ ( \frac{1}{3},20 ) $ 代入 $ y = k_1x $，得 $ \frac{1}{3}k_1 = 20 $，$ \therefore k_1 = 60 $，$ \therefore y = 60x $.
（2）此人第二天早上 $ 9:00 $ 能驾车出行. 理由如下：当 $ x = \frac{3}{2} $ 时，$ y = 60 × \frac{3}{2} = 90 $，$ \therefore A ( \frac{3}{2},90 ) $，$ \therefore B(3,90) $，设双曲线的解析式为 $ y = \frac{k_2}{x} $（$ k_2 ≠ 0 $），把 $ (3,90) $ 代入 $ y = \frac{k_2}{x} $，得 $ k_2 = 270 $，$ \therefore y = \frac{270}{x} $（$ x ≥ 3 $），在 $ y = \frac{270}{x} $ 中，当 $ y ＜ 20 $ 时，$ x ＞ 13.5 $，从晚上 $ 19:00 $ 到第二天早上 $ 9:00 $ 的时间间距为 $ 14 $ 小时，$ \because 14 ＞ 13.5 $，$ \therefore $ 此人第二天早上 $ 9:00 $ 能驾车出行.
（2）此人第二天早上 $ 9:00 $ 能驾车出行. 理由如下：当 $ x = \frac{3}{2} $ 时，$ y = 60 × \frac{3}{2} = 90 $，$ \therefore A ( \frac{3}{2},90 ) $，$ \therefore B(3,90) $，设双曲线的解析式为 $ y = \frac{k_2}{x} $（$ k_2 ≠ 0 $），把 $ (3,90) $ 代入 $ y = \frac{k_2}{x} $，得 $ k_2 = 270 $，$ \therefore y = \frac{270}{x} $（$ x ≥ 3 $），在 $ y = \frac{270}{x} $ 中，当 $ y ＜ 20 $ 时，$ x ＞ 13.5 $，从晚上 $ 19:00 $ 到第二天早上 $ 9:00 $ 的时间间距为 $ 14 $ 小时，$ \because 14 ＞ 13.5 $，$ \therefore $ 此人第二天早上 $ 9:00 $ 能驾车出行.
15. 「2024 四川宜宾中考改编」（16 分）如图，一次函数$ y = ax + b(a ≠ 0) $的图象与反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0) $的图象交于点$ A(1,4) $，$ B(n,-1) $，连接$ AO,BO $.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式.
（2）求$ △ AOB $的面积.
（3）已知点$ D $在$ x $轴上，点$ C $在反比例函数图象上. 若以$ A,B,C,D $为顶点的四边形是平行四边形，求点$ C $的坐标.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式.
（2）求$ △ AOB $的面积.
（3）已知点$ D $在$ x $轴上，点$ C $在反比例函数图象上. 若以$ A,B,C,D $为顶点的四边形是平行四边形，求点$ C $的坐标.
答案：15. 解析 （1）将 $ A $，$ B $ 的坐标代入反比例函数表达式得 $ k = 4 × 1 = -n $，解得 $ k = 4 $，$ n = -4 $，$ \therefore $ 反比例函数的表达式为 $ y = \frac{4}{x} $，$ B(-4,-1) $. 将 $ A $，$ B $ 的坐标代入一次函数表达式，得 $ \begin{cases} 4 = a + b \\ -1 = -4a + b \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \end{cases} $，$ \therefore $ 一次函数的表达式为 $ y = x + 3 $.
（2）设一次函数的图象与 $ x $ 轴交于点 $ E $（图略），在 $ y = x + 3 $ 中，令 $ y = 0 $，得 $ x = -3 $，$ \therefore OE = 3 $，$ \therefore S_{△ AOB} = S_{△ AOE} + S_{△ BOE} = \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 3 × 1 = 7.5 $.
（3）设点 $ C $ 的坐标为 $ ( m, \frac{4}{m} ) $，点 $ D $ 的坐标为 $ (x,0) $，当 $ AB $ 为对角线时，由中点坐标公式可得 $ 4 - 1 = \frac{4}{m} $，解得 $ m = \frac{4}{3} $，$ \therefore C ( \frac{4}{3},3 ) $. 当 $ AC $ 或 $ AD $ 为对角线时，同理可得，$ 4 + \frac{4}{m} = -1 $ 或 $ 4 = \frac{4}{m} - 1 $，解得 $ m = -\frac{4}{5} $ 或 $ m = \frac{4}{5} $，$ \therefore C ( -\frac{4}{5},-5 ) $ 或 $ C ( \frac{4}{5},5 ) $. 综上，点 $ C $ 的坐标为 $ ( \frac{4}{3},3 ) $ 或 $ ( -\frac{4}{5},-5 ) $ 或 $ ( \frac{4}{5},5 ) $.
（2）设一次函数的图象与 $ x $ 轴交于点 $ E $（图略），在 $ y = x + 3 $ 中，令 $ y = 0 $，得 $ x = -3 $，$ \therefore OE = 3 $，$ \therefore S_{△ AOB} = S_{△ AOE} + S_{△ BOE} = \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 3 × 1 = 7.5 $.
（3）设点 $ C $ 的坐标为 $ ( m, \frac{4}{m} ) $，点 $ D $ 的坐标为 $ (x,0) $，当 $ AB $ 为对角线时，由中点坐标公式可得 $ 4 - 1 = \frac{4}{m} $，解得 $ m = \frac{4}{3} $，$ \therefore C ( \frac{4}{3},3 ) $. 当 $ AC $ 或 $ AD $ 为对角线时，同理可得，$ 4 + \frac{4}{m} = -1 $ 或 $ 4 = \frac{4}{m} - 1 $，解得 $ m = -\frac{4}{5} $ 或 $ m = \frac{4}{5} $，$ \therefore C ( -\frac{4}{5},-5 ) $ 或 $ C ( \frac{4}{5},5 ) $. 综上，点 $ C $ 的坐标为 $ ( \frac{4}{3},3 ) $ 或 $ ( -\frac{4}{5},-5 ) $ 或 $ ( \frac{4}{5},5 ) $.