10. 已知$y$是$x$的反比例函数，下表给出了$x$，$y$的一些值：
(1) 写出这个反比例函数的解析式。
(2) 根据解析式完成上表。
(1) 写出这个反比例函数的解析式。
(2) 根据解析式完成上表。
答案：
10. 解析 （1）设所求的函数解析式为 $ y = \frac { k } { x } $（$ k ≠ 0 $）.
$ \because x = - 1 $ 时，$ y = 3 $，$ \therefore k = - 1 × 3 = - 3 $，$ \therefore y = - \frac { 3 } { x } $.
（2）填表如下.
10. 解析 （1）设所求的函数解析式为 $ y = \frac { k } { x } $（$ k ≠ 0 $）.
$ \because x = - 1 $ 时，$ y = 3 $，$ \therefore k = - 1 × 3 = - 3 $，$ \therefore y = - \frac { 3 } { x } $.
（2）填表如下.
11. 「2025 河南商丘虞城期中，★☆」下面各数量关系中，成反比例关系的是(
A.汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与平均速度
B.购买钢笔和铅笔的总费用一定，钢笔的总费用与铅笔的总费用
C.圆的周长和它的半径
D.运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数
D
)A.汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与平均速度
B.购买钢笔和铅笔的总费用一定，钢笔的总费用与铅笔的总费用
C.圆的周长和它的半径
D.运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数
答案：11. D A. 汽车行驶的时间一定，汽车行驶的路程与平均速度的比值一定，成正比例；B. 购买钢笔和铅笔的总费用一定，即钢笔的总费用与铅笔的总费用的和一定，故不成反比例；C. 圆的周长和它的半径的比值为 $ 2 π $，比值一定，成正比例；D. 运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数的乘积一定，成反比例. 故选 D.
12. 「2025 辽宁鞍山期末，★☆」某公司计划运输一批货物，每天运输的吨数$a$与运输的天数$t$之间的关系如下表：
下列结论：①这批货物共有$500$吨；②用式子表示$a$与$t$的关系是$at = 500$；③每天运输的吨数与运输的天数是反比例关系；④如果该公司计划$4$天运完货物，则每天需要运输货物$120$吨。其中正确结论的个数是(
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
下列结论：①这批货物共有$500$吨；②用式子表示$a$与$t$的关系是$at = 500$；③每天运输的吨数与运输的天数是反比例关系；④如果该公司计划$4$天运完货物，则每天需要运输货物$120$吨。其中正确结论的个数是(
C
)A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案：12. C 根据题表中数据逐项分析判断如下：由 $ t = 1 $，$ a = 500 $ 可得，这批货物共有 $ 1 × 500 = 500 $（吨），故 ① 正确. 当 $ t = 1 $，$ a = 500 $ 时，$ a t = 500 $；当 $ t = 2 $，$ a = 250 $ 时，$ a t = 500 $；$ ··· $，以此类推，得 $ a t = 500 $，故 ② 正确. $ \because a t = 500 $，$ \therefore a = \frac { 500 } { t } $，故 ③ 正确. 当 $ t = 4 $ 时，$ \frac { 500 } { t } = \frac { 500 } { 4 } = 125 $，则每天需要运输货物 125 吨，故 ④ 错误. 综上，正确的有 ①②③，共 3 个. 故选 C.
13. 「2025 湖南张家界桑植期中，★☆」若函数$y=(m + 1)x^{m^{2}-4m - 6}$是$y$关于$x$的反比例函数，则$m=$
5
。答案：13. 答案 5
解析 $ \because $ 函数 $ y = ( m + 1 ) x ^ { m ^ { 2 } - 4 m - 6 } $ 是 $ y $ 关于 $ x $ 的反比例函数，$ \therefore m + 1 ≠ 0 $ 且 $ m ^ { 2 } - 4 m - 6 = - 1 $，解得 $ m = 5 $.
解析 $ \because $ 函数 $ y = ( m + 1 ) x ^ { m ^ { 2 } - 4 m - 6 } $ 是 $ y $ 关于 $ x $ 的反比例函数，$ \therefore m + 1 ≠ 0 $ 且 $ m ^ { 2 } - 4 m - 6 = - 1 $，解得 $ m = 5 $.
14. 「2025 广东东莞石碣一模改编，★☆」某城市着手打造一座国家级量子计算中心，在该中心的基建工程中，一段用于构建超稳定地基的工程施工需要运送的土石方总量为$10^{5}m^{3}$，设土石方平均运送量为$V$(单位：$m^{3}/$天)，完成运送任务所需要的时间为$t$(单位：天)，则$V$与$t$满足
反比例
函数关系，其表达式为$V = \frac { 10 ^ { 5 } } { t }$
。答案：14. 答案 反比例；$ V = \frac { 10 ^ { 5 } } { t } $
解析 由题意，得 $ V t = 10 ^ { 5 } $，$ \therefore V = \frac { 10 ^ { 5 } } { t } $，$ V $ 与 $ t $ 满足反比例函数关系.
解析 由题意，得 $ V t = 10 ^ { 5 } $，$ \therefore V = \frac { 10 ^ { 5 } } { t } $，$ V $ 与 $ t $ 满足反比例函数关系.
15. 「2025 福建泉州永春期中，★☆」已知$y = y_{2}-y_{1}$，其中$y_{1}$与$x$成反比例，$y_{2}$与$x + 2$成正比例，当$x=-1$时，$y=-2$，当$x = 2$时，$y = 10$。
(1) 求$y$与$x$之间的函数解析式。
(2) 当$x = 4$时，求$y$的值。
(1) 求$y$与$x$之间的函数解析式。
(2) 当$x = 4$时，求$y$的值。
答案：15. 解析 （1）根据题意，设 $ y _ { 1 } = \frac { m } { x } $，$ y _ { 2 } = n ( x + 2 ) $，则 $ y = n ( x + 2 ) - \frac { m } { x } $，$ \because $ 当 $ x = - 1 $ 时，$ y = - 2 $，当 $ x = 2 $ 时，$ y = 10 $，
$ \therefore \{ \begin{array} { l } { n + m = - 2 , } \\ { 4 n - \frac { 1 } { 2 } m = 10 , } \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { m = - 4 , } \\ { n = 2 , } \end{array} $
$ \therefore y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为 $ y = 2 x + \frac { 4 } { x } + 4 $.
（2）当 $ x = 4 $ 时，$ y = 2 × 4 + \frac { 4 } { 4 } + 4 = 8 + 1 + 4 = 13 $.
$ \therefore \{ \begin{array} { l } { n + m = - 2 , } \\ { 4 n - \frac { 1 } { 2 } m = 10 , } \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { m = - 4 , } \\ { n = 2 , } \end{array} $
$ \therefore y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为 $ y = 2 x + \frac { 4 } { x } + 4 $.
（2）当 $ x = 4 $ 时，$ y = 2 × 4 + \frac { 4 } { 4 } + 4 = 8 + 1 + 4 = 13 $.
16. 「运算能力」已知$y=(m^{2}+2m)x^{m^{2}+m - 1}$。
(1) 当$m$为何值时，$y$是$x$的正比例函数？
(2) 当$m$为何值时，$y$是$x$的二次函数？
(3) 当$m$为何值时，$y$是$x$的反比例函数？
(1) 当$m$为何值时，$y$是$x$的正比例函数？
(2) 当$m$为何值时，$y$是$x$的二次函数？
(3) 当$m$为何值时，$y$是$x$的反比例函数？
答案：16. 解析 （1）根据题意，得 $ \{ \begin{array} { l } { m ^ { 2 } + 2 m ≠ 0 , } \\ { m ^ { 2 } + m - 1 = 1 , } \end{array} $ 解得 $ m = 1 $，
故当 $ m = 1 $ 时，$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数.
（2）根据题意，得 $ \{ \begin{array} { l } { m ^ { 2 } + 2 m ≠ 0 , } \\ { m ^ { 2 } + m - 1 = 2 , } \end{array} $
解得 $ m = \frac { - 1 \pm \sqrt { 13 } } { 2 } $，
故当 $ m = \frac { - 1 \pm \sqrt { 13 } } { 2 } $ 时，$ y $ 是 $ x $ 的二次函数.
（3）根据题意，得 $ \{ \begin{array} { l } { m ^ { 2 } + 2 m ≠ 0 , } \\ { m ^ { 2 } + m - 1 = - 1 , } \end{array} $ 解得 $ m = - 1 $，
故当 $ m = - 1 $ 时，$ y $ 是 $ x $ 的反比例函数.
故当 $ m = 1 $ 时，$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数.
（2）根据题意，得 $ \{ \begin{array} { l } { m ^ { 2 } + 2 m ≠ 0 , } \\ { m ^ { 2 } + m - 1 = 2 , } \end{array} $
解得 $ m = \frac { - 1 \pm \sqrt { 13 } } { 2 } $，
故当 $ m = \frac { - 1 \pm \sqrt { 13 } } { 2 } $ 时，$ y $ 是 $ x $ 的二次函数.
（3）根据题意，得 $ \{ \begin{array} { l } { m ^ { 2 } + 2 m ≠ 0 , } \\ { m ^ { 2 } + m - 1 = - 1 , } \end{array} $ 解得 $ m = - 1 $，
故当 $ m = - 1 $ 时，$ y $ 是 $ x $ 的反比例函数.