8. 「2025广东揭阳普宁一模，★☆」如图所示的是一架梯子的示意图，其中$AA_1 // BB_1 // CC_1 // DD_1$，且$AB = BC = CD$。为使其更稳固，在$A$，$D_1$间加绑一条安全绳(线段$AD_1$)，量得$AE = 0.5\ m$，则$AD_1$的长为(
A.$0.8\ m$
B.$1\ m$
C.$1.5\ m$
D.$2\ m$
C
)A.$0.8\ m$
B.$1\ m$
C.$1.5\ m$
D.$2\ m$
答案：8.C
∵$AA_1// BB_1// CC_1// DD_1$,且AB = BC = CD,
∴$\frac{AE}{AD_1}=\frac{AB}{AD}=\frac{1}{3}$,
∴$AD_1 = 3AE = 3×0.5 = 1.5$(m).故选C.
∵$AA_1// BB_1// CC_1// DD_1$,且AB = BC = CD,
∴$\frac{AE}{AD_1}=\frac{AB}{AD}=\frac{1}{3}$,
∴$AD_1 = 3AE = 3×0.5 = 1.5$(m).故选C.
9. 「2025黑龙江哈尔滨一模，★☆」如图，若$l_1 // l_2 // l_3$，则下列各式错误的是(
A.$\frac{BC}{AC} = \frac{EF}{DF}$
B.$\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}$
C.$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$
D.$\frac{AB}{BC} = \frac{BE}{CF}$
D
)A.$\frac{BC}{AC} = \frac{EF}{DF}$
B.$\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}$
C.$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$
D.$\frac{AB}{BC} = \frac{BE}{CF}$
答案：9.D
∵$l_1// l_2// l_3$,
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$,$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$,$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$,故选项A,B,C中的式子正确,选项D中的式子错误.故选D.
∵$l_1// l_2// l_3$,
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$,$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$,$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$,故选项A,B,C中的式子正确,选项D中的式子错误.故选D.
10. 新 尺规作图 「2024四川成都中考，★☆」如图，在$□ ABCD$中，按以下步骤作图：①以点$B$为圆心，以适当长为半径作弧，分别交$BA$，$BC$于点$M$，$N$；②分别以$M$，$N$为圆心，以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在$∠ ABC$内交于点$O$；③作射线$BO$，交$AD$于点$E$，交$CD$的延长线于点$F$。若$CD = 3$，$DE = 2$，下列结论
A.$∠ ABE = ∠ CBE$
B.$BC = 5$
C.$DE = DF$
D.$\frac{BE}{EF} = \frac{5}{3}$
错
误
的是(D
)A.$∠ ABE = ∠ CBE$
B.$BC = 5$
C.$DE = DF$
D.$\frac{BE}{EF} = \frac{5}{3}$
答案：10.D A项,由作法得BO平分∠ABC,
∴∠ABE = ∠CBE,结论正确,不符合题意;B项,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB = CD = 3,BC = AD,AB//CD,AD//BC,
∴∠CBE = ∠AEB,
∴∠ABE = ∠AEB,
∴AE = AB = 3,
∴AD = AE + DE = 3 + 2 = 5,
∴BC = 5,结论正确,不符合题意;C项,
∵AB//CD,
∴∠F = ∠ABE,
∵∠ABE = ∠AEB = ∠DEF,
∴∠DEF = ∠F,
∴DE = DF = 2,结论正确,不符合题意;D项,
∵DE//BC,
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{CD}{DF}=\frac{3}{2}$,结论错误,符合题意.故选D.
∴∠ABE = ∠CBE,结论正确,不符合题意;B项,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB = CD = 3,BC = AD,AB//CD,AD//BC,
∴∠CBE = ∠AEB,
∴∠ABE = ∠AEB,
∴AE = AB = 3,
∴AD = AE + DE = 3 + 2 = 5,
∴BC = 5,结论正确,不符合题意;C项,
∵AB//CD,
∴∠F = ∠ABE,
∵∠ABE = ∠AEB = ∠DEF,
∴∠DEF = ∠F,
∴DE = DF = 2,结论正确,不符合题意;D项,
∵DE//BC,
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{CD}{DF}=\frac{3}{2}$,结论错误,符合题意.故选D.
11. 「2025天津和平期末，★☆」如图，$A$，$B$均在方格纸的格点上，在方格纸内另取格点$C$，$D$，连接$CD$，交线段$AB$于点$P$。若要使点$P$把线段$AB$分成$1:2$的两部分，则(
A.只有方法1对
B.只有方法2对
C.方法1，2都对
D.方法1，2都错
C
)A.只有方法1对
B.只有方法2对
C.方法1，2都对
D.方法1，2都错
答案：11.C 对于方法1:∵AC//BD,∴△ACP∽△BDP,∴$\frac{AP}{BP}$=$\frac{AC}{BD}$=$\frac{1}{2}$,∴点P把线段AB分成1:2的两部分;对于方法2:连接BC,AD(图略),易知BC//AD,
AD=2BC,∴△BCP∽△ADP,∴$\frac{BP}{AP}$−=−$\frac{BC}{AD}$=$\frac{1}{2}$,∴点P 把线段AB分成1:2的两部分.
∴方法1,2都对.故选C.
AD=2BC,∴△BCP∽△ADP,∴$\frac{BP}{AP}$−=−$\frac{BC}{AD}$=$\frac{1}{2}$,∴点P 把线段AB分成1:2的两部分.
∴方法1,2都对.故选C.
12. 「2025江苏徐州泉山期末，★☆」如图，在$△ ABC$中，$D$为$BC$上一点，$E$为$AC$上一点，$AD$，$BE$交于点$G$，且$AG:GD = 4:1$，$BD:DC = 2:3$，则$AE:EC =$(
A.$3:2$
B.$4:3$
C.$6:5$
D.$8:5$
D
)A.$3:2$
B.$4:3$
C.$6:5$
D.$8:5$
答案：
12.D 如图,过D作DF//AC交BE于F,易得△BDF∽△BCE,
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}$.
∵BD:DC = 2:3,
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{2}{5}$,
∴$CE=\frac{5}{2}DF$.
∵DF//AC,
∴△DFG∽△AEG,
∴$\frac{DF}{AE}=\frac{DG}{AG}=\frac{1}{4}$.
∴AE = 4DF,
∴AE:EC = 4DF:$\frac{5}{2}DF$= 8:5.故选D.
12.D 如图,过D作DF//AC交BE于F,易得△BDF∽△BCE,
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{BD}{BC}$.
∵BD:DC = 2:3,
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{2}{5}$,
∴$CE=\frac{5}{2}DF$.
∵DF//AC,
∴△DFG∽△AEG,
∴$\frac{DF}{AE}=\frac{DG}{AG}=\frac{1}{4}$.
∴AE = 4DF,
∴AE:EC = 4DF:$\frac{5}{2}DF$= 8:5.故选D.
13. 「2025上海松江期末，★☆」如图，$D$是$△ ABC$的边$BC$上一点，$E$是$AD$的中点，$EM // AB$，$EN // AC$。如果$BC = 6$，那么$MN$的长度为
3
。答案：13.答案 3
解析
∵E是AD的中点,
∴$DE=\frac{1}{2}DA$,
∵EM//AB,
∴$\frac{DM}{DB}=\frac{DE}{DA}=\frac{1}{2}$,即$DM=\frac{1}{2}DB$,同理可得$DN=\frac{1}{2}DC$,
∵BC = 6,
∴$MN=DM + DN=\frac{1}{2}DB+\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}BC = 3$.
解析
∵E是AD的中点,
∴$DE=\frac{1}{2}DA$,
∵EM//AB,
∴$\frac{DM}{DB}=\frac{DE}{DA}=\frac{1}{2}$,即$DM=\frac{1}{2}DB$,同理可得$DN=\frac{1}{2}DC$,
∵BC = 6,
∴$MN=DM + DN=\frac{1}{2}DB+\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}BC = 3$.
14. 「2025上海杨浦模拟，★☆」如图，若$AE // BF$，$D$为$EF$的中点，$DF = 3GD$，则$\frac{AG}{BG} =$
$\frac{1}{2}$
。答案：14.答案 $\frac{1}{2}$
解析
∵D为EF的中点,
∴DE = DF,
∵DF = 3GD,
∴DE = 3GD,
∴EG = 2GD,
∴$\frac{EG}{GF}=\frac{1}{2}$,
∵AE//BF,
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{EG}{GF}=\frac{1}{2}$.
解析
∵D为EF的中点,
∴DE = DF,
∵DF = 3GD,
∴DE = 3GD,
∴EG = 2GD,
∴$\frac{EG}{GF}=\frac{1}{2}$,
∵AE//BF,
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{EG}{GF}=\frac{1}{2}$.
15. 新 推理能力 「2025四川眉山仁寿期末」如图，$F$在$BD$上，$BC$，$AD$相交于点$E$，且$AB // CD // EF$，若$AB = 2$，$CD = 3$，则$EF =$
$\frac{6}{5}$
。答案：15.答案 $\frac{6}{5}$
解析
∵AB//CD//EF,
∴△BFE∽△BDC,△AEB∽△DEC,
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{EF}{CD}$,$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}$,
∵AB = 2,CD = 3,
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{EF}{CD}=\frac{2}{5}$,
∴$EF=\frac{6}{5}$.
解析
∵AB//CD//EF,
∴△BFE∽△BDC,△AEB∽△DEC,
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{EF}{CD}$,$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}$,
∵AB = 2,CD = 3,
∴$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{EF}{CD}=\frac{2}{5}$,
∴$EF=\frac{6}{5}$.