1. 「2025重庆江北月考」若△ABC的三边长分别是3,5,6,则与△ABC相似的△DEF的三边长可能是(
A.DE=6,DF=8,EF=10
B.DE=9,EF=18,DF=25
C.DE=1,EF=2,DF=2.5
D.DE=6,DF=10,EF=12
D
)A.DE=6,DF=8,EF=10
B.DE=9,EF=18,DF=25
C.DE=1,EF=2,DF=2.5
D.DE=6,DF=10,EF=12
答案：1.D
∵$\frac{3}{6}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}$,
∴△DEF与△ABC相似,D选项符合题意，故选D.
∵$\frac{3}{6}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}$,
∴△DEF与△ABC相似,D选项符合题意，故选D.
2. 「2025浙江丽水期末」如图,四个三角形的顶点都在正方形网格的格点上,下列各组三角形中相似的是(
A.①④
B.①③
C.②③
D.②④
B
)A.①④
B.①③
C.②③
D.②④
答案：2.B 设每个小正方形的边长为1,易知三角形①的三边长分别为$\sqrt{10},\sqrt{5},5$;
三角形②的三边长分别为$\sqrt{5},2\sqrt{2},\sqrt{17}$;
三角形③的三边长分别为$2,\sqrt{2},\sqrt{10}$;
三角形④的三边长分别为$3,\sqrt{2},\sqrt{5}$
∵$\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{10}}$,
∴边成比例的是三角形①和③,
∴①③两个三角形相似.故选B.
三角形②的三边长分别为$\sqrt{5},2\sqrt{2},\sqrt{17}$;
三角形③的三边长分别为$2,\sqrt{2},\sqrt{10}$;
三角形④的三边长分别为$3,\sqrt{2},\sqrt{5}$
∵$\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{10}}$,
∴边成比例的是三角形①和③,
∴①③两个三角形相似.故选B.
3. 如图,已知$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE},∠BAD=20°,∠DAE=60°,$则∠DAC的度数为
40°
.答案：3.答案 40°
解析
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE=60°,
∵∠BAD=20°,
∴∠DAC=60° - 20°=40°.
解析
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE=60°,
∵∠BAD=20°,
∴∠DAC=60° - 20°=40°.
4. 「2025安徽淮南期末」如图,∠ABE=90°,且AB=BC=CD=DE=1,请认真研究图形与所给条件,然后找出一对相似的三角形,并证明你的猜想.
答案：4.解析 △ACD∽△ECA.证明如下:
由勾股定理得$AC=\sqrt{2},AD=\sqrt{5},AE=\sqrt{10}$,
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{DC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AD}{EA}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{DC}{AC}=\frac{AD}{EA}$,
∴△ACD∽△ECA.
由勾股定理得$AC=\sqrt{2},AD=\sqrt{5},AE=\sqrt{10}$,
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{DC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AD}{EA}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{DC}{AC}=\frac{AD}{EA}$,
∴△ACD∽△ECA.
5. 「2025北京昌平期中」如图,线段AD,BC交于点O,由下列条件不能得出△AOB∽△DOC的是(
$A. \frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD}$
$A. \frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD}$
$C. \frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$
D. AB//CD
C
)$A. \frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD}$
$A. \frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD}$
$C. \frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$
D. AB//CD
答案：5.C A.
∵$\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD}$,∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△DOC;B.
∵$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$,
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$,又
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△DOC;D.
∵AB//CD,
∴△AOB∽△DOC;C.由$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$不能判定△AOB∽△DOC,符合题意.故选C.
∵$\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD}$,∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△DOC;B.
∵$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$,
∴$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$,又
∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB∽△DOC;D.
∵AB//CD,
∴△AOB∽△DOC;C.由$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$不能判定△AOB∽△DOC,符合题意.故选C.
6. 「2025广东广州海珠二模」如图,AB·AE=AD·AC,且∠1=∠2.求证:△ABC∽△ADE.
答案：6.证明
∵$AB· AE = AD· AC$,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAE = ∠2+∠BAE,
即∠DAE = ∠BAC,
∴△ABC∽△ADE.
∵$AB· AE = AD· AC$,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAE = ∠2+∠BAE,
即∠DAE = ∠BAC,
∴△ABC∽△ADE.
7. 「2025陕西西安模拟」如图,在△ABC中,D在AB边上,连接CD,AC=4,AD=2,BD=6.求证:△ACD∽△ABC.
答案：7.证明
∵AD = 2,BD = 6,
∴AB = AD + BD = 2 + 6 = 8,
∵$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,
又
∵∠A = ∠A,
∴△ACD∽△ABC.
∵AD = 2,BD = 6,
∴AB = AD + BD = 2 + 6 = 8,
∵$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,
又
∵∠A = ∠A,
∴△ACD∽△ABC.