1. 「2025 上海浦东新区期中」下列命题中，是假命题的是(
A.各有一个角是 $45°$ 的两个等腰三角形是相似三角形
B.各有一个角是 $60°$ 的两个等腰三角形是相似三角形
C.各有一个角是 $105°$ 的两个等腰三角形是相似三角形
D.两个等腰直角三角形是相似三角形
A
)A.各有一个角是 $45°$ 的两个等腰三角形是相似三角形
B.各有一个角是 $60°$ 的两个等腰三角形是相似三角形
C.各有一个角是 $105°$ 的两个等腰三角形是相似三角形
D.两个等腰直角三角形是相似三角形
答案：1. A A.三个角分别为 $45°,45°,90°$ 的三角形与三个角分别为 $45°,67.5°,67.5°$ 的三角形不相似,故A符合题意;B.各有一个角是 $60°$ 的两个等腰三角形都是等边三角形，它们是相似三角形，故B不符合题意;C.各有一个角是 $105°$ 的两个等腰三角形是相似三角形，故C 不符合题意;D.两个等腰直角三角形是相似三角形，故D不符合题意.故选A.
2. 如图，四边形 $ABDC$ 内接于 $\odot O$，对角线 $BC$，$AD$ 交于点 $E$，延长 $BA$，$DC$ 交于点 $P$. 下列说法错误的是(
A.$△ CED ∽ △ AEB$
B.$△ AEC ∽ △ BED$
C.$△ DCA ∽ △ BAC$
D.$△ PCA ∽ △ PBD$
C
)A.$△ CED ∽ △ AEB$
B.$△ AEC ∽ △ BED$
C.$△ DCA ∽ △ BAC$
D.$△ PCA ∽ △ PBD$
答案：2. C A选项, $∵∠ECD = ∠EAB,∠CED = ∠AEB$, $∴△CED∽△AEB$,A不符合题意;B选项， $∵∠ACE = ∠EDB,∠CEA = ∠DEB$, $∴△AEC∽△BED$,B不符合题意;C选项,不能证明 $△DCA∽△BAC$,C符合题意;D选项， $∵∠PCA$ 与 $∠DCA$ 互补,且 $∠PBD$ 也与 $∠DCA$ 互补, $∴∠PCA = ∠PBD$,又 $∠P = ∠P$, $∴△PCA ∽△PBD$,D不符合题意.故选C.
3. 「2025 湖南常德期末」如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 边上，点 $E$ 在 $AC$ 边上，且 $∠ DEC = ∠ ADB$. 求证：$△ AED ∽ △ ADC$.
答案：3. 证明 $∵∠DEC + ∠AED = 180°,∠ADB + ∠ADC = 180°$,且 $∠DEC = ∠ADB$, $∴∠AED = ∠ADC$,又 $∵∠DAE = ∠CAD$, $∴△AED∽△ADC$.
4. 「2025 广西梧州苍梧期末」如图，锐角 $△ ABC$ 中，$BE$，$CD$ 是高，它们相交于 $O$，则图中与 $△ BOD$ 相似的三角形有(
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
B
)A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案：4. B ① $∵∠BDO = ∠BEA = 90°,∠DBO = ∠EBA$, $∴△BOD∽△BAE$;② $∵∠BDO = ∠CEO = 90°,∠DOB = ∠EOC$, $∴△BOD ∽△COE$;③ $∵△BOD∽△COE$, $∴∠DBO = ∠ECO$, $∵∠BDO = ∠CDA = 90°$, $∴△BOD∽△CAD$. $∴$ 与 $△BOD$ 相似的三角形有3个.故选B.
5. 「2025 安徽亳州月考」如图，已知 $∠ ABC = ∠ ACD = 90°$，补充下列条件仍不能判定 $△ ABC$ 与 $△ ACD$ 相似的是(
A.$AC$ 平分 $∠ BAD$
B.$AB ⊥ AD$
C.$\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{BC}$
D.$AC^{2} = BC · AD$
C
)A.$AC$ 平分 $∠ BAD$
B.$AB ⊥ AD$
C.$\frac{AD}{AB} = \frac{AC}{BC}$
D.$AC^{2} = BC · AD$
答案：5. C A. $∵AC$ 平分 $∠BAD$, $∴∠BAC = ∠CAD$.又 $∵∠ABC = ∠ACD = 90°$, $∴△ABC∽△ACD$,不符合题意.B. $∵AB⊥AD$, $∴∠BAD = 90°$,又 $∠ABC = 90°$, $∴BC//AD$, $∴∠CAD = ∠BCA$. $∵∠ABC = ∠ACD = 90°$, $∴△ABC∽△DCA$,不符合题意.C.由 $ \frac{AD}{AB} = \frac{AC}{BC} $,结合已知条件,不能判定 $△ABC$ 与 $△ACD$ 相似,符合题意.D.由 $AC^{2} = BC· AD$ 可得 $ \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{AC} $, $∴△ABC∽△DCA$,不符合题意.故选C.
6. 「2025 浙江杭州拱墅期末，★☆」如图，在 $6 × 6$ 的方格中，点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 均在格点上，若 $△ ABC$ 与 $△ DEP_{i}(i = 1, 2, 3, 4)$ 相似，则符合条件的是(
A.点 $P_{1}$
B.点 $P_{2}$
C.点 $P_{3}$
D.点 $P_{4}$
C
)A.点 $P_{1}$
B.点 $P_{2}$
C.点 $P_{3}$
D.点 $P_{4}$
答案：
6. C 设每个小正方形的边长为1,易得 $△ABC$ 是直角三角形, $BC = 2AC$,如图,连接 $DP_{3},EP_{3}$,易得 $△DP_{3}E$ 是直角三角形,且 $EP_{3} = 2DP_{3}$, $∴△ABC∽△DEP_{3}$.故选C.
6. C 设每个小正方形的边长为1,易得 $△ABC$ 是直角三角形, $BC = 2AC$,如图,连接 $DP_{3},EP_{3}$,易得 $△DP_{3}E$ 是直角三角形,且 $EP_{3} = 2DP_{3}$, $∴△ABC∽△DEP_{3}$.故选C.
7. 「2025 四川遂宁中考，★☆」在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$AB = 13$，$BC = 5$，结合尺规作图痕迹提供的信息，可得线段 $AQ$ 的长为(
A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.6
D.$\frac{120}{13}$
A
)A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.6
D.$\frac{120}{13}$
答案：
7. A $∵$ 在 $Rt△ABC$ 中, $∠C = 90°,AB = 13,BC = 5$, $∴AC = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$,由作图痕迹可知 $BG$ 平分 $∠ABC$, $∴∠CBG = ∠ABG$,如图,设 $BG,AC$ 交于点 $M$,过点 $M$ 作 $MN⊥AB$ 于点 $N$,则 $CM = MN$,设 $CM = MN = x$, $∵S_{△ABC} = S_{△MBC} + S_{△ABM}$, $∴\frac{1}{2}BC· AC = \frac{1}{2}BC· CM + \frac{1}{2}AB· MN$,则 $5×12 = 5x + 13x$,解得 $x = \frac{10}{3}$,即 $CM = \frac{10}{3}$,则 $BM = \sqrt{5^{2} + (\frac{10}{3})^{2}} = \frac{5}{3}\sqrt{13}$,由作图痕迹可知 $AQ⊥BH$, $∴∠AQB = ∠C = 90°$, $∵∠CBG = ∠ABG$, $∴△ABQ ∽△MBC$, $∴\frac{AQ}{CM} = \frac{AB}{BM}$,即 $ \frac{AQ}{\frac{10}{3}} = \frac{13}{\frac{5}{3}\sqrt{13}} $,解得 $AQ = 2\sqrt{13}$.故选A.
方法解读 如图, $△ABC$ 中 $∠BAC$ 的平分线 $AE$ 交 $BC$ 于点 $E$,则有 $ \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CE} $，可用等面积法或相似证明，选择、填空题可当作技巧使用.
7. A $∵$ 在 $Rt△ABC$ 中, $∠C = 90°,AB = 13,BC = 5$, $∴AC = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$,由作图痕迹可知 $BG$ 平分 $∠ABC$, $∴∠CBG = ∠ABG$,如图,设 $BG,AC$ 交于点 $M$,过点 $M$ 作 $MN⊥AB$ 于点 $N$,则 $CM = MN$,设 $CM = MN = x$, $∵S_{△ABC} = S_{△MBC} + S_{△ABM}$, $∴\frac{1}{2}BC· AC = \frac{1}{2}BC· CM + \frac{1}{2}AB· MN$,则 $5×12 = 5x + 13x$,解得 $x = \frac{10}{3}$,即 $CM = \frac{10}{3}$,则 $BM = \sqrt{5^{2} + (\frac{10}{3})^{2}} = \frac{5}{3}\sqrt{13}$,由作图痕迹可知 $AQ⊥BH$, $∴∠AQB = ∠C = 90°$, $∵∠CBG = ∠ABG$, $∴△ABQ ∽△MBC$, $∴\frac{AQ}{CM} = \frac{AB}{BM}$,即 $ \frac{AQ}{\frac{10}{3}} = \frac{13}{\frac{5}{3}\sqrt{13}} $,解得 $AQ = 2\sqrt{13}$.故选A.
方法解读 如图, $△ABC$ 中 $∠BAC$ 的平分线 $AE$ 交 $BC$ 于点 $E$,则有 $ \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CE} $，可用等面积法或相似证明，选择、填空题可当作技巧使用.