1. 「2025 浙江杭州萧山月考」函数 $ y = -\dfrac{3}{x} $ 的图象大致是()
答案：解：
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，当$k＜0$时，图象为位于第二、四象限的双曲线。
在函数$y=-\dfrac{3}{x}$中，$k=-3＜0$，
因此该函数的图象位于第二、四象限，对应选项A。
故选A。
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，当$k＜0$时，图象为位于第二、四象限的双曲线。
在函数$y=-\dfrac{3}{x}$中，$k=-3＜0$，
因此该函数的图象位于第二、四象限，对应选项A。
故选A。
2. 「2025 重庆中考」反比例函数 $ y = -\dfrac{12}{x} $ 的图象一定经过的点是()
A.$ (2,6) $
B.$ (-4,-3) $
C.$ (-3,-4) $
D.$ (6,-2) $
A.$ (2,6) $
B.$ (-4,-3) $
C.$ (-3,-4) $
D.$ (6,-2) $
答案：D
解析：
对于反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$，其图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于$-12$。分别计算各选项中横纵坐标的乘积：
A. $2×6=12≠-12$；
B. $(-4)×(-3)=12≠-12$；
C. $(-3)×(-4)=12≠-12$；
D. $6×(-2)=-12$，符合条件，故该点在函数图象上。
A. $2×6=12≠-12$；
B. $(-4)×(-3)=12≠-12$；
C. $(-3)×(-4)=12≠-12$；
D. $6×(-2)=-12$，符合条件，故该点在函数图象上。
3. 「2025 广东茂名高州模拟」如果反比例函数 $ y = \dfrac{m}{x} $($ m $ 是常数)的图象的一支在第二象限，那么 $ m $ 的值可以是()
A.$-1$
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ \dfrac{1}{2} $
A.$-1$
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ \dfrac{1}{2} $
答案：A
解析：
对于反比例函数 $ y = \dfrac{m}{x} $（$ m ≠ 0 $），当 $ m ＜ 0 $ 时，其图象的两支分别位于第二、四象限。由题意知该函数图象的一支在第二象限，故 $ m ＜ 0 $。选项中只有$-1$满足$m ＜ 0$，因此$m$的值可以是$-1$。
4. 「2025 湖北武汉洪山期中」反比例函数 $ y = -\dfrac{k^2 + 1}{x} $($ k $ 是常数)的图象所在的象限是第象限.
答案：解：
∵k为常数，
∴$k^2 ≥ 0$，
∴$k^2 + 1 ＞ 0$，
∴$-(k^2 + 1) ＜ 0$，
根据反比例函数的性质，当反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）中$m＜0$时，其图象位于第二、四象限，
∴反比例函数$ y = -\dfrac{k^2 + 1}{x} $的图象所在的象限是第二、四象限。
∵k为常数，
∴$k^2 ≥ 0$，
∴$k^2 + 1 ＞ 0$，
∴$-(k^2 + 1) ＜ 0$，
根据反比例函数的性质，当反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）中$m＜0$时，其图象位于第二、四象限，
∴反比例函数$ y = -\dfrac{k^2 + 1}{x} $的图象所在的象限是第二、四象限。
5. 已知反比例函数 $ y = \dfrac{4}{x} $.
(1) 根据函数解析式完成下表：
(2) 根据表格中的对应值，在图中画出函数图象.
]
(1) 根据函数解析式完成下表：
(2) 根据表格中的对应值，在图中画出函数图象.
]答案：
解：
(1) 将$x=-3$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$y=\dfrac{4}{-3}=-\dfrac{4}{3}$；
将$x=-1$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$y=\dfrac{4}{-1}=-4$；
将$x=4$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$y=\dfrac{4}{4}=1$。
故表格空缺处依次为$\boldsymbol{-\dfrac{4}{3}}$，$\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{1}$。
(2) ① 描点：在给定的平面直角坐标系中，分别描出点$(-4,-1)$，$(-3,-\dfrac{4}{3})$，$(-2,-2)$，$(-1,-4)$，$(1,4)$，$(2,2)$，$(3,\dfrac{4}{3})$，$(4,1)$；
② 连线：用平滑的曲线顺次连接第一象限内的所有点，再用平滑的曲线顺次连接第三象限内的所有点，得到反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象。
解：
(1) 将$x=-3$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$y=\dfrac{4}{-3}=-\dfrac{4}{3}$；
将$x=-1$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$y=\dfrac{4}{-1}=-4$；
将$x=4$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$y=\dfrac{4}{4}=1$。
故表格空缺处依次为$\boldsymbol{-\dfrac{4}{3}}$，$\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{1}$。
(2) ① 描点：在给定的平面直角坐标系中，分别描出点$(-4,-1)$，$(-3,-\dfrac{4}{3})$，$(-2,-2)$，$(-1,-4)$，$(1,4)$，$(2,2)$，$(3,\dfrac{4}{3})$，$(4,1)$；
② 连线：用平滑的曲线顺次连接第一象限内的所有点，再用平滑的曲线顺次连接第三象限内的所有点，得到反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象。
6. 「2025 河南郑州中学期中」已知反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $($ k ≠ 0 $)的图象在各自象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则下列各点可能在这个函数图象上的是()
A.$ (-1,1) $
B.$ (-1,-1) $
C.$ (0,-1) $
D.$ (-1,0) $
A.$ (-1,1) $
B.$ (-1,-1) $
C.$ (0,-1) $
D.$ (-1,0) $
答案：A
解析：
1. 根据反比例函数的性质，当图象在各自象限内$y$随$x$的增大而增大时，$k＜0$；
2. 反比例函数图象上的点满足$xy=k$，逐一分析选项：
A选项：$(-1)×1=-1＜0$，符合$k＜0$的要求；
B选项：$(-1)×(-1)=1＞0$，不符合$k＜0$；
C、D选项中$x=0$或$y=0$，反比例函数中$x$、$y$均不能为0，故这两点不在函数图象上。
因此只有A选项的点可能在该函数图象上。
2. 反比例函数图象上的点满足$xy=k$，逐一分析选项：
A选项：$(-1)×1=-1＜0$，符合$k＜0$的要求；
B选项：$(-1)×(-1)=1＞0$，不符合$k＜0$；
C、D选项中$x=0$或$y=0$，反比例函数中$x$、$y$均不能为0，故这两点不在函数图象上。
因此只有A选项的点可能在该函数图象上。
7. 「2025 安徽亳州谯城期末」若反比例函数 $ y = \dfrac{k + 1}{x} $ 的图象在每个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则 $ k $ 的取值可能为()
A.$-3$
B.$-2$
C.$-1$
D.$ 0 $
A.$-3$
B.$-2$
C.$-1$
D.$ 0 $
答案：D
解析：
根据反比例函数的性质，当反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m≠0$）的图象在每个象限内$y$随$x$的增大而减小时，比例系数$m＞0$。对于函数$y=\frac{k+1}{x}$，可得$k+1＞0$，解不等式得$k＞-1$。逐一分析选项：A选项$-3＜-1$，不符合；B选项$-2＜-1$，不符合；C选项$-1=-1$，不符合；D选项$0＞-1$，符合要求。
8. 学科 数形结合思想 「2025 山东中考」如图，在平面直角坐标系中，$ A $，$ C $ 两点在坐标轴上，四边形 $ OABC $ 是面积为 $ 4 $ 的正方形. 若函数 $ y = \dfrac{k}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象经过点 $ B $，则满足 $ y ≥ 2 $ 的 $ x $ 的取值范围为()
A.$ 0 ＜ x ≤ 2 $
B.$ x ≥ 2 $
C.$ 0 ＜ x ≤ 4 $
D.$ x ≥ 4 $
A.$ 0 ＜ x ≤ 2 $
B.$ x ≥ 2 $
C.$ 0 ＜ x ≤ 4 $
D.$ x ≥ 4 $
答案：A
解析：
1. 由四边形OABC是面积为4的正方形，可得其边长为2，故点B坐标为(2,2)。
2. 将B(2,2)代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=2×2=4$，即反比例函数解析式为$y=\dfrac{4}{x}$。
3. 解不等式$\dfrac{4}{x} ≥ 2$（$x＞0$），得$0 ＜ x ≤ 2$。
2. 将B(2,2)代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=2×2=4$，即反比例函数解析式为$y=\dfrac{4}{x}$。
3. 解不等式$\dfrac{4}{x} ≥ 2$（$x＞0$），得$0 ＜ x ≤ 2$。