1. 「2025广东广州增城二模」如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB=200米，则点P到直线AB的距离PC为(
A.100√{3}米
B.300米
C.200米
D.100米
A
)A.100√{3}米
B.300米
C.200米
D.100米
答案：1. A 由题意得 $ PC ⊥ AC $，$ ∠ PAC = 90 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ } $，$ ∠ PBC = 90 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 60 ^ { \circ } $，$ \because ∠ PBC $ 是 $ △ ABP $ 的一个外角，$ \therefore ∠ APB = ∠ PBC - ∠ PAB = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ APB = ∠ PAB = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore AB = PB = 200 $ 米，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ PBC $ 中，$ \sin ∠ PBC = \frac { P C } { P B } $，$ \therefore P C = P B · \sin 60 ^ { \circ } = 200 × \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = 100 \sqrt { 3 } $（米）. 故选 A.
2. 「2025河南商丘虞城二模」如图，在南海一次演习中，驻岛屿A处的侦察兵发现一艘“敌舰”在正东方向的B处，立即通知在岛屿A处的驱逐舰前去拦截，“敌舰”沿北偏西37°方向以30n mile/h的速度航行，C处在A处的正北方向，驱逐舰沿东北方向航行，恰好在BC上的D处截停“敌舰”，则驱逐舰的航行速度是多少？(结果精确到0.1n mile/h.参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，√{2}≈1.41)
答案：
2. 解析 如图，过点 $ D $ 作 $ DH ⊥ AB $ 于点 $ H $，
由题意可知，$ ∠ FBH = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ DAH = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore DH // BF $，$ \therefore ∠ BDH = ∠ FBD = 37 ^ { \circ } $，设驱逐舰航行到 $ D $ 处所用时间为 $ t \mathrm { h } $，$ \therefore BD = 30 t \mathrm { n \ mile} $，在 $ \mathrm { Rt } △ BDH $ 中，$ \cos ∠ BDH = \frac { D H } { B D } $，$ \therefore D H = B D · \cos 37 ^ { \circ } \approx 30 t × 0.8 = 24 t $（$ \mathrm { n \ mile} $），在 $ \mathrm { Rt } △ ADH $ 中，$ \sin ∠ DAH = \frac { D H } { A D } $，$ \therefore A D = \sqrt { 2 } D H = 24 \sqrt { 2 } t \mathrm { n \ mile} $，$ \therefore $ 驱逐舰的航行速度 $ = \frac { 24 \sqrt { 2 } t } { t } \approx 33.8 $（$ \mathrm { n \ mile/h} $）. 答：驱逐舰的航行速度约是 $ 33.8 \mathrm { n \ mile/h} $.
2. 解析 如图，过点 $ D $ 作 $ DH ⊥ AB $ 于点 $ H $，
由题意可知，$ ∠ FBH = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ DAH = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore DH // BF $，$ \therefore ∠ BDH = ∠ FBD = 37 ^ { \circ } $，设驱逐舰航行到 $ D $ 处所用时间为 $ t \mathrm { h } $，$ \therefore BD = 30 t \mathrm { n \ mile} $，在 $ \mathrm { Rt } △ BDH $ 中，$ \cos ∠ BDH = \frac { D H } { B D } $，$ \therefore D H = B D · \cos 37 ^ { \circ } \approx 30 t × 0.8 = 24 t $（$ \mathrm { n \ mile} $），在 $ \mathrm { Rt } △ ADH $ 中，$ \sin ∠ DAH = \frac { D H } { A D } $，$ \therefore A D = \sqrt { 2 } D H = 24 \sqrt { 2 } t \mathrm { n \ mile} $，$ \therefore $ 驱逐舰的航行速度 $ = \frac { 24 \sqrt { 2 } t } { t } \approx 33.8 $（$ \mathrm { n \ mile/h} $）. 答：驱逐舰的航行速度约是 $ 33.8 \mathrm { n \ mile/h} $.
3. 「2023湖北十堰中考」如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D=30°，则CD的长度约为(参考数据：√{2}≈1.414，√{3}≈1.732)(
A.1.59米
B.2.07米
C.3.55米
D.3.66米
D
)A.1.59米
B.2.07米
C.3.55米
D.3.66米
答案：3. D 在 $ \mathrm { Rt } △ A B C $ 中，$ ∠ B A C = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ A C B = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ A B C = ∠ A C B = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore A C = A B = 5 $ 米. 在 $ \mathrm { Rt } △ A B D $ 中，$ ∠ B A D = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ A D B = 30 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ A B D = 60 ^ { \circ } $，$ \therefore \frac { A D } { A B } = \tan ∠ A B D = \tan 60 ^ { \circ } = \sqrt { 3 } $，$ \therefore A D = \sqrt { 3 } A B $，$ \therefore C D = A D - A C = \sqrt { 3 } A B - A C \approx 1.732 × 5 - 5 = 3.66 $（米），$ \therefore C D $ 的长度约为 $ 3.66 $ 米. 故选 D.
4. 「2025河北保定二模」5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活.如图，某移动公司为了提升网络信号，在坡度i=1:2.4(即DB:AB=1:2.4)的山坡AD上加装了信号塔PQ，且PQ垂直于水平线于H，信号塔底端Q到坡底A的距离为13米.当太阳光线与水平线所成的夹角为53°时，信号塔顶端P的影子落在警示牌MN上的点E处，且AM=8米，ME=9米.
(1) ∠PEN=
(2) 求信号塔PQ的高度大约为多少米.(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)
(1) ∠PEN=
37
°.(2) 求信号塔PQ的高度大约为多少米.(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)
答案：
4. 解析 （1）37. （2）如图，过点 $ E $ 作 $ E S ⊥ P H $ 于点 $ S $，易得 $ ∠ PES = 53 ^ { \circ } $. 由 $ i = 1 : 2.4 $，可得 $ Q H : H A = 5 : 12 $，设 $ Q H = 5 x $ 米，则 $ H A = 12 x $ 米，在 $ \mathrm { Rt } △ A Q H $ 中，由勾股定理可得 $ Q H ^ { 2 } + A H ^ { 2 } = A Q ^ { 2 } $，$ \therefore ( 5 x ) ^ { 2 } + ( 12 x ) ^ { 2 } = 13 ^ { 2 } $，$ \therefore x = 1 $（负值已舍），$ \therefore Q H = 5 $ 米，$ H A = 12 $ 米，易得四边形 $ SHME $ 为矩形，$ \therefore E S = H A + A M = 12 + 8 = 20 $（米），$ S H = M E = 9 $ 米，在 $ \mathrm { Rt } △ P E S $ 中，$ \tan ∠ P E S = \frac { P S } { E S } $，$ \therefore P S = 20 \tan 53 ^ { \circ } \approx 20 × 1.3 = 26 $（米），$ \therefore P Q = P S + S H - Q H = 26 + 9 - 5 = 30 $（米）. 答：信号塔 $ P Q $ 的高度大约为 $ 30 $ 米.
4. 解析 （1）37. （2）如图，过点 $ E $ 作 $ E S ⊥ P H $ 于点 $ S $，易得 $ ∠ PES = 53 ^ { \circ } $. 由 $ i = 1 : 2.4 $，可得 $ Q H : H A = 5 : 12 $，设 $ Q H = 5 x $ 米，则 $ H A = 12 x $ 米，在 $ \mathrm { Rt } △ A Q H $ 中，由勾股定理可得 $ Q H ^ { 2 } + A H ^ { 2 } = A Q ^ { 2 } $，$ \therefore ( 5 x ) ^ { 2 } + ( 12 x ) ^ { 2 } = 13 ^ { 2 } $，$ \therefore x = 1 $（负值已舍），$ \therefore Q H = 5 $ 米，$ H A = 12 $ 米，易得四边形 $ SHME $ 为矩形，$ \therefore E S = H A + A M = 12 + 8 = 20 $（米），$ S H = M E = 9 $ 米，在 $ \mathrm { Rt } △ P E S $ 中，$ \tan ∠ P E S = \frac { P S } { E S } $，$ \therefore P S = 20 \tan 53 ^ { \circ } \approx 20 × 1.3 = 26 $（米），$ \therefore P Q = P S + S H - Q H = 26 + 9 - 5 = 30 $（米）. 答：信号塔 $ P Q $ 的高度大约为 $ 30 $ 米.