$5. 「2025$广东广州二模，$☆☆」$如图，$A，$$B，$$C，$$D$分别是某公园四个景点，$B$在$A$的正东方向，$D$在$A$的正北方向，$D$在$C$的北偏西$60°$方向，$C$在$A$的北偏东$30°$方向，且$C$在$B$的北偏西$15°$方向，$AB=2$千米，$BC=√{6}$千米，则$A，$$C$两景点之间的距离为$($
$A.(1+√{3})$千米
$B.(1+√{6})$千米
$C.(2+√{6})$千米
$D.(2+√{3})$千米
$A$
$)$ $A.(1+√{3})$千米
$B.(1+√{6})$千米
$C.(2+√{6})$千米
$D.(2+√{3})$千米
答案：
5. A 如图，过点 $ B $ 作 $ B E ⊥ A C $ 于 $ E $，由题意得，$ ∠ C A B = 90 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 60 ^ { \circ } $，$ ∠ A B C = 90 ^ { \circ } - 15 ^ { \circ } = 75 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ A C B = 180 ^ { \circ } - ∠ C A B - ∠ A B C = 45 ^ { \circ } $，$ ∠ A B E = 90 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ } $，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ A B E $ 中，$ ∠ A E B = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \cos ∠ E A B = \frac { A E } { A B } = \cos 60 ^ { \circ } = \frac { 1 } { 2 } $，$ \sin ∠ E A B = \frac { E B } { A B } = \sin 60 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $，$ \because A B = 2 $ 千米，$ \therefore A E = 1 $ 千米，$ B E = \sqrt { 3 } $ 千米，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ B C E $ 中，$ ∠ B E C = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ B C E = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore △ B C E $ 是等腰直角三角形，$ \therefore C E = B E = \sqrt { 3 } $ 千米，$ \therefore A C = A E + C E = ( 1 + \sqrt { 3 } ) $ 千米. 故选 A.
方法解读 利用锐角三角函数解直角三角形时，需要有意识地构造含有“特殊角”的直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解. 如遇到 $ 75 ^ { \circ } $ 的角可以尝试拆分成 $ 30 ^ { \circ } $ 的角和 $ 45 ^ { \circ } $ 的角，并使之在直角三角形内部，类似的还有 $ 105 ^ { \circ } $ 的角等.
5. A 如图，过点 $ B $ 作 $ B E ⊥ A C $ 于 $ E $，由题意得，$ ∠ C A B = 90 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 60 ^ { \circ } $，$ ∠ A B C = 90 ^ { \circ } - 15 ^ { \circ } = 75 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ A C B = 180 ^ { \circ } - ∠ C A B - ∠ A B C = 45 ^ { \circ } $，$ ∠ A B E = 90 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ } $，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ A B E $ 中，$ ∠ A E B = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore \cos ∠ E A B = \frac { A E } { A B } = \cos 60 ^ { \circ } = \frac { 1 } { 2 } $，$ \sin ∠ E A B = \frac { E B } { A B } = \sin 60 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $，$ \because A B = 2 $ 千米，$ \therefore A E = 1 $ 千米，$ B E = \sqrt { 3 } $ 千米，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ B C E $ 中，$ ∠ B E C = 90 ^ { \circ } $，$ ∠ B C E = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore △ B C E $ 是等腰直角三角形，$ \therefore C E = B E = \sqrt { 3 } $ 千米，$ \therefore A C = A E + C E = ( 1 + \sqrt { 3 } ) $ 千米. 故选 A.
方法解读 利用锐角三角函数解直角三角形时，需要有意识地构造含有“特殊角”的直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解. 如遇到 $ 75 ^ { \circ } $ 的角可以尝试拆分成 $ 30 ^ { \circ } $ 的角和 $ 45 ^ { \circ } $ 的角，并使之在直角三角形内部，类似的还有 $ 105 ^ { \circ } $ 的角等.
6. 「2025广东深圳宝安模拟，☆☆」某校组织学生到校外利用相关的数学知识测量某雕像的高度.如图，雕像CD前有一段坡度为i=3:4的斜坡BE，某同学站在坡底B点处，用测角仪测得雕像顶部C的仰角为42°，接着他又向上走了5米，在斜坡上E点处测得雕像顶部C的仰角为45°，A，B，C，D，E，F在同一平面内.若测角仪的高度AB=EF=1.4米，则雕像CD的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)(
A.9.6米
B.10.0米
C.10.4米
D.10.8米
C
)A.9.6米
B.10.0米
C.10.4米
D.10.8米
答案：
6. C 如图，过点 $ F $ 作 $ F G ⊥ C D $，垂足为 $ G $，过点 $ A $ 作 $ A H ⊥ C D $，垂足为 $ H $，延长 $ F E $ 交 $ B D $ 于点 $ M $，由题意得 $ A B = D H = 1.4 $ 米，$ F G = D M $，$ A H = B D $，$ F M = G D $，$ F M ⊥ B D $，$ \because $ 斜坡 $ B E $ 的坡度为 $ i = 3 : 4 $，$ \therefore \frac { E M } { B M } = \frac { 3 } { 4 } $，$ \therefore $ 设 $ E M = 3 x $ 米，则 $ B M = 4 x $ 米，$ \therefore $ 在 $ \mathrm { Rt } △ B E M $ 中，$ B E = \sqrt { B M ^ { 2 } + E M ^ { 2 } } = 5 x $ 米，$ \because B E = 5 $ 米，$ \therefore 5 x = 5 $，解得 $ x = 1 $，$ \therefore E M = 3 $ 米，$ B M = 4 $ 米，$ \therefore F M = G D = E F + E M = 1.4 + 3 = 4.4 $（米），设 $ F G = D M = a $ 米，则 $ A H = B D = B M + D M = ( 4 + a ) $ 米，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ C F G $ 中，$ ∠ C F G = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore C G = F G · \tan 45 ^ { \circ } = a $ 米，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ A C H $ 中，$ ∠ C A H = 42 ^ { \circ } $，$ \therefore C H = A H · \tan 42 ^ { \circ } \approx 0.9 ( a + 4 ) $ 米，$ \because C G + D G = C H + D H $，$ \therefore a + 4.4 = 0.9 ( a + 4 ) + 1.4 $，解得 $ a = 6 $，$ \therefore C D = C G + D G = 6 + 4.4 = 10.4 $（米），$ \therefore $ 雕像 $ C D $ 的高度约为 $ 10.4 $ 米. 故选 C.
6. C 如图，过点 $ F $ 作 $ F G ⊥ C D $，垂足为 $ G $，过点 $ A $ 作 $ A H ⊥ C D $，垂足为 $ H $，延长 $ F E $ 交 $ B D $ 于点 $ M $，由题意得 $ A B = D H = 1.4 $ 米，$ F G = D M $，$ A H = B D $，$ F M = G D $，$ F M ⊥ B D $，$ \because $ 斜坡 $ B E $ 的坡度为 $ i = 3 : 4 $，$ \therefore \frac { E M } { B M } = \frac { 3 } { 4 } $，$ \therefore $ 设 $ E M = 3 x $ 米，则 $ B M = 4 x $ 米，$ \therefore $ 在 $ \mathrm { Rt } △ B E M $ 中，$ B E = \sqrt { B M ^ { 2 } + E M ^ { 2 } } = 5 x $ 米，$ \because B E = 5 $ 米，$ \therefore 5 x = 5 $，解得 $ x = 1 $，$ \therefore E M = 3 $ 米，$ B M = 4 $ 米，$ \therefore F M = G D = E F + E M = 1.4 + 3 = 4.4 $（米），设 $ F G = D M = a $ 米，则 $ A H = B D = B M + D M = ( 4 + a ) $ 米，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ C F G $ 中，$ ∠ C F G = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore C G = F G · \tan 45 ^ { \circ } = a $ 米，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ A C H $ 中，$ ∠ C A H = 42 ^ { \circ } $，$ \therefore C H = A H · \tan 42 ^ { \circ } \approx 0.9 ( a + 4 ) $ 米，$ \because C G + D G = C H + D H $，$ \therefore a + 4.4 = 0.9 ( a + 4 ) + 1.4 $，解得 $ a = 6 $，$ \therefore C D = C G + D G = 6 + 4.4 = 10.4 $（米），$ \therefore $ 雕像 $ C D $ 的高度约为 $ 10.4 $ 米. 故选 C.
7. 「2025陕西西安长安期末，☆☆」如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地(BC//AD)，斜坡AB的长为26m，坡度为12:5.为了防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，若改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少应向右移大约
11
m.(当坡角不超过50°时可确保山体不滑坡，tan 50°≈1.19，结果保留整数)答案：
7. 答案 11 解析 如图，在 $ B C $ 上取点 $ F $，使 $ ∠ F A D = 50 ^ { \circ } $，过点 $ F $ 作 $ F H ⊥ A D $ 于 $ H $，过点 $ B $ 作 $ B E ⊥ A D $ 于 $ E $，$ \because B F // E H $，$ B E ⊥ A D $，$ F H ⊥ A D $，$ \therefore $ 四边形 $ B E H F $ 为矩形，$ \therefore B F = E H $，$ B E = F H $，$ \because $ 斜坡 $ A B $ 的坡度为 $ 12 : 5 $，$ \therefore \frac { B E } { A E } = \frac { 12 } { 5 } $，$ \therefore $ 设 $ B E = 12 x \mathrm { m } $，则 $ A E = 5 x \mathrm { m } $，$ \because $ 由勾股定理得，$ A E ^ { 2 } + B E ^ { 2 } = A B ^ { 2 } $，$ \therefore ( 5 x ) ^ { 2 } + ( 12 x ) ^ { 2 } = 26 ^ { 2 } $，解得 $ x = 2 $（舍去负值），$ \therefore A E = 10 \mathrm { m } $，$ B E = 24 \mathrm { m } $，$ \therefore F H = B E = 24 \mathrm { m } $，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ F A H $ 中，$ \tan ∠ F A H = \frac { F H } { A H } $，$ \therefore A H = \frac { F H } { \tan 50 ^ { \circ } } \approx \frac { 24 } { 1.19 } \approx 20.2 $（$ \mathrm { m } $），$ \therefore B F = E H = A H - A E = 20.2 - 10 \approx 11 $（$ \mathrm { m } $），$ \therefore $ 坡顶 $ B $ 沿 $ B C $ 至少向右移大约 $ 11 \mathrm { m } $ 时，才能确保山体不滑坡.
7. 答案 11 解析 如图，在 $ B C $ 上取点 $ F $，使 $ ∠ F A D = 50 ^ { \circ } $，过点 $ F $ 作 $ F H ⊥ A D $ 于 $ H $，过点 $ B $ 作 $ B E ⊥ A D $ 于 $ E $，$ \because B F // E H $，$ B E ⊥ A D $，$ F H ⊥ A D $，$ \therefore $ 四边形 $ B E H F $ 为矩形，$ \therefore B F = E H $，$ B E = F H $，$ \because $ 斜坡 $ A B $ 的坡度为 $ 12 : 5 $，$ \therefore \frac { B E } { A E } = \frac { 12 } { 5 } $，$ \therefore $ 设 $ B E = 12 x \mathrm { m } $，则 $ A E = 5 x \mathrm { m } $，$ \because $ 由勾股定理得，$ A E ^ { 2 } + B E ^ { 2 } = A B ^ { 2 } $，$ \therefore ( 5 x ) ^ { 2 } + ( 12 x ) ^ { 2 } = 26 ^ { 2 } $，解得 $ x = 2 $（舍去负值），$ \therefore A E = 10 \mathrm { m } $，$ B E = 24 \mathrm { m } $，$ \therefore F H = B E = 24 \mathrm { m } $，$ \because $ 在 $ \mathrm { Rt } △ F A H $ 中，$ \tan ∠ F A H = \frac { F H } { A H } $，$ \therefore A H = \frac { F H } { \tan 50 ^ { \circ } } \approx \frac { 24 } { 1.19 } \approx 20.2 $（$ \mathrm { m } $），$ \therefore B F = E H = A H - A E = 20.2 - 10 \approx 11 $（$ \mathrm { m } $），$ \therefore $ 坡顶 $ B $ 沿 $ B C $ 至少向右移大约 $ 11 \mathrm { m } $ 时，才能确保山体不滑坡.
8. 「2025山东烟台中考」【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离.
(2) 若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A.
（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25）
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离.
(2) 若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A.
（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25）
答案：
8. 解析 （1）如图，过点 $ B $ 作 $ B E ⊥ A C $ 于点 $ E $，
设 $ B E = x $ 海里，依题意得 $ ∠ E B C = 53 ^ { \circ } $，$ ∠ E B D = 45 ^ { \circ } $，$ C D = 10 × \frac { 1 } { 2 } = 5 $（海里），$ \therefore ∠ C = 90 ^ { \circ } - ∠ E B C = 37 ^ { \circ } $，$ E D = x $ 海里，$ \therefore E C = E D + D C = ( x + 5 ) $ 海里，在 $ \mathrm { Rt } △ B C E $ 中，$ E C = \frac { B E } { \tan C } = \frac { x } { \tan 37 ^ { \circ } } \approx \frac { x } { 0.75 } = \frac { 4 } { 3 } x $（海里），$ \therefore \frac { 4 } { 3 } x = x + 5 $，解得 $ x = 15 $，$ \therefore $ 渔船在航行过程中到灯塔 $ B $ 的最短距离约为 $ 15 $ 海里. （2）在 $ \mathrm { Rt } △ A B E $ 中，$ ∠ A B E = 14 ^ { \circ } $，$ B E = 15 $ 海里，$ \therefore A E = B E · \tan 14 ^ { \circ } \approx 15 × 0.25 = 3.75 $（海里），$ \therefore A D = A E + D E = 3.75 + 15 = 18.75 $（海里），$ 18.75 ÷ 10 = 1.875 $（小时）$ = 112.5 $（分钟），从 $ 15 : 00 $ 经过 $ 112.5 $ 分钟是 $ 16 : 52 : 30 $，在 $ 17 : 30 $ 之前，$ \therefore $ 不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 $ A $.
8. 解析 （1）如图，过点 $ B $ 作 $ B E ⊥ A C $ 于点 $ E $，
设 $ B E = x $ 海里，依题意得 $ ∠ E B C = 53 ^ { \circ } $，$ ∠ E B D = 45 ^ { \circ } $，$ C D = 10 × \frac { 1 } { 2 } = 5 $（海里），$ \therefore ∠ C = 90 ^ { \circ } - ∠ E B C = 37 ^ { \circ } $，$ E D = x $ 海里，$ \therefore E C = E D + D C = ( x + 5 ) $ 海里，在 $ \mathrm { Rt } △ B C E $ 中，$ E C = \frac { B E } { \tan C } = \frac { x } { \tan 37 ^ { \circ } } \approx \frac { x } { 0.75 } = \frac { 4 } { 3 } x $（海里），$ \therefore \frac { 4 } { 3 } x = x + 5 $，解得 $ x = 15 $，$ \therefore $ 渔船在航行过程中到灯塔 $ B $ 的最短距离约为 $ 15 $ 海里. （2）在 $ \mathrm { Rt } △ A B E $ 中，$ ∠ A B E = 14 ^ { \circ } $，$ B E = 15 $ 海里，$ \therefore A E = B E · \tan 14 ^ { \circ } \approx 15 × 0.25 = 3.75 $（海里），$ \therefore A D = A E + D E = 3.75 + 15 = 18.75 $（海里），$ 18.75 ÷ 10 = 1.875 $（小时）$ = 112.5 $（分钟），从 $ 15 : 00 $ 经过 $ 112.5 $ 分钟是 $ 16 : 52 : 30 $，在 $ 17 : 30 $ 之前，$ \therefore $ 不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 $ A $.