1. 「2025 河南驻马店确山期中」一艘轮船位于灯塔 $ P $ 的南偏东 $ 60° $ 方向，距离灯塔 45 海里的 $ A $ 处，它沿北偏东 $ 30° $ 方向航行 60 海里到达 $ B $ 处，此时轮船与灯塔 $ P $ 之间的距离为(
A.27 海里
B.50 海里
C.75 海里
D.15 海里
C
)A.27 海里
B.50 海里
C.75 海里
D.15 海里
答案：
1. C 如图,过点A作AC//PE交BP于C,根据题意得∠CAP=∠EPA=60°,∠CAB=30°,PA=45海里,AB=60海里，
∴∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°,在Rt△PAB中,根据勾股定理得,PB= $\sqrt{AP^{2}+AB^{2}}$ = $\sqrt{45^{2}+60^{2}}$ =75(海里),故此时轮船与灯塔P之间的距离为75海里.故选C.
1. C 如图,过点A作AC//PE交BP于C,根据题意得∠CAP=∠EPA=60°,∠CAB=30°,PA=45海里,AB=60海里，
∴∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°,在Rt△PAB中,根据勾股定理得,PB= $\sqrt{AP^{2}+AB^{2}}$ = $\sqrt{45^{2}+60^{2}}$ =75(海里),故此时轮船与灯塔P之间的距离为75海里.故选C.
2. 图 1 是一盏悬挂灯的图片，图 2 是悬挂灯的示意图，连接管 $ ED $ 所在的直线和固定管 $ AB $ 所在的直线都经过圆心 $ O $，$ AB ⊥ BD $。测得 $ ∠ BDE = 140° $，$ BD = 10 \mathrm{ cm} $，$ AB = 1 \mathrm{ cm} $，求 $ \odot O $ 的半径。（精确到 $ 0.1 \mathrm{ cm} $。参考数据：$ \sin 40° \approx 0.643 $，$ \cos 40° \approx 0.766 $，$ \tan 40° \approx 0.839 $）
答案：2. 解析 在Rt△DBO中,∠DBO=90°,tan∠BDO=$\frac{BO}{BD}$,
∵∠BDO=180°−∠BDE=40°,
∴BO=BD·tan∠BDO=10×tan40°≈8.39.
∴OA=BO−AB=8.39−1=7.39≈7.4.
∴⊙O的半径约为7.4cm.
∵∠BDO=180°−∠BDE=40°,
∴BO=BD·tan∠BDO=10×tan40°≈8.39.
∴OA=BO−AB=8.39−1=7.39≈7.4.
∴⊙O的半径约为7.4cm.
3. 「2025 宁夏银川兴庆期末」如图，某数学兴趣小组测量一棵树 $ CD $ 的高度，在点 $ A $ 处测得树顶 $ C $ 的仰角为 $ 45° $，在点 $ B $ 处测得树顶 $ C $ 的仰角为 $ 60° $，且 $ A $，$ B $，$ D $ 三点在同一条直线上。若树高 $ CD = 8\sqrt{3} $ 米，则点 $ A $，$ B $ 之间的距离为(
A.$ 8\sqrt{3} $ 米
B.$ (8\sqrt{3} + 8) $ 米
C.$ 12\sqrt{3} $ 米
D.16 米
B
)A.$ 8\sqrt{3} $ 米
B.$ (8\sqrt{3} + 8) $ 米
C.$ 12\sqrt{3} $ 米
D.16 米
答案：3. B 由题意得∠CAD=45°,∠CBD=60°,CD=8$\sqrt{3}$米,CD⊥AB,在Rt△BDC中,tan∠CBD=$\frac{CD}{BD}$,
∴BD=$\frac{CD}{tan60°}$=$\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=8(米),在Rt△ACD中,tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$,
∴AD=$\frac{CD}{tan45°}$=8$\sqrt{3}$(米),
∴AB=AD+BD=(8$\sqrt{3}$+8)米.故选B.
∴BD=$\frac{CD}{tan60°}$=$\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=8(米),在Rt△ACD中,tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$,
∴AD=$\frac{CD}{tan45°}$=8$\sqrt{3}$(米),
∴AB=AD+BD=(8$\sqrt{3}$+8)米.故选B.
4. 「2025 四川内江中考」在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔 $ AD $ 的高度（如图甲）。他们设计了如下方案：如图乙，点 $ B $，$ D $，$ C $ 依次在同一条水平直线上，在 $ B $ 处测得桥塔顶部 $ A $ 的仰角（$ ∠ ABD $）为 $ 45° $，在 $ C $ 处测得桥塔顶部 $ A $ 的仰角（$ ∠ ACD $）为 $ 30° $，又测得 $ BC = 80 \mathrm{ m} $，$ AD ⊥ BC $，垂足为 $ D $，求桥塔 $ AD $ 的高度（结果保留根号）。
答案：4. 解析 设AD=xm,
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD中,tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}$,
∴BD=$\frac{AD}{tan∠ABD}$=$\frac{x}{tan45°}$=x(m),在Rt△ACD中,tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$,
∴CD=$\frac{AD}{tan∠ACD}$=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x(m),
∵BC=BD+CD=80m,
∴x+$\sqrt{3}$x=80,解得x=40$\sqrt{3}$−40,
∴桥塔AD的高度为(40$\sqrt{3}$−40)m.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD中,tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}$,
∴BD=$\frac{AD}{tan∠ABD}$=$\frac{x}{tan45°}$=x(m),在Rt△ACD中,tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$,
∴CD=$\frac{AD}{tan∠ACD}$=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x(m),
∵BC=BD+CD=80m,
∴x+$\sqrt{3}$x=80,解得x=40$\sqrt{3}$−40,
∴桥塔AD的高度为(40$\sqrt{3}$−40)m.