1. 「2025 天津中考」《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”意思是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里。慢马先走 12 天，快马几天可以追上慢马？设快马 $ x $ 天可以追上慢马，则可以列出的方程为(
A.$ 240x = 150(x + 12) $
B.$ 240x = 150(x - 12) $
C.$ 150x = 240(x + 12) $
D.$ 150x = 240(x - 12) $
A
)A.$ 240x = 150(x + 12) $
B.$ 240x = 150(x - 12) $
C.$ 150x = 240(x + 12) $
D.$ 150x = 240(x - 12) $
答案：1. A 依题意，得$240x = 150(x + 12)$。故选A。
2. 「2025 山东中考」明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有 3 个头 6 只手的哪吒若干，有 1 个头 8 只手的夜叉若干，两方交战，共有 36 个头，108 只手。问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有 $ x $ 个，夜叉有 $ y $ 个，则根据条件可列方程组为(
A.$ \begin{cases} x + 3y = 36 \\ 8x + 6y = 108 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x + 3y = 36 \\ 6x + 8y = 108 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} 3x + y = 36 \\ 8x + 6y = 108 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} 3x + y = 36 \\ 6x + 8y = 108 \end{cases} $
D
)A.$ \begin{cases} x + 3y = 36 \\ 8x + 6y = 108 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x + 3y = 36 \\ 6x + 8y = 108 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} 3x + y = 36 \\ 8x + 6y = 108 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} 3x + y = 36 \\ 6x + 8y = 108 \end{cases} $
答案：2. D 根据共有36个头列方程为$3x + y = 36$，根据共有108只手列方程为$6x + 8y = 108$，组成方程组为$\begin{cases}3x + y = 36,\\6x + 8y = 108.\end{cases}$故选D。
3. 「2025 四川凉山州中考」若 $ (3x + 2y - 19)^2 + |2x + y - 11| = 0 $，则 $ x + y $ 的平方根是(
A.8
B.$ \pm 8 $
C.$ \pm 2\sqrt{2} $
D.$ 2\sqrt{2} $
C
)A.8
B.$ \pm 8 $
C.$ \pm 2\sqrt{2} $
D.$ 2\sqrt{2} $
答案：3. C $\because(3x + 2y - 19)^2 + |2x + y - 11| = 0$，$\therefore\begin{cases}3x + 2y - 19 = 0,\\2x + y - 11 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 5,\end{cases}$$\therefore x + y = 3 + 5 = 8$，$\because8$的平方根为$\pm2\sqrt{2}$，$\therefore x + y$的平方根是$\pm2\sqrt{2}$。故选C。
4. 「2025 黑龙江龙东地区中考」为促进学生德智体美劳全面发展，某校计
A.6
B.7
C.4
D.5
划
用
1200 元购买足球和篮球用于课外活动(两种球都买)，其中足球 80 元/个，篮球 120 元/个，共有4
种购买方案(C
)A.6
B.7
C.4
D.5
答案：4. C 设购买$x$个足球，$y$个篮球，根据题意得$80x + 120y = 1200$，$\therefore y = 10 - \frac{2}{3}x$，又$\because x$，$y$均为正整数，$\therefore\begin{cases}x = 3,\\y = 8\end{cases}$或$\begin{cases}x = 6,\\y = 6\end{cases}$或$\begin{cases}x = 9,\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 12,\\y = 2,\end{cases}$$\therefore$共有4种购买方案。故选C。
5. 「2025 四川自贡中考」某小区人行道地砖铺设图案如图所示。用 10 块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长 40 cm，则小地砖短边长(
A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
B
)A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
答案：5. B 设小地砖的长边长$x\mathrm{cm}$，短边长$y\mathrm{cm}$，由题意得$\begin{cases}x + y = 40,\\2x = x + 4y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 32,\\y = 8,\end{cases}$即小地砖短边长$8\mathrm{cm}$。故选B。
6. 「2025 四川遂宁中考」已知 $ x = 2 $ 是方程 $ 3a - 2x = 2 $ 的解，则 $ a = $
2
。答案：6. 答案 2 解析 把$x = 2$代入方程$3a - 2x = 2$，得$3a - 4 = 2$，解得$a = 2$。
7. 「2025 河北中考」甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 $ a, b $。如图，将甲纸条的 $ \frac{1}{3} $ 与乙纸条的 $ \frac{2}{5} $ 叠合在一起，形成长为 81 的纸条，则 $ a + b = $
99
。答案：7. 答案 99 解析 由题意得$\begin{cases}\frac{1}{3}a = \frac{2}{5}b,\\a - \frac{1}{3}a + b = 81,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 54,\\b = 45,\end{cases}$所以$a + b = 99$。
8. 「2025 江西中考」某文物考古研究院用 $ 1:1 $ 复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验。用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率 $ ( \mathrm{出酒率} = \frac{\mathrm{出酒量}}{\mathrm{糟醅量}} × 100\% ) $ 如下表：
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 16 千克；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 36 千克，且所用的粮食糟醅量是第一次的 2 倍，芋头糟醅量是第一次的 3 倍。
(1) 求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅。
(2) 受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的 80%。若粮食糟醅中大米占比约为 $ \frac{1}{4} $，请问在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少千克大米？
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 16 千克；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 36 千克，且所用的粮食糟醅量是第一次的 2 倍，芋头糟醅量是第一次的 3 倍。
(1) 求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅。
(2) 受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的 80%。若粮食糟醅中大米占比约为 $ \frac{1}{4} $，请问在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少千克大米？
答案：8. 解析 (1)设第一次实验用了$x$千克粮食糟醅和$y$千克芋头糟醅，则$\begin{cases}0.3x + 0.2y = 16,\\0.3×2x + 0.2×3y = 36,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 40,\\y = 20.\end{cases}$答：第一次实验用了40千克粮食糟醅和20千克芋头糟醅。(2)设需要准备$m$千克大米，则$m÷\frac{1}{4}×30\%×80\% = 30\%×3×40$，解得$m = 37.5$。答：需要准备$37.5$千克大米。