9. 「2025 湖南中考」将分式方程 $ \frac{1}{x} = \frac{2}{x + 1} $ 去分母后得到的整式方程为(
A.$ x + 1 = 2x $
B.$ x + 2 = 1 $
C.$ 1 = 2x $
D.$ x = 2(x + 1) $
A
)A.$ x + 1 = 2x $
B.$ x + 2 = 1 $
C.$ 1 = 2x $
D.$ x = 2(x + 1) $
答案：9. A 原方程两边同时乘$x(x + 1)$得$x + 1 = 2x$。故选A。
10. 「2025 广东深圳中考」某社区植树 60 棵，实际种植人数是原计划人数的 2 倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了 3 棵。若设原计划人数为 $ x $，则下列方程正确的是(
A.$ \frac{60}{x} - \frac{60}{2x} = 3 $
B.$ \frac{60}{2x} - \frac{60}{x} = 3 $
C.$ \frac{60}{x} = 2 × \frac{60}{x + 3} $
D.$ \frac{60}{x} = 2 × \frac{60}{x - 3} $
A
)A.$ \frac{60}{x} - \frac{60}{2x} = 3 $
B.$ \frac{60}{2x} - \frac{60}{x} = 3 $
C.$ \frac{60}{x} = 2 × \frac{60}{x + 3} $
D.$ \frac{60}{x} = 2 × \frac{60}{x - 3} $
答案：10. A $\because$实际种植人数是原计划人数的2倍，且原计划人数为$x$，$\therefore$实际种植人数为$2x$。根据题意得$\frac{60}{x} - \frac{60}{2x} = 3$。故选A。
11. 「2025 黑龙江龙东地区中考」已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x + k}{x - 4} - \frac{2k}{4 - x} = 3 $ 的解为负数，则 $ k $ 的取值范围为(
A.$ k ＜ -4 $
B.$ k ＞ -4 $
C.$ k ＜ -4 $ 且 $ k ≠ -\frac{4}{3} $
D.$ k ＞ -4 $ 且 $ k ≠ -\frac{4}{3} $
A
)A.$ k ＜ -4 $
B.$ k ＞ -4 $
C.$ k ＜ -4 $ 且 $ k ≠ -\frac{4}{3} $
D.$ k ＞ -4 $ 且 $ k ≠ -\frac{4}{3} $
答案：11. A 解分式方程$\frac{x + k}{x - 4} - \frac{2k}{4 - x} = 3$，得$x = \frac{3k + 12}{2}$，$\because$解为负数，$\therefore\frac{3k + 12}{2} ＜ 0$，解得$k ＜ - 4$，$\because$分母$x - 4 ≠ 0$，$\therefore x ≠ 4$，即$\frac{3k + 12}{2} ≠ 4$，解得$k ≠ -\frac{4}{3}$，$\therefore k ＜ - 4$。故选A。
12. 「2025 四川凉山州中考」若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x + m}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 3 $ 无解，则 $ m = $
-1
。答案：12. 答案 -1 解析 方程两边同时乘$(x - 2)$，得$x + m - 1 = 3x - 6$，移项，得$x - 3x = - 6 - m + 1$，解得$x = \frac{5 + m}{2}$，$\because$原分式方程无解，$\therefore x = \frac{5 + m}{2}$是原分式方程的增根，由$x - 2 = 0$得$x = 2$，$\therefore\frac{5 + m}{2} = 2$，$\therefore m = - 1$。
13. 「2025 广东中考」在解分式方程 $ \frac{1 - x}{x - 2} = \frac{1}{2 - x} - 2 $ 时，小李的解法如下：
第一步：$ \frac{1 - x}{x - 2} · (x - 2) = -\frac{1}{x - 2} · (x - 2) - 2 $，
第二步：$ 1 - x = -1 - 2 $，
第三步：$ -x = -1 - 2 - 1 $，
第四步：$ x = 4 $。
第五步：检验：当 $ x = 4 $ 时，$ x - 2 ≠ 0 $。
第六步：$ \therefore $ 原分式方程的解为 $ x = 4 $。
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确。若不正确，请写出你的解答过程。
第一步：$ \frac{1 - x}{x - 2} · (x - 2) = -\frac{1}{x - 2} · (x - 2) - 2 $，
第二步：$ 1 - x = -1 - 2 $，
第三步：$ -x = -1 - 2 - 1 $，
第四步：$ x = 4 $。
第五步：检验：当 $ x = 4 $ 时，$ x - 2 ≠ 0 $。
第六步：$ \therefore $ 原分式方程的解为 $ x = 4 $。
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确。若不正确，请写出你的解答过程。
答案：13. 解析 小李的解法中，第一步是去分母。去分母的依据是等式的基本性质。小李的解答过程不正确，正确的解答过程如下：$\frac{1 - x}{x - 2} = \frac{1}{2 - x} - 2$，去分母，得$\frac{1 - x}{x - 2}·(x - 2) = -\frac{1}{x - 2}·(x - 2) - 2(x - 2)$，整理，得$1 - x = - 1 - 2x + 4$，移项、合并同类项，得$x = 2$。检验：当$x = 2$时，$x - 2 = 0$。$\therefore$原分式方程无解。
14. 「2025 江苏扬州中考」某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的 $ \frac{5}{4} $ 倍，且用 100 元购买甲款书签的数量比用 128 元购买乙款书签的数量少 3 个。求这两款书签的单价。
答案：14. 解析 设乙款书签的单价是$x$元，则甲款书签的单价是$\frac{5}{4}x$元，根据题意得$\frac{128}{x} - \frac{100}{\frac{5}{4}x} = 3$，解得$x = 16$，经检验，$x = 16$是所列方程的解，且符合题意，$\therefore\frac{5}{4}x = 20$。答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元。