1. 「2025 甘肃中考」如图，一次函数 $ y = x + 4 $ 的图象交 $ x $ 轴于点 $ A $，交反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (k ≠ 0, x ＜ 0) $ 的图象于点 $ B(-1, a) $。将一次函数 $ y = x + 4 $ 的图象向下平移 $ m(m ＞ 0) $ 个单位长度，所得的图象交 $ x $ 轴于点 $ C $。
(1) 求反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的表达式。
(2) 当 $ △ ABC $ 的面积为 3 时，求 $ m $ 的值。
(1) 求反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的表达式。
(2) 当 $ △ ABC $ 的面积为 3 时，求 $ m $ 的值。
答案：
解析 (1)
∵ $ y = x + 4 $ 的图象与 $ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0,x ＜ 0) $ 的图象交于点 $ B(-1,a) $，
∴ $ a = -1 + 4 = 3 $，
∴ $ B(-1,3) $，
∴ $ k = -1 × 3 = -3 $，
∴ 反比例函数的表达式为 $ y = -\frac{3}{x} $。
(2) 如图，过点 $ B $ 作 $ BD ⊥ x $ 轴，垂足为 $ D $，
∵ $ B(-1,3) $，
∴ $ BD = 3 $。
∵ $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BD = 3 $，
∴ $ \frac{1}{2}AC × 3 = 3 $，
∴ $ AC = 2 $。
∵ 一次函数 $ y = x + 4 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $，
∴ $ A(-4,0) $。
将 $ y = x + 4 $ 的图象向下平移 $ m(m ＞ 0) $ 个单位长度，得到的图象对应的解析式为 $ y = x + 4 - m $，
令 $ y = 0 $，得 $ x = m - 4 $，
∴ $ C(m - 4,0) $，
∴ $ AC = m - 4 - (-4) $，即 $ 2 = m - 4 - (-4) $，
∴ $ m = 2 $。
解析 (1)
∵ $ y = x + 4 $ 的图象与 $ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0,x ＜ 0) $ 的图象交于点 $ B(-1,a) $，
∴ $ a = -1 + 4 = 3 $，
∴ $ B(-1,3) $，
∴ $ k = -1 × 3 = -3 $，
∴ 反比例函数的表达式为 $ y = -\frac{3}{x} $。
(2) 如图，过点 $ B $ 作 $ BD ⊥ x $ 轴，垂足为 $ D $，
∵ $ B(-1,3) $，
∴ $ BD = 3 $。
∵ $ S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BD = 3 $，
∴ $ \frac{1}{2}AC × 3 = 3 $，
∴ $ AC = 2 $。
∵ 一次函数 $ y = x + 4 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $，
∴ $ A(-4,0) $。
将 $ y = x + 4 $ 的图象向下平移 $ m(m ＞ 0) $ 个单位长度，得到的图象对应的解析式为 $ y = x + 4 - m $，
令 $ y = 0 $，得 $ x = m - 4 $，
∴ $ C(m - 4,0) $，
∴ $ AC = m - 4 - (-4) $，即 $ 2 = m - 4 - (-4) $，
∴ $ m = 2 $。
2. 学科和差法 「2024 四川遂宁中考」如图，一次函数 $ y_1 = kx + b(k ≠ 0) $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x}(m ≠ 0) $ 的图象相交于 $ A(1, 3) $，$ B(n, -1) $ 两点。
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式。
(2) 根据图象，直接写出 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围。
(3) 过点 $ B $ 作直线 $ OB $，交反比例函数图象于点 $ C $，连接 $ AC $，求 $ △ ABC $ 的面积。
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式。
(2) 根据图象，直接写出 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围。
(3) 过点 $ B $ 作直线 $ OB $，交反比例函数图象于点 $ C $，连接 $ AC $，求 $ △ ABC $ 的面积。
答案：
解析 (1) 将 $ A $ 点坐标代入反比例函数解析式得 $ m = 1 × 3 = 3 $，
∴ 反比例函数的解析式为 $ y_2 = \frac{3}{x} $。
将 $ B $ 点坐标代入 $ y_2 = \frac{3}{x} $ 得 $ n = -3 $，
∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (-3,-1) $。
将 $ A $，$ B $ 两点坐标代入一次函数解析式，
得 $ \begin{cases} k + b = 3, \\ -3k + b = -1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 1, \\ b = 2, \end{cases} $
∴ 一次函数的解析式为 $ y_1 = x + 2 $。
(2) 由函数图象可知，当 $ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $ 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即 $ y_1 ＞ y_2 $，
∴ 当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是 $ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $。
(3) 连接 $ AO $，令直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴的交点为 $ M $，
易知 $ M(-2,0) $，
∴ $ S_{△ AOB} = S_{△ AOM} + S_{△ BOM} = \frac{1}{2} × 2 × 3 + \frac{1}{2} × 2 × 1 = 4 $。
∵ 正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
∴ 点 $ B $ 和点 $ C $ 关于点 $ O $ 成中心对称，
∴ $ BO = CO $，
∴ $ S_{△ ABC} = 2S_{△ AOB} = 8 $。
解析 (1) 将 $ A $ 点坐标代入反比例函数解析式得 $ m = 1 × 3 = 3 $，
∴ 反比例函数的解析式为 $ y_2 = \frac{3}{x} $。
将 $ B $ 点坐标代入 $ y_2 = \frac{3}{x} $ 得 $ n = -3 $，
∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (-3,-1) $。
将 $ A $，$ B $ 两点坐标代入一次函数解析式，
得 $ \begin{cases} k + b = 3, \\ -3k + b = -1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 1, \\ b = 2, \end{cases} $
∴ 一次函数的解析式为 $ y_1 = x + 2 $。
(2) 由函数图象可知，当 $ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $ 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即 $ y_1 ＞ y_2 $，
∴ 当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，$ x $ 的取值范围是 $ -3 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 1 $。
(3) 连接 $ AO $，令直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴的交点为 $ M $，
易知 $ M(-2,0) $，
∴ $ S_{△ AOB} = S_{△ AOM} + S_{△ BOM} = \frac{1}{2} × 2 × 3 + \frac{1}{2} × 2 × 1 = 4 $。
∵ 正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
∴ 点 $ B $ 和点 $ C $ 关于点 $ O $ 成中心对称，
∴ $ BO = CO $，
∴ $ S_{△ ABC} = 2S_{△ AOB} = 8 $。
3. 「2025 四川凉山州中考」如图，一次函数 $ y_1 = ax + b $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ A(6, 1) $，$ B(2, m) $。
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式。
(2) 利用图象，直接写出不等式 $ ax + b ＞ \frac{k}{x} $ 的解集为
(3) 在 $ x $ 轴上找一点 $ C $，使 $ △ ABC $ 的周长最小，并求出最小值。
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式。
(2) 利用图象，直接写出不等式 $ ax + b ＞ \frac{k}{x} $ 的解集为
2 ＜ x ＜ 6
。(3) 在 $ x $ 轴上找一点 $ C $，使 $ △ ABC $ 的周长最小，并求出最小值。
答案：
解析 (1)
∵ 反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 $ A(6,1) $，
∴ $ 1 = \frac{k}{6} $，解得 $ k = 6 $，
∴ 反比例函数的解析式为 $ y_2 = \frac{6}{x} $。
在 $ y_2 = \frac{6}{x} $ 中，当 $ x = 2 $ 时，$ y_2 = \frac{6}{2} = 3 $，
∴ $ B(2,3) $，
∵ 一次函数 $ y_1 = ax + b $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ A(6,1) $，$ B(2,3) $，
∴ $ \begin{cases} 6a + b = 1, \\ 2a + b = 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -\frac{1}{2}, \\ b = 4, \end{cases} $
∴ 一次函数的解析式为 $ y_1 = -\frac{1}{2}x + 4 $。
(2) $ 2 ＜ x ＜ 6 $。
(3) 如图所示，作点 $ B $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ D $，连接 $ BC $，$ AC $，$ DC $，$ AD $，$ BD $，则 $ D(2,-3) $，
由轴对称的性质可得 $ DC = BC $，
∴ $ △ ABC $ 的周长 $ = AB + AC + BC = AB + AC + DC $，
∵ $ A(6,1) $，$ B(2,3) $，
∴ $ AB = \sqrt{(2 - 6)^2 + (3 - 1)^2} = 2\sqrt{5} $，
∴ 当 $ AC + DC $ 有最小值时，$ △ ABC $ 的周长有最小值，
∵ $ AC + DC ≥ AD $，
∴ 当 $ A $，$ C $，$ D $ 三点共线时，$ AC + DC $ 有最小值，即此时 $ △ ABC $ 的周长有最小值，最小值为 $ AD + 2\sqrt{5} $，
∵ $ A(6,1) $，$ D(2,-3) $，
∴ $ AD = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-3 - 1)^2} = 4\sqrt{2} $，
∴ $ △ ABC $ 的周长的最小值为 $ 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5} $。
解析 (1)
∵ 反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 $ A(6,1) $，
∴ $ 1 = \frac{k}{6} $，解得 $ k = 6 $，
∴ 反比例函数的解析式为 $ y_2 = \frac{6}{x} $。
在 $ y_2 = \frac{6}{x} $ 中，当 $ x = 2 $ 时，$ y_2 = \frac{6}{2} = 3 $，
∴ $ B(2,3) $，
∵ 一次函数 $ y_1 = ax + b $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ A(6,1) $，$ B(2,3) $，
∴ $ \begin{cases} 6a + b = 1, \\ 2a + b = 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -\frac{1}{2}, \\ b = 4, \end{cases} $
∴ 一次函数的解析式为 $ y_1 = -\frac{1}{2}x + 4 $。
(2) $ 2 ＜ x ＜ 6 $。
(3) 如图所示，作点 $ B $ 关于 $ x $ 轴的对称点 $ D $，连接 $ BC $，$ AC $，$ DC $，$ AD $，$ BD $，则 $ D(2,-3) $，
由轴对称的性质可得 $ DC = BC $，
∴ $ △ ABC $ 的周长 $ = AB + AC + BC = AB + AC + DC $，
∵ $ A(6,1) $，$ B(2,3) $，
∴ $ AB = \sqrt{(2 - 6)^2 + (3 - 1)^2} = 2\sqrt{5} $，
∴ 当 $ AC + DC $ 有最小值时，$ △ ABC $ 的周长有最小值，
∵ $ AC + DC ≥ AD $，
∴ 当 $ A $，$ C $，$ D $ 三点共线时，$ AC + DC $ 有最小值，即此时 $ △ ABC $ 的周长有最小值，最小值为 $ AD + 2\sqrt{5} $，
∵ $ A(6,1) $，$ D(2,-3) $，
∴ $ AD = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-3 - 1)^2} = 4\sqrt{2} $，
∴ $ △ ABC $ 的周长的最小值为 $ 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5} $。